Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

An. II – Bio 3/2/201 6 1/5 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T 1 2 3 4 5 Tot Voto Consegnare solo questi fogli. Domande di teoria 1. (2 pt ) Si d ia l’equazione del piano tangente . 2. (2+3 pt. ) Si enunci e si dimostri il teorema sul calc olo del lavoro nel caso di un campo conservativo . 3. (3 pt.)Si enunci il teorema sulla struttura dell’integrale generale di un’equazione differenziale del secondo ordine lineare non omogenea. An. II – Bio 3/2/201 6 2/5 Ex 1 Si calcoli la lunghezza della curva γ di equazioni parametriche per . Soluzione , , Ex 2 Si calcoli , dove . Si consiglia di disegnare . Soluzione Passando a coordinate polari, posto , , per motivi di simmetria, risulta: ( )t sent t 5 , 2, cos2  2,0 t () ( )t sent t t 5 , 2, cos2 = r () ( )5 , cos2, 2 ' t sent t − = r () 3 5 cos4 4 ' 2 2 = + + = t t sen t r ( ) ()     6 3 ' 2 0 2 0 = = =   dt dtt l r  + D dxdy y x y x 2 2 2 ( )  x y y x y x D    +  = 0 ,2 1: , 2 2 D ( )         =         4 3 oppure 4 0 ,2 1: , 'D = + D dxdy y x y x 2 2 2 ( ) = −=         4 0 3 2 1 3 4 0 2 1 2 2 3 cos 3 2 cos 2          d d sen ( ) ( ) 9 4 2 2 2 2 1 1 1 2 2 9 2 1 2 2 1 1 2 2 9 2 − =      − − =      − − −= An. II – Bio 3/2/201 6 3/5 Ex 3 (a) Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale . (b) Si trovi l’integrale generale dell’equazione differenziale . Soluzione (a) equazion e differenziale omogenea : equazione caratteristica : Integrale generale dell’equazione omogenea : , (b) ricerca di una soluzione p articolare dell’equazione completa : , , sostituendo , L’i ntegrale generale richiesto è : , 0 13' 6'' = + − z z z 12 26 13' 6'' − = + − x y y y 0 13' 6'' = + − z z z 0 13 6 2 = + − r r i r 2 3 13 9 3  = −  = ( ) x sen e c x ec xz x x 2 2 cos 3 2 31 + = R   2 1 ,c c ( ) b ax x u + = ( ) a x u = ' ( ) 0 '' = x u 12 26 13 13 6 − = + + − x b ax a  2=a 0=b  ( ) x x u 2= () x x sen e c x ec ty x x 2 2 2 cos 3 2 31 + + = R   2 1 ,c c An. II – Bio 3/2/201 6 4/5 Ex 4 Sia . (a) si trovino il dominio e il segno di (b) si trovino gli eventuali punti critici e di massimo o minimo relativo e/o assoluto di (c) si trovi il piano tangente al grafico di nel punto .. Soluzion e (a) in tutto il suo dominio in , dove è la circonferenza di centro e raggio 1. (b) Ricerca punti cri tici e punti di estremo , per Il sistema assume la forma ed ha come soluzioni tutti i punt i dell’asse delle ascisse (esclusi l’origine e il punto ) e i punti A= e B= . Questi sono dunque tutti critici. Inoltre: e , quindi anche i punti e sono critici. Dal segno della funzione, segue che tutti i punti dell’asse x sono necessariamente di minimo assoluto. Sono di minimo assoluto anche tutti i punti della circonferenza . I punti e sono inv ece di massimo ( lo si deduce applicando il teorema di Weierstrass al compatto e al compatto . (c) , , Equazione piano tangente: ( ) x y x y y x f 2 , 2 2 2 − + = f f f ( ) ( )1,1 ,1,1 − − f 2 R= D 0f 0=f ( )       R : 0, x x  ( )0,1 ( ) ( )x y x x y fx 2 sgn1 2 2 2 2 − + − = ( )= − + + − + = x y x y x y xy fy 2 sgn 2 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( )x y x x y xy 2 sgn 2 2 2 2 2 2 2 − + − + = ( )  y x,    = = 0 0 y x f f ( ) ( )    = − + = − 0 2 2 0 1 2 2 2 x y xy x y ( )0,2       − 2 1 ,1       2 1,1 ( ) 0 0, = x f R  x  ( ) 0 0,0 = xf ( ) 0 0,2 = xf ( ) 4 ,0 y y f = R  y  ( ) 0 0,0 = yf ( ) 4 ,2 y y f = R  y  ( ) 0 0,2 = yf ( )0,0 ( )0,2  A B ( ) ( )  0 ,1 1 : , 2 2 1   + − = y y x y x T ( ) ( )  0 ,1 1 : , 2 2 2   + − = y y x y x T ( ) 4 1,1 −= −xf ( ) 10 1,1 = −yf ( ) 4 1,1 = − f ( ) ( ) y x y x z 10 4 10 1 10 1 4 4 + − −= − + + − = An. II – Bio 3/2/201 6 5/5 Ex 5 Dato il campo vettoriale . (a) si dica se è conservativo ed, i n caso affermativo, trovarne un potenziale. (b) si calcoli, con il minor numero di conti possibile, il lavoro di lungo la retta che congiunge i punti e da ver so . Soluzione . Si osserva che . Posto e , risulta: , . Essendo , il c ampo è irrotazionale in , e poiché è semplicemente connesso, il campo è conservativo. Detto un potenziale, segue: , dove è una funzi one incognita da determinarsi tenendo presente che , con costante arbitraria. Un potenziale è quindi Poiché il campo è conservativo, il lavoro è dato da : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j i F x x e y x y ye y x y x + + + + + = 2 2 cos 2 cos , F ( )1,1 1− P     0,2 2  P 1P 2P ( )2 1R F C  ( ) ( ) x ye y x y x F + + = 2 1 cos , ( ) ( ) xe y x y y x F + + = 2 2 cos 2 , ( ) ( ) xe y x ysen y x y F + + −=   2 1 2 , ( ) ( ) xe y x ysen x y x F + + −=   2 2 2 , ( ) ( )y x x F y x y F , , 2 1   =   2 R= D D ( )y x U U , = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y g ye y x sen dx ye y x y x U x x + + + = + + = 2 2 cos , ( )y g g= ( ) ( ) ( ) ( ) x x y e y x y y g e y x y y x U + + = + + + = 2 2 cos 2 ' cos 2 ,  ( ) 0 ' = y g  ( ) c y g = c ( ) ( ) x ye y x sen y x U + + = 2 , ( ) ( ) ( ) ( ) e e U U P U P U L 1 1 1 1,1 0,2 1 1 2 − = − = − −    = − = − 