Biomedical Engineering - Bioelettromagnetismo e Strumentazione Biomedica

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Politecnico di Milano SCUOLA DI INGEGNERIA INDUSTRIALE E DELL’INFORMAZIONE Laurea Triennale – Ingegneria Biomedica Dispensa di Bioelettromagnetismo e Strumentazione Biomedica Professori Paolo Giuseppe Ravazzani Giancarlo Ferrigno Studente Loris BARBIERO – 887014 Anno Accademico 2020 – 202 1 1 BIOELETTROMAGNETISMO 1. ELETTROMAGNETISMO E FDTD ................................ ................................ .......... 3 1.1 Introduzione alle onde elettromagnetiche ................................ ................................ ............................. 3 1.2 Operator i vettoriali e differenziali ................................ ................................ ................................ ........... 4 1.2.1 Operatore ା (nabla) ................................ ................................ ................................ .......................... 4 1.2.2 Operatore Laplaciano ................................ ................................ ................................ ....................... 4 1.3 Equazioni di Maxwell ................................ ................................ ................................ ............................... 4 1.4 Onda elettromagnetica ................................ ................................ ................................ ........................... 5 1.5 Comportamento dei campi ................................ ................................ ................................ ...................... 6 1.6 Stima dei campi ................................ ................................ ................................ ................................ ....... 6 1.6.1 Metodi analitici ................................ ................................ ................................ ................................ . 7 1.6.2 Metodi numerici ................................ ................................ ................................ ................................ 7 2. METODI ANALITICI & STIMOLAZIONE M AGNETICA ................................ ........... 12 2.1 Metodi analitici ................................ ................................ ................................ ................................ ...... 12 2.1.1 Calcolo diretto del campo elettrico indotto da una bobina ................................ ............................ 12 2.2 Applicazione del teorema di reciprocità ................................ ................................ ................................ 13 3. ESPOSIZIONE A CAMPI IN BASSE E MEDIE FREQUENZE ................................ ..... 15 3.1 Esposizione a campi elettrici E 0 ................................ ................................ ................................ ............. 15 3.1.1 Modello sferoidale ................................ ................................ ................................ .......................... 15 3.1.2 Modello assisimmetrico ................................ ................................ ................................ .................. 17 3.2 Esposizione a campi magn etici B 0................................ ................................ ................................ .......... 18 4. DOSIMETRIA & CARATTERIZZAZIONE CEM ................................ ....................... 19 4.1 Dosimetria ................................ ................................ ................................ ................................ ............. 19 4.1.1 Calcolo SAR tramite FDTD ................................ ................................ ................................ ............... 20 4.2 Linee guida per la lim itazione dell’esposizione ai campi EM ................................ ................................ 20 5. CORRENTI & POTENZIALI BIOELETTRICI ................................ ............................ 22 5.1 Equazione di Nernst -Planck ................................ ................................ ................................ ................... 22 5.2 Membrana cellulare ................................ ................................ ................................ .............................. 23 5.2.1 Potenziale transmembrana ................................ ................................ ................................ ............ 23 5.2.2 Potenziale di Nernst ................................ ................................ ................................ ........................ 24 5.2.3 Modello a conduttanze parallele ................................ ................................ ................................ .... 24 5.2.4 Pompe e canali ................................ ................................ ................................ ................................ 25 6. POTENZIALE D’AZIONE & MODELLO H -H ................................ .......................... 27 6.1 Potenziale d’azione (PA) ................................ ................................ ................................ ........................ 27 6.1.1 Generazione del PA ................................ ................................ ................................ ......................... 27 6.1.2 Proprietà del PA ................................ ................................ ................................ .............................. 27 6.2 Modello di Hodgkin e Huxley ................................ ................................ ................................ ................. 28 2 6.2.1 Statistica dei canali ionici: Potassio ................................ ................................ ................................ 29 6.2.2 Statistica dei canali ionici: Sodio ................................ ................................ ................................ ..... 30 7. PROPAGAZIONE DELLO STIMOLO ................................ ................................ ..... 31 7.1 Modello della fibra cili ndrica ................................ ................................ ................................ ................. 31 7.2 Propagazione sotto -soglia ................................ ................................ ................................ ..................... 32 7.2.1 Condizioni stazionarie ................................ ................................ ................................ ..................... 33 7.2.2 Condizioni non stazionarie ................................ ................................ ................................ .............. 33 7.3 Propagazione sopra -soglia ................................ ................................ ................................ ..................... 34 7.3.1 Assone a -mielinico ................................ ................................ ................................ .......................... 34 7.3.2 Assone mielinico ................................ ................................ ................................ ............................. 35 3 BIOELETTROMAGNETISMO 1. ELETTROMAGNETISMO E FDT D 1. 1 I N TR O D UZ I ON E A LLE O N D E EL ETT R O MA GN ETI CH E Campo elettrico E: Campo di forze generato nello spazio dalla presenza di una o più cariche elettriche o di un campo magnetico variabile nel tempo. Campo magnetico H: Campo vettoriale solenoidale generato nello spazio dal moto di una carica elettrica o da un campo elettrico variabile nel tempo. Le grandezze fondamentali sono: - Ampiezza - Periodo T in [s] (T=1/f) - Frequenza f in [Hz] - Lunghezza d’onda λ in [m] (λ=vT) - Velocità v in [m]/[s] (e vale c nel vuoto) . Dall’unione di campi elettrici e magnetici sinusoidali si ottengono le onde elettromagnetiche le quali sono state p redette teoricamente prima di essere rilevate sperimentalmente , vengono descritte dalle Equazioni di Maxwell . Il campo elettrico E e il camp o magnetico H si propagano nello spazio e nel tempo ; le Equazioni di Maxwell ammettono una soluzione ondulatoria propagantesi nel vuoto alla velocità della luce. Queste onde possono essere studiate secondo due punti di vista differenti: 1. Punto di vista spaz iale in cui si fissa un istante di tempo e si studia come l’onda varia nello spazio 4 2. Punto di vista temporale in cui si fissa un punto nello spazio e si studia come l’onda varia in quel punto al variare del tempo. 