Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

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An.II – Bio 29/01/201 9 1/4 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… Firma ……………… T Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Tot Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. Q1. Sia . Sia un campo con dominio , . Allora: (a) condizione n ecessaria e sufficiente affinché sia conservativo su è che su tutto valga l’uguaglianza ; (b) condizione n ecessaria, ma non sufficiente, affinché sia conservativo è che sia irrotazionale su ; (c) condizione n ecessaria e sufficiente affinché sia conservativo su è che su tutto valga l’uguaglianza ; (d) condizione sufficiente affinché sia conservativo è che esista una curva chiusa lungo la quale il lavoro del campo è nullo. Q2. Sia , sia aperto e . Allora: (a) se ed sono continue in , è d ifferenziabile in ; (b) se ha tutte l e derivate parziali su ed esse sono continue in , è continua in ; (c) se per ogni versore , è differenziabile in ; (d) se è differenziabile in , tutte le sue derivate parziali esist ono e sono continue in . Q3. Sia . Sia la sua forma polare, rispetto al polo . (a) Se, comunque si fissi , se , allora ; (b) se , allora ; (c) se , allora ; (d) in base alle informazioni fornite, nessuna delle precedenti affermazioni è necessariamente vera . Teorema di struttura delle soluzioni di un’equazione lineare compl eta (solo enunciato) . Qual ’è il carattere di al variare di . Dimostrare solo nel caso . (scrivere sul retro del foglio )     \ 0, 0 D y y    22RR         12 , , , ,x y F x y F x y  F D   1CD F F D D     21 ,, xyF x y F x y    F D F D D     12 ,, xyF x y F x y    F :fD  2RR D 0 D  x f xf 0x f 0x f D 0x f 0x     00 D f f    v x x v v f 0x f 0x 0x     : \ 0, 0f  2RR   , f    0, 0    ,0 f   0        , 0,0 lim , 0 xy f x y     ,4 f sen          , 0,0 lim , 0 xy f x y     1 , f         , 0,0 lim , xy f x y    1 1 n n     R 1   An.II – Bio 29/01/201 9 2/4 Ex 1 Calcolare tutte le soluzioni dell’equazione diffe renziale: . Verificare che tutte sono soluzioni del problema di Cauchy: Spiegare perché l’esistenza di infinite soluzioni non contraddice il teorema di esistenza ed unicità. La funzione costante è soluzione. Per , , separando le variabili e integrando: , , Integrale generale dell’equazione data : , , Poiché , in effetti tutte le soluzioni dell’equazione sono anche tutte soluzioni dell’equazione differenziale. Il teo rema non si può applicare poiché l’equazione non è in forma normale, cioè non è del tipo ; non c’è quindi alcuna contraddizione. Ex 2 Sia data la funzione . a) Determinar ne gli eventuali estremi assoluti di nell’insieme Sia , la restrizione di ad . La funzione ha un massimo assoluto in , mentre , quindi non è inferiormente limitata. Si conclude che il massimo assoluto di su è , mentre il minimo assoluto su non esiste. b) Determinare tutti gli eventuali punti di estremo di nel suo dominio naturale e specificarne la natura (massimi/minimi, relativi/assoluti). , Ricerca dei punti critici , L’unico punto critico di è l’origine. ' log xy y y    ' log 01 xy y y y      1 y 0 y 1 y log dy dx y y x   log log log y x c  c R log c y e x  log c y e x c R   kx y x e  k R R  x   0 01 ye      'y a x b y     3 22 ,1 f x y x x y    f     2 2, A y y    R     2 2, 4 g y f y y    f A g 0 y   lim y gy    g f A   2, 0 4 f  A f D  2R   fC   2R    2 2 , 2 3 1 xf x y x x y       3 , 2 1 yf x y y x      0 ,   y x f  0 0 y x      f An.II – Bio 29/01/201 9 3/4 Natura de ll’origine , , , , , l’origine è un punto di minimo. Poiché la funzione non è inferiormente limitata (punto a)), l’o rigine è di minimo relativo. c) Determinar ne gli eventuali estremi assoluti di su Essendo un insieme compatto e la funzione continua in , per il teorema di Wei erstrass, esistono necessariamente gli estremi assoluti di in e si trovano sulla frontiera di , poiché non contiene punti critici . Siano , , , i vertici del rettangolo Restrizione di al lato : Restrizio ne di al lato : , con è massima in , con , minima in , con Restrizione di al lato : , L’intervallo che interessa è , quindi è crescente in e decrescente in , con massimo , e , . Restrizione di al lato Come sul lato Conclusione Dal confronto fra tutti i valori calcolati, s i deduce che il massimo assoluto di su è , mentre il minimo assoluto è .     2 , 2 6 1 xxf x y x y       2 , 6 1 xyf x y x y       3 , 2 1 yyf x y x      0, 0 2 xxf    0, 0 0 xyf    0, 0 2 yyf    0, 0 4 0 f H   f     2 , : 1 2, 2 2 B x y x y        R B A f B B B   1, 2 C   2, 2 D   2, 2 E    1, 2 F  B f CF     1, 1 t y f y  y f DE     2 2, 4 g y f y y    22 y    g 0 y  04 g  2 y  20 g  f CD    3 2 41 h x x x          2 2 2 ' 2 12 2 1 12 26 12 2 6 13 6h x x x x x x x x               '0hx   2 6 13 6 0xx     23 32 x    1, 2 h 3 1, 2   3,22   37 24 h   11 h   20 h  f FE CD f B   2, 0 4 f    2, 2 0 f  An.II – Bio 29/01/201 9 4/4 Ex 3 Siano , . Disegnare e calcolare il volume di: L’insieme è la parte di corona circolare (con raggio interno 1 e raggio esterno 2) che si trova nel quarto quadrante, sopra la bisettrice . Poiché la funzione è positiva su tutto , il volume richiesto è: Ex 4 Si consideri la curva : , . a) se possibile, calcolare il versore tangente nel punto in cui la curva attraversa il piano Risulta: , . Inoltre, risulta . Perciò, la curva è regolare ed è ben defin ito il versore tangente, in qualunque punto della curva. La curva attraversa il piano solo se e risulta: , . Di conseguenza, il vers ore tangente risulta: b) Detto l’arco di curva corrispondente a , calcolare l’integrale di linea su della funzione : , . Calcolare inoltre il lavoro del campo lungo (evitare calcoli inutili!). Per definizione, il campo è conservativo, con potenziale . Di conseguenza, il lavoro vale:   22 22 , y xy xe f x y xy        22 , : 1 4, 0 D x y x y x y        D         3 , , : , , 0 ,x y z x y D z f x y       R D yx D m    D V f xy dxdy     0 2 0 1 44 cos cos sen sen e d d e d                  1 0 2 4 1 senee         2 t t e t t    r i j k t R 0 z  '2 t t e t    r i j k   1C rR  't  r0 t R 0 z 0 t  0  ri   '0  r i k     '0 '0 2   r ik r    0,1 t    2 cos ,, 41 zy f x y z xy     0, 2 t   f  1 2 22 22 0 cos 41 41 t t tt fds e t dt et        1 1 2 2 0 0 1 cos 22 sent sen t t dt   f f            2 cos1 1 0 ,1,1 1, 0, 0 5 L f f f e f e       rr