Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Bio medica ) 04/09/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Esercizio teoria 1 2 3 4 Totale Voto Istruzioni : Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (3 pt.) Dare l a definizione dell’integrale di un campo vettoriale lungo una curva. 2. (2 pt.) Enunci are e dimostrare il criterio del confronto per le serie numeriche. 3. (2 pt) Enunciare il teorema di Weierstrass per funzioni di più variabili . 2 Ex 1 Stabilire se il campo è conservativo. Calcolare il lavoro di lungo la curva di equazione parametrica con . Sol . Risulta e Il campo non è irrotazionale, e non può quindi essere cons ervativo. Il lavoro, in base alla definizione, è dato da: ( ) ( ) ( ) k j i F 2 , , z z y y x z y x + − + + = F () ( )2 3 2 , , t t t t = r  1,0 t ( )2 1C R F = F rot 2z z y y x z y x − +    k j i k i− = 0  F ( ) ( )     = + − + + =  =  1 0 5 2 2 3 3 2 2 3 2 dt t t t t t t t L dr F   15 17 5 1 3 4 2 1 5 1 6 5 2 5 6 5 2 5 1 0 4 5 6 1 0 3 4 5 = − = + − = + − = + −  t t t dt t t t 3 Ex 2 a) calcolare l’integrale generale dell’equazione , al variare del parametr o reale eq. caratt. , , L’integrale generale è: - se , , - se , , - se , , b) calcolare l’integrale generale dell’equazione (1) ( si osservi che la sua omogenea associata coincide con la equazione omogenea del punto a) per ) - ricerca di una soluzione particolare di , , → → , quindi e l’integrale generale dell’equazione data è , c) determinare l’unico integrale p eriodico della (1). Deve essere , quindi . ( ) 0 3 ' 2'' = − + − z z z   ( ) 0 3 2 2 = − + −  r r 2 1 1 − − =  r 2 1 2 − + =  r 2  ( ) xr xr e c ec xz 2 1 2 1 + = R   2 1,c c 2=  ( ) x x xe c ec xz 2 1 + = R   2 1,c c 2  ( ) ( ) ( )x e c x sen ec xz x x   − + − = 2 cos 2 2 1 R   2 1,c c x senx y y y cos 2 2' 2'' + = + − 1=  x senx y y y cos 2 2' 2'' + = + − ( ) x b asenx x u cos + = ( ) bsenx x a x u − = cos ' ( ) x b asenx x u cos '' − −= x senx x b asenx bsenx x a x b asenx cos 2 cos 2 2 2 cos 2 cos + = + + + − − −    = + − = + 1 2 2 2 b a b a 0=a 1=b ( ) x x u cos= ( ) x x e c senx ec x y x x cos cos 2 1 + + = R   2 1,c c 0 2 1 = =c c ( ) x x y cos= 4 Ex 3 Sia la funzione definita da a) determinare il dominio e il segno di , oppure in ; in b) individuare i punti critici di , , La funzione presenta quindi i punti critici reale. d) determinare i punti di estremo relativo e/o assoluto di ( si può evitare di studi are la matrice hessiana ) Osservato che reale, dal segno della funzione, segue che : - l’origine è un punto di sella, poiché in ogni suo intorno la funzione assume valori positivi, negativi e nulli. - i punti , con , sono tutti punti di massimo, poiché ciascuno di essi è dotato di un intorno in cui la funzione è negativa o nulla. Essendo poi la funzione positiva in altri punti del dominio, i punti sono di massimo relativo. e) determinare i punti di estremo relativo e/o assoluto di nel triangolo Per il teorema di Weierstrass, la funzione ammette estremi assoluti nel compatt o . Non ci sono punti critici all’interno di , dunque i punti di estremo devono trovarsi nella frontiera. La restrizione di al lato orizzontale del triangolo, , è massima in . La restrizione di al lato verticale del triangolo, , è massima in . Si deduce che il punto è di massimo assoluto, men tre i punti del tipo , con , sono di minimo assoluto. f ( ) 2 2 4 , y x x y x f − = f 2 R= D ( )2 R   C f ( ) 0 , = y x f  0=x 2 2 y x = ( ) 0 , = y x f ( )  x y x y x E =  = = 0 | , ( ) 0 ,  y x f ( )  y x y x E  = | , 1 f ( ) 2 3 2 4 , xy x y x fx − = ( ) y x y x fy 2 2 , −= ( ) 0 , =  y x f  ( )    = = − 0 0 2 2 2 2 y x y x x      = y x 0 ( )  ,0 P  f ( ) 0 ,0 =  f  ( )  ,0 P 0  ( )  ,0 P f ( )  x y x y x T     = 0,2 0| , T T f ( ) ( ) 4 0, x x f x g = = 2=x f ( ) ( ) 2 4 16 ,2 y y f y h − = = 0=y ( )0,2 ( )x x, 2 0   x 5 Ex 4 Studiare il carattere d elle seguenti serie numeriche ( motivare le risposte e precisare i criteri utilizzati). a) serie a termini positivi con ; risulta Non essendo verificata la condizione necessaria per la convergenza, la serie diverge. b) , c on parametro reale serie a termini positivi, con ; risulta ~ Qu indi, per il criterio del confronto asintotico e per quanto noto sulla serie armonica generalizzata, segue che: - se , la serie converge. - se , la serie diverge.  + =     − 4 2 3 n n n n 2 3 n n n n a     − = =             − + =     − = +→ +→ +→ n n n n n n n n n n a 3 3 1 lim 3 lim lim 2 +=             − +     − + = − +→ n n n n n 3 3 3 3 1 3 3 1 lim  + = − +    1 2 2 1 1 n a n n arctg n a n n arctg n a a n 1 1 2 2 +    = − na 25 1 1 2 − − = a a n n n 2 7 a 2 7 a