1. 2 O PER A TO R I VE TTO R I A LI E D I F F EREN Z I A LI 1 . 2 . 1 O P E R A T O R E ାኲኲ֬ ( N A B L A ) - Operatore differenziale tensoriale - Si comporta come un vettore - Permette di scrivere in modo compatto il gradiente, la divergenza e il rotore 1. Gradiente di una funzione scalare a più variabili f(x,y,z): [moltiplicazione fra l funzione scalare e la funzione vettoriale definita dall’operatore nabla] 2. Divergenza di un campo vettoriale A: [prodotto scalare fra l’operatore nabla e il vettore] 3. Rotore di un campo vettoriale A: [prodotto vettoriale fra l’operatore nabla e il vettore] 1 . 2 . 2 O P E R A T O R E L A P L A C I A N O L’operatore Laplaciano applicato ad una funzione scalare f è definito come : Applicando l’operatore nabla è semplice dimostrare che: [divergenza del gradiente della funzione scalare] 1. 3 EQ UA Z I O N I D I MA X WELL Le equazioni di Maxwell governano l’evoluzione spazio -temporale dei campi ele ttromagnetici e possono essere scritte in forma differenziale o in forma integrale . 5 [equazioni in forma differenziale nel vuoto ] Queste equazioni però non descrivono il comportamento delle onde nei materiali, bisogna quindi “correggerle” affinché diventino universali , poiché questi interagiscono con il campo EM polarizzandosi e magnetizzandosi. Le equazioni diventano: 1. 4 O N D A ELET TR O MA G N ETI CA Dalle equazioni di Maxwell possiamo arrivare all’equazione delle onde piane . Secondo le seguenti ipotesi di materiale : 1. ࡣි ࡣ஺ࡣ౫ costante e scalare 2. ࡪ ි ࡪ஺ࡪ౫ co stante e scalare 3. ࡯ ි ϸ 4. ޲ි ϸ E con le ipotesi di propagazione, cioè che avviene sono in direzione z , si ottiene l’equazione monodirezionale dell’onda piana : ࡸ஼ޭ౱ ࡸߜ஼ ි ࡪࡣ ࡸ஼ޭ౱ ࡸߖ ஼ [NB i campi E e H dell’onda sono perpendicolari alla direzione di propagazione z] La velocità di propagazione risulta essere ߘි ߅ фࡪ౫ࡣ౫ Ъ e la lunghezza d’onda ࡩි ࡩ஺ фࡪ౫ࡣ౫ Ъ [NB la velocità e la lunghezza d’onda sono scalate e ridotte rispetto a quelle nel vuoto] Nell’immagine sottostante sono mostrate gli spettri delle onde. 6 1. 5 CO MPO R TA MEN TO D EI CA MPI Le equazioni di Maxwell valgono su tutto lo spettro delle frequenze (circa 1 8 ordini di grandezze) e il comportamento dei campi è molto diverso al variare della frequenza. Il comportamento dei campi di pende dal rapporto tra la lunghezza d’onda ( λ) del campo e la massima dimensione (d) dell’oggetto in studio. Le e quazioni di Maxwell possono essere applicate in forma semplificata quando la lunghezza d’onda dell’onda elettromagnetica è molto maggiore della dimensione dello spazio nel quale si sta caratterizzando l’onda stessa . Infine si può ipotizzare che E ed H possono essere c onsiderati quasi -statici rispetto alla dimensione d. I comportamenti possibili sono tre: 1. ࡩڮ ߆ (campi) a. E ed H lentamente tempo -invarianti (al limite statici) rispetto d b. Teoria dei circuiti elettrici, teoria dei campi quasi -statici c. Effetti propagativi t rascurabili d. E ed H disaccoppiati 2. ࡩڌ ߆ (onde) a. E ed H dello stesso ordine di d b. Teoria delle micro onde c. Effetti propagativi dominanti d. E ed H fortemente accoppiati e. L’energia si trasmette via cavo , guide d’onda e radiazioni 3. ࡩ< ߆ a. E ed H rapidamente tempo -invarianti rispetto a d b. Teorie ottiche c. Effetti propagativi dominanti d. L’energia si propaga via fibre ottiche e radiazioni Quando in un fenomeno ele ttromagne tico le variazioni nel tempo di tu tte o solo di alcune grandezze possono essere trascurate , può essere applicata a queste l’approssimazione di quasi -stazionarietà . Trascurare le variazioni temporali equivale a poter trascurare il ritardo di propagazione, cioè le variazioni temporali delle forze impresse si propagano istantaneamente in tutti pun ti del sistema. 1. 