Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Second partial exam

1/0 7/19 B 1 ANALISI MATEMATICA II Ing. Biomedica Cognome: …............................................. Nome: ………………………………. Matricola: ……… ex 1 ex 2 ex 3 teoria totale Istru zioni : Tutte le risposte devono essere motivate. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessità, sul retro. Non si accettano fogli di brutta. 1. L’equazione differenziale è: (a) lin eare a coefficienti costanti omogenea, ( b) non lineare , (c) lineare a coefficienti non costanti non omogenea, (d) lineare a coefficienti non costanti omogenea. 2. Sia una serie numerica a termini positivi. Quale affermazione è vera f ra le seguenti? (a) la serie può essere indeterminata , (b) se , allora la serie converge , (c) la serie è divergente, (d) se la serie converge, allora . 3. Sia . Allora: ( a) è x-semplice, (b) è y-semplice , (c) è sia x-semplice che y -semplice , (d) non è compatto . 1. Teorema di esistenza ed unicità locale per un’equazione differenziale ordinaria del pr imo ordine in forma normale (enunciato ) 2. Criterio di confronto asintotico per serie numeriche (enunciato e dimostrazione ). (Scrivere sul retro del foglio ) ( ) '' 2 ' 0 xy y sen xy + + =  + =0n na 0 lim = +→ n n a 0 lim = +→ n n a ( )   2 2 2 , : 1 4, 0, 3 3x y x y x x y x  =   +   −   R     1/0 7/19 B 2 Ex 1 a) Calcolare l’integrale generale dell’equazione differenziale , al variare del parametro reale equazione caratteristica per oppure integrale generale omogenea - se , , e reali - se , , e reali b) determinare l’integrale generale di per ricerca di una soluzione particolare - se , , , quindi , qualunque - se , , , integrale generale - per , l’integrale generale è e reali - per , l’integrale generale è , e reali. c) stabilire il comportamento in un intorno di dell’integrale generale determinato nel punto b), nel caso quindi tutte le soluzioni rappresentate dall’integrale generale, con presentano , per , un asintoto orizzontale di equazione .  ( ) '' 1 ' 0z z z  − + + = ( ) 2 10     − + + = 1  =  = 1  = ( ) 12xx z x c e c xe =+ 1c 2c 1   ( ) 12xx z x c e c e  =+ 1c 2c ( ) '' 1 ' 4y y y  − + + = 1   0  = ( ) u x ax b =+ ( ) 'u x a = ( ) '' 0ux = 4 a−= 4 a=− b  ( ) 4 u x x =− 0   ( ) u x a = ( ) '0ux = ( ) '' 0ux =  ( ) 4 ux = 0  = ( ) 12 4 x y x c e c x = + − 1c 2c 0,1   ( ) 12 4 xx y x c e c e   = + + 1c 2c − 0, 1   ( ) 12 44 lim lim xx xx y x c e c e   →− →−  = + + =  0, 1   x→ − 4 y = 1/0 7/19 B 3 d) risolvere il problema di Cauchy Per quanto stabilito nel punto b), l ’integrale generale dell’equazione completa è : , e reali. Soluzione del problema di Cauchy La soluzione è . Ex 2 Calcolare l’integrale con . Poiché se , risulta: ( ) ( ) '' ' 4 0 2 ' 0 1 yy y y  −=  =   =−  ( ) 12 4 x y x c e c x = + − 1c 2c ( ) 1 '4 x y x c e =− ( ) ( ) 12 1 0 2 ' 0 4 1 y c c yc  = + =  = − = −  1 2 3 1 c c =   =−  ( ) 2 0 41 x y x e x = − − 2y D xe dxdy  ( )   22 , : 0, 2 1 D x y x x y x =    + 22 21xx =+ 1 x= ( ) 2 2 22 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 0 0 0 2 2 1 22 x x y y y x x D x x e xe dxdy xe dy dx x dx x e e dx + + +  = = = − =       22 1 2 2 4 0 1 2 4 8 xx ee+ = − = ( ) 442 42 1 1 1 21 2 4 8 4 8 16 eee ee  − − + = − +  1/0 7/19 B 4 Ex 3 Stabilire il caratt ere delle seguenti serie e, se possibile, dare una valutazione o una maggiorazione della somma: 1. Serie a termini positivi con Poiché il termine generale della serie data è maggio rato dal termine e la serie geometrica è convergente, per il criterio del confronto, la serie data converge. Inoltre, la sua somma è minore della somma della serie geometrica, cioè: . 2. Serie a termini positivi con Per il criterio del confronto asintotico, la serie converge. Risulta inoltre che la serie è telescopica e ………. , , quindi la somma è 1. 0 1 3 n n n + =   +   1 3 n na n = +  11 33 nn na n    =    +     1 3 n   0 1 3 n n + =    s 3 2 s 33 1 11 1 n nn + =  −  +   33 11 1 na nn =− + 2 1 43 3 3 3 3 33 33 32 1 11 1 1 1 1 1 1 3 1 3 n n n nn a n nn nn n n n  +−  +−  = − =  = + + 11 3 1 1 2 sa = = − 2 1 2 33 33 1 1 1 1 11 2 2 3 3 s a a = + = − + − = − 3 1 1 1 ns n =− + 1 ns →