Biomedical Engineering - Analisi Matematica 2

Curve

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Analisi Matematica II (per Ing. Biomedica). HOMEWORK 1 Esercizio 1. Si consideri la curvaγdi parametrizzazione φ( t) = (tcost−sint, tsint+ cost, t)t∈[0,2π]. a) Mostrare cheγ`e una curva regolare. b) Determinare la massa totaleMdella curvaγrispetto alla densit`a lineare di massa δ(x, y, z) =px 2 +y2 + 3z2 + 3. NB. La massa totale di una curvaγ`e definita dal seguente integrale di linea M:=Z γδds, doveδrappresenta la densit`a lineare di massa. Esercizio 2.Si consideri la curvaγdi parametrizzazione φ( t) = (t−cos2 t, t−sin2 t,√2 sin tcost)t∈[0, π/2]. Calcolare l’integrale curvilineoI=Z γf (x, y, z)ds, dovef(x, y, z) =z. Esercizio 3.Si consideri la curvaγdi parametrizzazione φ( t) = (tcost, tsint,√3 t)t∈[0,1]. a) Mostrare cheγ`e rettificabile e calcolare la sua lunghezzal(γ). b) Determinare la coordinataz Cdel suo centroide C. NB. Le coordinate del centroide (o baricentro)C= (x C, y C, z C) di una curva γsono definiti dai seguenti integrali di linea xC:=1l (γ)Z γxds y C:=1l (γ)Z γyds z C:=1l (γ)Z γzds. Esercizio 4.Si consideri la curvaγdi parametrizzazione φ( t) = (cos(et ),sin(et ), et )t∈[log(π/2),logπ]. a) Mostrare cheγ`e rettificabile e calcolare la sua lunghezzal(γ). b) Calcolare il valor medio della funzionef(x, y, z) = lnz suγ. NB. Il valo medio di una funzionefsu una curvaγ`e definito dal seguente integrale di lineaf γ:=1l (γ)Z γf ds. 1 Esercizio 5. Siaγla curva grafico della funzione y=x3 , t∈[0,1]. Dopo aver calcolato l’elemento d’arcods, calcolare l’integrale di linea Z γf (x, y)ds, dovef(x, y) =x. Esercizio 6.Si consideri la curvaγparametrizzata da φ( t) = t2 cost, t2 sint, t2
, t∈[−2π,2π]. a) Stabilire seγ`e una curva chiusa, semplice, regolare o regolare a tratti (determinando gli eventuali punti singolari della curva), rettificabile. b) Calcolare la sua lunghezzal(γ). Esercizio 7.Si consideri la curvaγparametrizzata da φ( t) = cos2 t, t2 ,12 sin(2 t) , t∈[−√2 ,0]. a) Stabilire seγ`e una curva chiusa, semplice, regolare, rettificabile. b) CalcolareZ γf (x, y, z)ds, dovef(x, y, z) =√y. 2