6 STI MA D EI CA MPI Per trovare la soluzione delle equazioni di Maxwell , “modulate” sul caso specifico , tramite tecniche computazionali esistono due diversi metodi di calcolo: 7 - Metodi analitici : un metodo analitico è, in generale, una metodica consistente nell'arrivare alla soluzione di un problema mediante un procedimento ben definito di calcolo matematico (in pratica si ottiene il risultato desiderato tramite l’applicazione di una o di una serie di equazioni ) - Metodi nume rici : i metodi numerici permettono di risolvere attraverso tecniche approssimate problemi matematici (classica applicazione: soluzione approssimata di equazioni differenziali ). Analitici Numerici 1. No soluzione equazioni differenziali 1. Soluzione equaz ioni differenziali 2. No soluzione diretta Maxwell 2. Soluzione dire tta Maxwel l 3. Soluzione tramite applicazione di formule, principi e teoremi (Gauss, Faraday, Lenz, ) 3. Soluzioni matema ticamente approssimate 4. Soluzioni matematicamente esatte 4. Soluzioni ele ttromagne ticamente realis tiche 5. Soluzioni elettromagneticamente approssimate 5. Cara tterizzazione completa dell’interazione ele ttromagne tica 6. Necessità di identificare soluzioni indirette anche con artifici 7. Caratterizzazione (calcolo) di grandezze specifiche) 1 . 6 . 1 M E T O D I A N A L I T I C I Pro Contro Soluzione perfetta Modelli ideali delle sorgenti Soluzione continua nel tempo e nello spazio Caratteristiche non ideali trascurate No approssimazioni numeriche Modelli geometrici semplici Metodo veloce Metodi di calcolo di complessa implementazione [NB i modelli scelti semplificano enormemente la realtà del problema] [to be continued in the next episode] 1 . 6 . 2 M E T O D I N U M E R I C I Pro Contro Implementabile su calcolatore Soluzione approssimata Risolvibile in “ogni” situazione (per qualsiasi sorgente, geometria e modello reale) Soluzione discreta nel tempo e nello spazio Metodo lento Il dominio spazio -temporale continuo va discretizza to e a generata una mesh (griglia) di parametri Δx e Δt. In ciascun punt o della mesh (ߚౢɧߖ౧) le derivate parziali diventano differenze finite e otteniamo valori approssimati della soluzione in punti tra loro vicini. Ma come generiamo la griglia di parametri Δx e Δt? - Dominio spaziale [ 0,b] -> serie di M+2 punti equidis tanti tra loro ߚౢි ߋࡈߚ ɨ ߋි ϸɧɫ ɧ޵ ɨ ࡈߚ ි ߄ ޵ + Ϲ - Dominio tempor ale [0, ∞) -> serie di punti equidistanti tra loro ߖ౧ි ߐࡈߖ ɨ ߐි ϸɧɫ Da qu i otteniamo quindi una serie di punti (ߚౢɧߖ౧)ි (ߋࡈߚ ɧߐࡈߖ ) e i parametri Δx e Δt determinano la mesh in cui: 1. Δx è la distanza tra i punti nella direzione x (passo spazial e). Δx deriva dal numero di punti in cui si divide l’intervallo spaziale [0, b] 8 2. Δt è la distanza tra due livelli di tempo (passo temporale) . In genere Δt è legato a Δx da una relazione che dipende dall’algoritmo utilizzato. [in caso di tridimensionalità esistono Δx, Δy e Δz] FDTD Per la discretizzazione si utilizza il metodo FDTD (finite -difference time - domai n). L’FDTD è un metodo che appartiene alla classe dei metodi grid - based alle differenze finite (nello specifico «differenze finite centrali»), cioè risolve le equazioni differenziali approssimando le derivate con i rispetti vi rappor ti incrementali, operando su variabili discrete (e non con tinue). È una tecnica di analisi numerica nel dominio del tempo (e non in quello delle frequenze) . Può essere applicato a problemi con campi EM in un'ampia gamma di frequenze . Le equazioni alle differenze finite risultan ti da lla d iscre tizzazio ne delle equazioni di Maxwell vengono risolte a ttraverso la «leapfrog integra tion», per la quale le grandezze fisiche sono presen ti nella stessa equazione alle differenze in pun ti nello spazio e istan ti nel tempo differen ti, spazia ti fra loro di ࡈx/2, ࡈy/2, ࡈz/2 o di ࡈt/2. Il processo viene ripetuto più e più volte finché il comportamento del campo ele ttromagne tico transitorio o stazionario desiderato non è completamente o ttenuto. Il sistema di equazioni che si ottiene viene risol to attraverso il calcolo di ogni equazione in passi temporali successivi ( procedimento iterativo da un cubetto al suo successivo) ; questo fornisce ogni componente del campo EM in funzione della stessa componente e di quelle adiacenti in istanti di tempo pr ecedenti. ALGORITMO DI YEE Le condizioni affinché questo algoritmo possa essere usato sono: i. Mezzi lineari ed isotropi ( σ, ε, μ devono essere scalari) ii. Senza perdite (J=0) iii. =n regioni prive di sorgenti (ρ=0) Definite le condizioni, si può passare ai passaggi dell’algoritmo: 1. Discretizzazione 2. Differenze finite centrate fino al secondo ordine: [aggiungo ± Ϲ ϺЪ in base a ciò per cui derivo] 3. Equazioni di aggiornamento : partendo da : ା× ࣷ ි −ࡪಧࣺ ಧ౭ ɨ ା× ࣺ ි ࡣಧࣷ ಧ౭ si ottiene un sistema di sei equazioni scalari: 9 4. Nuove equazioni di aggiornamento (è necessaria una traslazione nel tempo e nello spazio per ottenere le componenti che ci servono) i. Nell’equazione di: - ް౱ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋɧߌ+ ஻ ஼ɧߍ+ ஻ ஼ɧߐ) - ް౲ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋ+ ஻ ஼ɧߌɧߍ+ ஻ ஼ɧߐ) - ް౳ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋ+ ஻ ஼ɧߌ+ ஻ ஼ɧߍɧߐ) [NB traslo i due assi spaziali che NON sono a pedice di H] ii. Nell’equazione di: - ޭ౱ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋ+ ஻ ஼ɧߌɧߍɧߐ+ ஻ ஼) - ޭ౲ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋɧߌ+ ஻ ஼ɧߍɧߐ+ ஻ ஼) - ޭ౳ɩ(ߋɧߌɧߍɧߐ)ע (ߋɧߌɧߍ+ ஻ ஼ɧߐ+ ஻ ஼) [NB traslo l’asse temporale e l’asse spaziale a pedice di E ] Applican do la stessa traslazione spazio -temporale alle rimanenti equazioni, possiamo quindi scrivere il sistema completo di equazioni scalari di Yee valido per regioni isotrope, senza sorgenti e senza perdite: ް౱౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) ි ް౱౧௅஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− хߖ ࡪ ޭ౳౧(ߋɧߌ+ Ϲɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ޭ౳౧(ߋɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) хߛ + хߖ ࡪ ޭ౲౧(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ)− ޭ౲౧(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ) хߜ ް౲౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) ි ް౲౧௅஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− хߖ ࡪ ޭ౱౧(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ)− ޭ౱౧(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ) хߜ + хߖ ࡪ ޭ౳౧(ߋ+ Ϲɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ޭ౳౧(ߋɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) хߚ ް౳౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ) ි ް౳౧௅஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ)− хߖ ࡪ ޭ౲౧(ߋ+ Ϲɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ)− ޭ౲౧(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ) хߚ + хߖ ࡪ ޭ౱౧(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲɧߍ)− ޭ౱౧(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ) хߛ 10 ޭ౱౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ) ි ޭ౱౧(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ)+ хߖ ࡣ ް౳౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ)− ް౳౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ− Ϲ ϺЪ ɧߍ) хߛ − хߖ ࡣ ް౲౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ް౲౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ− Ϲ ϺЪ ) хߜ ޭ౲౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ) ි ޭ౲౧(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ)+ хߖ ࡣ ް౱౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ް౱౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ− Ϲ ϺЪ ) хߜ − хߖ ࡣ ް౳౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ)− ް౳౧௄஻஼Ъ(ߋ− Ϲ ϺЪ ɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ) хߚ ޭ౳౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) ි ޭ౳౧(ߋɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ )+ хߖ ࡣ ް౲౧௄஻஼Ъ(ߋ+ Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ް౲౧௄஻஼Ъ(ߋ− Ϲ ϺЪ ɧߌɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) хߚ − хߖ ࡣ ް౱౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ+ Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ ϺЪ )− ް౱౧௄஻஼Ъ(ߋɧߌ− Ϲ ϺЪ ɧߍ+ Ϲ ϺЪ ) хߛ I campi si possono riferire ad una singola cella rappresentabile con un parallelepipedo in cui il campo elettrico E e il campo magnetico H sono interconnessi nello spazio . Le componenti di E si trovano al centro degli assi della cella , mentre le componenti di H sono normali alle facce della cella e posizionate al centro di essa . E ed H sono sfasati nel tempo e dalle equazioni mostrate è chiaro che il campo elettrico e quello magnetico vengono progressivamente calcolati in modo alternato a passi temporali ch e valgono хߖ ϺЪ : in