Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Full exam

An.II – Bio 29/01/201 9 1/4 Cognome …………………… Nome ………………… Matr. ………… T Ex1 Ex2 Ex3 Ex4 Tot Consegnare solo questi fogli. Non si accettano fogli di brutta. Q1. Sia . Sia un campo con dominio , . Allora: (a) condizione n ecessaria e sufficiente affinché sia conservativo su è che su tutto valga l’uguaglianza ; (b) condizione n ecessaria, ma non sufficie nte, affinché sia conservativo è che sia irrotazionale su ; (c) condizione n ecessaria e sufficiente affinché sia conservativo su è che su tutto valga l’uguaglianza ; (d) condizione sufficiente affinché sia conservativo è che esista una curva chiusa lungo la quale il lavoro del campo è nullo. Q2. Sia , sia aper to e . Allora: (a) se ed sono continue in , è d ifferenziabile in ; (b) se ha tutte le derivate pa rziali su ed esse sono continue in , è continua in ; (c) se per ogni versore , è differenziabi le in ; (d) se è differenziabile in , tutte le sue derivate parziali esist ono e sono continue in . Q3. Sia . Sia . (a) Se, comunque si fissi , se , allora ; (b) se , allora ; (c) se , allora ; (d) in base alle informazioni fornite, nessuna delle precedenti affermazioni è necessariamente vera . Teorema di struttura delle soluzioni di un’equazione lineare completa (solo enunciato) . Qual ’è il carattere di al variare di ? Dimostrare solo nel caso . (scrivere sul retro del foglio )     \ 0, 0 D y y    22RR         12 , , , ,x y F x y F x y  F D   1CD F F D D     21 ,, xyF x y F x y    F D F D D     12 ,, xyF x y F x y    F :fD  2RR D 0 D  x f xf 0x f 0x f D 0x f 0x     00 D f f    v x x v v f 0x f 0x 0x     : \ 0, 0f  2RR     , cos , f f sen           ,0 f   0        , 0,0 lim , 0 xy f x y     ,4 f sen          , 0,0 lim , 0 xy f x y     1 , f         , 0,0 lim , xy f x y    1 1 n n     R 1   An.II – Bio 29/01/201 9 2/4 Esercizio 1 Calcolare tutte le soluzioni dell’equazione differenziale: . Verificare che tutte le soluzioni tr ovate sono soluzioni del problema di Cauchy: Spiegare perché l’esistenza di infinite soluzioni non contraddice il teorema di esistenza ed unicità. ' log xy y y    ' log 01 xy y y y      An.II – Bio 29/01/201 9 3/4 Esercizio 2 Sia data la funzione . a) Determinar ne gli eventuali estremi assoluti di nell’insieme b) Determinare tutti gli eventuali punti di estremo di nel suo dominio naturale e specificarne la natura (massimi/minimi, relativi/assoluti). c) Determinar ne gli eventuali estremi assoluti di su    3 22 ,1 f x y x x y    f     2 2, A y y     RR f f     2 , : 1 2, 2 2 B x y x y        R An.II – Bio 29/01/201 9 4/4 Esercizio 3 Siano e . Disegnare e calcolare il volume di: Esercizio 4 Si consideri la curva : , . a) Se possibile, calcolare il versore tangente nel punto in cui la curva attraversa il piano b) Detto l’arco di curva corrispondente a , calcolare l’integrale di linea su della funzione : , . Calcolare inoltre il lavoro del campo lungo (evitare calcoli inutili!).   22 22 , y xy xe f x y xy        22 , : 1 4, 0 D x y x y x y        D         3 , , : , , 0 ,x y z x y D z f x y       R  2 t t e t t    r i j k t R 0 z    0,1 t    2 cos ,, 41 zy f x y z xy     0, 2 t   f 