Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

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Tema A 1 ANALISI MATEMATICA II (ing . Bio medica ) Prima prova in itinere 27 /04 /2018 Cognome: …............................................. Nome: ………………………………. Matricola: ……… Teoria Ex 1 Ex 2 Ex 3 Totale Istruzioni : Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. Domande di teoria 1. (2 punti) Sia . Quale è vera fra le seguenti affermazioni? ( a) se è differenziabile in , allora è continua in , (b) se è co ntinua e derivabile in , allora è differenziabile in , (c) se è derivabile in , allora è continua in , (d) se ha un punto di massimo in , allora è differenziabile in . 2. (2 punti) Sia con dominio , . Allora: (a) condizione necessaria e sufficiente affinché sia conservativo è che sia irrotazionale su , (b) condizione necessaria ma non sufficiente affinché sia conservativo è che su tutto valga l’uguaglianza , (c) condizione necessaria ma non sufficiente affinché sia conservativo è che su tutto valga l’uguaglianza , (d) condizione sufficiente affinché sia conservativo è che esista una curva chiusa lungo la quale il lavoro del campo è nullo. 3. (2 punti) Definizione di c urva regolare . 4. (4 punti) Formula del gradiente (enunciato e dimostr azione). Scrivere sul retro del foglio. 2 :f  RR f   00, xy f   00, xy f   00, xy f   00, xy f   00, xy f   00, xy f   00, xy f   00, xy         12 , , , ,x y F x y F x y  F     2 2 2 , : 1 D x y x y     R   1CD F F D F D     21 ,, xyF x y F x y    F D     12 ,, xyF x y F x y    F Tema A 2 Ex 1 (7 punti) Sia dato il campo vettoriale . (a) determinarne il dominio e s tabilire se il campo è irrotazionale Il campo è definito là dove , cioè in . Si osserva che . Posto , , risulta: , . Poiché in , il campo è irrotazionale. (b) si pu ò affermare che il campo è conservativo in ? (motiva re la risposta ). Poiché è irrotazionale in , che è un aperto semplicemente connesso , ne segue che il campo è conse rvativo in . (c) Stabilire se è conservativo in tutto il suo dominio Poiché non è semplicemente connesso, non si può dire a priori se il campo sia conservativo in . Si cerca allora un potenziale. Detto un (eventuale ) potenziale, risulta: , dove è una funzione incognita da determinarsi tenendo presente che Quindi è un potenziale ed è definito su tutto . Segue che il campo è conservativo in tutto il suo dominio.       3 22 2 4 2 4 33 24 , xy xy x y x y   F i j 24 0 xy    2\  0 R   1C F     1 2 24 3 2 , x F x y xy       3 2 2 24 3 4 , y F x y xy       53 3 1 24 16 , 3 y xy F x y xy       53 3 2 24 16 , 3 x xy F x y xy      y x F y x F x y , , 2 1   F     , : 0, 0 A x y x y    F A A F    y x U U ,        24 3 2 24 3 2 ,3 x U x y dx x y h y xy              h h y         3 2 2 24 3 4 , ' , y y U x y h y F x y xy        '0hy     h y c    24 3 ,3 U x y x y   Tema A 3 Ex 2 (10 punti) Data la funzione , (a) determinarne il dominio e il segno ; osservato che equivale a , detta la circonferenza di rag gio 1 con centro in all’esterno di nei punti che non si trovano sull’asse y, all’interno di nei punti che non si trovano sull’asse y, su e su tutto l’asse y (b) d eterminare gli eventuali punti critici e stabilire se essi sono punti di estremo relativo /assoluto ; ricerca dei punti critici , , oppure I punti critici sono quindi tutti i punti dell’asse y, con reale arbitrario, e i punti e . - punti , in cui reale Osservato che , tenendo presente il segno della funzione, segue che: i punti sono di minimo relativo se oppure se , sono di massimo relativo se . I punti e sono di sella. - punti e Sia . Poiché è un compatto ed , utilizzando il teorema di Weierstrass, la funzione ammette minimo assoluto in , assunto necessariamente nei punti e (an cora dal segno della funzione). Essendo poi la funzione positiva all’esterno di , si conclude che e sono di minimo assoluto per su tutto il suo dominio. In alterna tiva: , , , , , è un punto di minimo relativo. Si tratta in realtà di minimo assoluto (argomenta ndo come sopra) . Lo studio del punto è analogo a quello del punto B e si ottiene lo stesso risultato .     2 2 2 ,2 f x y x x y y    D 2 D R 22 20 x y y     2 2 11 xy       0,1 A   ,0 f x y     ,0 f x y     ,0 f x y         2 2 3 2 2 , 2 2 2 2 2 2 xf x y x x y y x x x y y            2 , 2 1 yf x y x y    D y x   ,      0 0 y x f f      22 2 2 2 0 10 x x y y xy         0 x y       2 2 1 0 1 xx y       2 1 2 1 x y         0, P     0, 0 f   1 ,1 2 B  1 ,1 2 C     ,0  P   0, 0 f          , 0, , f x y f f x y     0, P  0   2   02    0 0, 0 P    2 0, 2 P  1 ,1 2 B  1 ,1 2 C        2 22 , : 1 1 E x y x y      R E   f C E   E B C E B C f       2 2 2 2 2 2 , 2 2 4 6 2 6 2 xxf x y x y y x x x y y             , 4 1 xyf x y x y    2 ,2 yyf x y x  1 ,1 4 2 xxf    1 ,1 0 2 xyf    1 ,1 1 2 yyf    40 1 ,1 det 4 0 01 2 f H         1 ,1 0 2 xxf     B C Tema A 4 Ex 3 (6 punti ) Dato , sia (a) c alcolare, se esiste, Segue che (b) calcolare, se esiste, la derivata direzionale dove (c) stabilire s e esistono valori per cui l a funzione è differenziabile nell’origine . Non esistono valori per i quali la funzione è dell’origine. Infatti, se fosse differenziabile nell’origine per qualche , utilizzando la formula del gradiente ed i risultati precedenti, si avrebbe 0               22 1 , 0, 0 , 0 , 0, 0 xy xe xy f x y xy xy             0, 0 f    , 0 0 f x x     0, 0 0 f x      0, 0 f y y     0, 0 0 f y        0, 0 0, 0 f    0, 0 Df  v 11 , 22  v   0, 0 Df   v   2 2 2 0 0 0 3 2 1 , 0, 0 2 22 lim lim lim 2 2 2 2 t t t t t tt e ff t t t t                     0   f 0   f 0       0 0, 0 0, 0 0 22 D f f         v v