Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II  19 febbraio 2019 Ing. BiomedicaProva d'esame 1a parte (TEORIA) Cognome (in STAMPATELLO LEGGIBILE!):Nome (in stampatello): 1.Siaf:R2 !Runa funzione denita in un intorno di(0;0)che ammette derivate direzionali in(0;0)in ogni direzione. Allora: (a)fè continua in(0;0); (b)fè dierenziabile in(0;0); (c)postov= (a; b)con∥v∥= 1, esiste nitolim t!0f (ta; tb)f(0;0) t; (d)nessuna delle risposte precedenti è vera. 2.SiaF:UR2 !R2 . Allora: (a)SeFè irrotazionale inU, allora è conservativo. (b)SeUè una corona circolare edFè irrotazionale, alloraFè conservativo. (c)SeFè conservativo eUè una corona circolare, alloraFè irrotazionale. . (d)Il lavoro diFlungo una curva chiusa contenuta inUè nullo. 3.Enunciare il Teorema di Fermat (non è richiesta la dimostrazione). 4.L'aermazione  l'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 2  è corretta : (a)per qualunque equazione lineare del second'ordine, (b)per qualunque equazione lineare del second'ordine omogenea, (c)per qualunque equazione lineare del second'ordine in forma normale, (d)per qualunque equazione lineare del second'ordine omogenea e in forma normale. 5.Enunciare e dimostrare il criterio del rapporto per la convergenza di serie numeriche. Politecnico di MilanoAnalisi Matematica II  19 febbraio 2019 Ing. BiomedicaProva d'esame  ESERCIZI Cognome (in STAMPATELLO LEGGIBILE!):Nome (in stampatello): 1)Si consideri il problema di Cauchy, dipendente dal parametro reale: {y′ +y ex tanx= 3 senx+logx y() = 1: a)Determinare, se possibile, l'intervallo di denizione della soluzione (senza calcolarla). b)Determinare l'espressione esplicita della soluzione nel caso= 0. a)L'intervallo risulta(=2;3=2), indipendentemente dal valore di( si tratta del più grande intervallo contenentesu cui sono denite e continue le funzioni:ex tanxe3 senx+logx). b)Per= 0l'equazione risultay′ +ytanx= 3 senx. L'equazione omogenea associatay′ +ytanx= 0ha soluzione generale: y(x) =kcosx : Cerchiamo le soluzioni dell'equazione completa nella formay(x) =(x) cosx : Sostituendo nell'equazione data, troviamo l'equazione per(x): ′ (x) = 3 tanx ; che ha soluzione generale(x) =3 logjcosxj+c : Quindi la soluzione generale dell'equazione data è: y(x) = (3 logjcosxj+c) cosx : Si vede facilmente che per soddisfare la condizione iniziale occorre e basta che siac=1. Perciò la soluzione del problema di Cauchy (denita su(=2;3=2)come detto sopra) è: y(x) =cosx(3 log(cosx) + 1): 2) Si consideri la funzionef(x; y) =x2 y+ 2xy. a)Determinare tutti i punti stazionari dife la loro natura. Stabilire sefè limitata superior- mente/inferiormente. b)Determinare gli eventuali estremi assoluti difsuA=f(x; y)2R2 :y=3 2x2 + 2x+3 2g . a)I punti stazionari sono i punti in cui si annullano entrambe le derivate parziali, che risultano: fx( x; y) = 2xy+ 2; f y( x; y) =x2 1: Si trovano i due punti stazionari:(1;1)e(1;1). Le derivate seconde risultano: fxx( x; y) = 2y ; f xy( x; y) =f yx( x; y) = 2x ; f yy( x; y) = 0: Per la matrice hessiana difnei due punti stazionari abbiamo quindi: Hf(1;1) =[ 2 2 2 0] ;Hf(1;1) =[ 22 2 0] : In entrambi i casi si ha un determinante negativo, per cui si tratta di punti di colle. L'assenza di punti di estremo non implica, di per sè, il fatto che la funzione non sia limitata. Tuttavia, considerando, ad esempio, la restrizione difay= 0si trova f(0; y) =y! y!1∓1 ; per cuifnon è limitata, né superiormente né inferiormente. b)Consideriamo la restrizione difadA: g(x) :=f( x ;3 2x 2 + 2x+3 2) =3 2x 4 + 2x3 3 2: Si trovag′ (x) = 6x3 + 6x2 = 6x2 (x+ 1)0,x 1: Dunque la funzionegha un minimo assoluto perx=1edil minimo assoluto difsuAè f(1;1) =2, mentre il massimo assoluto suAnon esiste(edfnon è nemmeno superiormente limitata suA, essendolim x!1g (x) = +1). 3)Sia(x; y) =1 1 +x+yla densità di una lamina che occupa il quadrilatero Elimitato dalle rette: x= 0; y= 0; x= 1; x+y= 2: DisegnareEe calcolare la massaMdella lamina. M=∫ ∫ E (x; y) dxdy=∫ 1 0( ∫ 2x 01 1 +x+yd y) dx=∫ 1 0[ log(1 +x+y)] 2x 0d x= =∫ 1 0(log 3 log(1 +x)) dx= log 3∫ 1 0log( x+ 1)D(x+ 1) dx= (per parti) = log 3{ [ (x+ 1) log(x+ 1)] 1 0∫ 1 0x + 1 x+ 1d x} = log 3(2 log 2log 1) +∫ 1 01 d x= log3 4+ 1 : 4) Si considerino i campi vettoriali: F(x; y) = (xy; xy);G(x; y) =( 4x3 x4 +y2;2 y x4 +y2) a)Stabilire se il campoFè conservativo sul suo dominio naturale e calcolarne il lavoroL 1sulla circonferenza di raggio1centrata nell'origine, percorsa una e una sola volta in senso antiorario. b)Stabilire se il campoGè conservativo sul suo dominio naturale e calcolarne il lavoroL 2sulla curva:r(t) =( et t2 sint 2; 5 p t8 1 cost 2) ; t2[0;1]; dopo aver vericato che il sostegno della curva è contenuto nel dominio del campo. a)Il campoFha dominio naturaleR2 ; si verica che non è irrotazionale, quindi non può essere con- servativo e per il calcolo del lavoro occorre utilizzare la denizione. Coll'usuale parametrizzazione della circonferenza(cos;sin); 2[0;2], si trova: L1=∫ 2 0(cos sin;cossin)
(sin;cos) d= =∫ 2 0( sin2 cos+ cos2 sin) d=[ sin 3  3 cos 3  3] 2 0= 0 : b)Il campoGha dominio naturaleR2 n f(0;0)g, che non è semplicemente connesso, per cui la verica dell'irrotazionalità non è suciente ad aermare che è conservativo. Si controlla però colla denizione cheGè conservativo; infatti, esso ammette potenziale: U(x; y) = log(x4 +y2 ): Per vericare che il sostegno della curva è contenuto nel dominio del campo, basta vericare che r(t)̸ = (0;0)8t2[0;1]. A tal uopo, basta notare che, nell'intervallo[0;1], la prima componente della curva si annulla solo pert= 0, mentre la seconda componenente vale1pert= 0. Per il calcolo del lavoro si potrà sfruttare il potenziale: L2= U(r(1))U(r(0)) =U(e;0)U(0;1) = loge4 log(1)2 = 4: