Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

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1 ANALISI MATEMATICA II ( ingegneria Biomedica ) Prima prova in itinere 17/7/15 Cognome : …............................................. Nome : ………………………………. Matricola : ……… Istruzioni: Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (2 pt.) Enunciare il teorema di Fermat per una funzione di due variabili e dare un esempio di funzione di due variabili dotata di un punto critico che non è punto di estremo. 2. (5 pt.) Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per serie numeriche. 3. (3 pt) Enunciare il teorema di esistenza ed unicità per il problema di Cauchy posto per un’equazione differenziale ordinaria del primo ordine in forma normale. 2 Ex 1 Dopo aver verificato la validità del teorema di esistenza ed unicità, determinare le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy (a) (b) Sol. (a) Posto , , risulta che ed sono entrambi continue nel piano, per cui, il problema di Cauchy posto per questa equazione ammette sempre una e una sola soluzione. Ricerca dell’integrale generale dell’equazione Equazione a variabili separabili Posto , risulta se o ; quindi le funzioni costanti , e sono soluzioni dell’equazione in Separando le variabili Segue: Quindi , , , , Da ( ) =−= 20'3 yyyy ( ) =−= 10'3 yyyy ( )3 ,yyytf−= ( )2 31,yytf y−= f yf 3 'yyy−= ( )3 yyyb−= ( )0=yb 0=y 1=y 0y 1y 1−y R = −dt yydy 3 ( ) ( ) ( ) ( )22 2222 3 11111 yyycbycaba yycycybybyaya yc yb ya yy−++−−+ = −−+++− = ++ −+= −    =+=−−= 001 cbcaba    =+=−= 011 cbcba    −=== 21211 cba  ( ) ( )yyy yy+− −+= −121 12111 3 ( ) ( )=     +− −+= −dy yyy yydy 121 1211 3 yyy+−−−1log 21 1log 21 log 2 1log yy −= ct yy += −2 1log Rc t ec yy 1 2 1= − + R 1c  2 11yecyt −= + R 1c   ()2 1ycetyt −= Rc ()20=y  c32=  32 =c  ()2 1 32 yetyt −= 3 Inoltre, per continuità, la soluzione avrà valori prossimi a 2 in un intorno dell’origine, quindi , in un intorno dell’origine; segue, elevando al quadrato, , definita in (b) Poiché la soluzione del problema di Cauchy è unica, deve essere necessariamente Ex 2 Calcolare la massa della lamina di densità , che occupa la regione del piano descritta da Sol. Passando a polari ; quindi 1122 −=−yy ( )1 34 222 −=yeyt  tt eey222 34 34 1−=     − t ey 22 43 11 − −=  t ey 2 43 11 − −=     +, 23 log 1y ( )22, yxyx yx ++ =  ( )  xyyxyxyx−+=2 ,1 ,0 ,0:,222 R xy−=2    cos2 += sen ( ) ( )=     += ++ ==+ 2 0cos2 122cos,        ddsendxdy yxyx dxdyyxmsen ( ) ( )=−−=         − ++=2 02 0cos21 cos2 cos          dsend sensen 2cos22 0−=+−=    sen 4 Ex 3 Sia , (a) determinarne il dominio ed il segno della funzione ( evidenziandolo con un grafico nel piano ) (b) dopo aver stabilito in quali punti esistono le derivate parziali e quali siano i punti singolari, determinare i punti critici ; (c) determinare i punti di estremo relativo e/o assoluto. Sol. (a) in in (b) Studio della derivabilità , per , con Se , allora considerato il punto con reale : Il limite non esiste se , mentre vale 0 se . Concludendo la funzione è derivabile ovunque per ed è derivabile anche in e in con e . I restanti punti dell’asse x sono singolari. Ricerca punti critici Il sistema assume la forma ed ha come unica soluzione il punto . (c ) Dal segno della funzione, segue che l’origine e il punto sono punti di sella. Il punto si trova nel compatto . Dal segno della funzione, utilizzando il teorema di Weierstrass, segue che B deve essere un punto di massimo. Si tratta di un massimo relativo poiché . Ancora dal segno della funzione, i punti , con , sono punti di minimo relativo e i punti , con o sono punti di massimo relativo. ( ) ( )xxyyyxf4,2 +−= D 2 R=D 0f ( )  0 ,4:,2 −yxxyyx 0=f ( )   ( )  RR− :4, :0,2 xxxxxx ( ) ( )xyyxf x24,−= ( )2 ,Ryx ( ) ( )( )xxyyyxf y42sgn,2 +−= ( )2 ,Ryx 0y 0=y ( )0,   ( ) ( ) ( )=+− =− →→ kkk kfkf kk   4 lim0,, lim2 00 ( )( ) 4sgnlim2 0+− →kk k 4,0 4,0= 0y ( )0,0 ( )0,4 ( ) ( )00,00,0== yxff ( ) ( )00,40,4== yxff  == 00 yx ff  =+−=− 042024 2 xxyx ( )2,2− ( )0,4 ( )2,2−B ( )  xxyyxyxT4 ,0,0:,2 −= ( )+= +→yf y,2lim ( )0, P 40 ( )0, Q 0 4 5 Ex 4 Dato il campo vettoriale , stabilire se è conservativo e, in caso affermativo, trovare una funzione potenziale. Calcolare il lavoro di lungo l’arco di linea che è il tratto di ellisse che si trova nel terzo quadrante percorso in senso antiorario. Sol. Si osserva che . Posto , , segue: , Essendo , il campo è irrotazionale in , e poiché è semplicemente connesso, il campo è conservativo. Detto un potenziale, segue: , dove è una funzione incognita da determinarsi tenendo presente che , con costante arbitraria. Un potenziale è quindi Poiché il campo è conservativo, il lavoro è dato da : ( ) ( ) ( )jiFxyxy exeyeeyx−+−=22, F  1422 =+yx ( )21 RFC ( )xy yeeyxF−=2, 1 ( )xy exeyxF−=2, 2 ( )xy eeyx yF −=  2,1 ( )xy ee xyxF −=  2, 2 ( ) ( )yx xF yx yF ,,21  =  2 R=D D ( )yxUU,= ( ) ( ) ( )ygyexedxyeeyxUxyxy +−=−= 22, ( )ygg= ( ) ( )xyxy yexeygexeyxU−=+−=2'2,  ( )0'=yg  ( )cyg= c ( )xy yexeyxU−=2, ( )25 2 21 0,1 21 ,0=+=−−     −=UUL