ϸɧхߖɧߐхߖ si calcolano le componenti del campo elettrico e in хߖ ϺЪ ɧϻхߖ ϺЪ ɧɫ ɧߐхߖ+ Ϲ ϺЪ si calcolano le componenti del campo magnetico. La scelta del passo spaziale (хߚɧхߛɧхߜ) e temporale хߖ dipende da ragioni accuratezza e stabilità (per una cella cubica vale хි хߚි хߛි хߜ). - Per garantire l’ accuratezza della soluzione, il passo spaziale deve essere pari ad una frazione della minima lunghezza d’onda trattata х෗ ࡩ౦ౢ౧ Ϲϸ ɨ ߆ߑߘ߇ ࡩි ࡩ஺ หࡪ౫ࡣ౫ Ъ ɨ ࡩ౦ౢ౧ ߒ߇ߔ ߎ߃ ߆ߋߘ߇ߔߕߋߖ ģ ߆ߋ ߏ߃ߖ߇ߔߋ߃ߎߋ 11 - Per assicurare la stabilità dell’algoritmo, il passo temporale deve soddisfare il criterio di stabilità di Courant ߘ౦ౚ౱ хߖ෗ Ϲ √( Ϲ хߚ஼)+ ( Ϲ хߛ஼)+ ( Ϲ хߜ஼) ⁄ ɨ ߆ߑߘ߇ ߘ౦ౚ౱ Ķ ߎ߃ ߘ߇ߎߑ߅ߋߖ ģ ߆ߋ ߒߔߑߒ߃߉߃ߜߋߑߐ߇ ߏ߃ߚ PROBLEMA GENERICO EM Per un problema generico , i passi sono: 1. Caratteri zzazion e sorgente : bisogna sempre definire alcuni parametri fondamentali come la frequenza a cui opera, la potenza d’ingresso ed in uscita, l’impedenza 2. Caratterizzazione mezzi : bisogna stabilire la geometri a e le dimensioni degli oggetti coinvolti nel problema; quindi bisogna assegnare a ciascun mezzo un materiale e al materiale le sue proprietà elett romagnetiche e fisiche 3. Condizioni al contorno : per ridurre problem atiche è necessario limitare lo spazio di analisi , in quanto le equazioni di Maxwell descrivono la realtà considerando tutto lo spazio , mentre la loro risoluzione numerica richiede una limit azione di volume 4. Accuratezza soluzione, sorgenti di errori : tutti i metodi di discretizzazione sono affetti da errori di ogni genere , tra cui: i. Errori di discretizzazione (scelta de lla dimensione della cella della mesh opportuna) ii. Errori di troncamento (cess azione del calcolo prima del previsto) iii. Errori dovuti alle condizioni al contorno iv. Errori di interpolazione (ricerca valori del campo non nei nodi della mesh) v. Errori numerici (dovute all’approssimazion i di calcolo). 12 2. METODI ANALITICI & STIMOLAZIONE MAGNETICA La stimolazione magnetica del sistema nervoso si basa sull’applicazione di campi magnetici rapidamente variabili nel tempo e di alta intensità (circa 2T), che provocano nei tessuti cerebrali e nervosi un campo elettrico per induzion e elettromagnetica. Questo serve per valutare lo stato di condizione del sistema nervoso. Sono presenti quindi quattro “componenti”: 1. Corrente i(t) nella bobina 2. Campo magnetico B(t) 3. Campo elettrico indotto E(t) (E=Nk d(i(t))/dt) 4. Correnti indotte nei tessuti (J= σE). 2. 1 M ETO D I A N A LI TI CI Esistono due metodi analitici (indipendenti dalla frequenza): 1. Metodo del vettore potenziale magnetico 2. Applicazione del teorema di reciprocità 2 . 1 . 1 CA L C O L O D I R E T T O D E L C A M P O E L E T T R I C O I N D O T T O D A U N A B O B I N A Dall a legg e di Maxwell e considerando che si può definire un potenziale vettore magnetico (A) si ha: Dove ψ è il potenziale elettrostatico dovuto, nel mezzo infinito, solo alle cariche libere. Considerando una bobina circolare percorsa da J: r: è il vettore posizione del punto in cui voglio calcolare A V: intero volume in cui esiste J nel punto corrispondente al vettore posizione r [NB A e J’ hanno la stessa direzione e J’ è tangente alla bobina] Considerando come punto ޸(࡯౩ɧࡦ౩ɧࡴ౩) in cui si vuole conoscere il valore di A, un punto che nel piano x -z, A è facilmente calcolabile integrando l’equazione precedente e ottenendo: 13 I è la corrente della spira, a il raggio della spira, E(k) e K(k) sono gli integrali ellittici completi , rispettivamente del primo e del secondo ordine, di argomento k. Questo si ottiene considerando che: E quindi si ottiene: ޭ ි − ࡸࣳ ࡸߖ ි −ࡸޱ ࡸߖ ࡪ஺ ࡮ ߃ (߃஼+ ߔ஼+ Ϻ߃ߔߕߋߐࡦ )஻஼Ъ д(Ϻ− ߍ஼)޳(ߍ)− Ϻޭ(ߍ) ߍ஼ [in caso di una bobina composta da N spire, è sufficiente moltiplicare il valore del potenziale vettore A per il numero N stesso delle spire] 2. 2 AP PLI CA Z I O N E D EL T EO R EMA D I R ECI PR O CI T À Il teorema di r eciprocità tiene conto dell’effetto delle cariche sulla superficie del mezzo e usa geometrie più realistiche , tra le quali ci interessano maggiormente: mezzo infinito, mezzo semi -infinito, sfera e cilindro. La stima del campo indotto E è ottenuta mediante la conoscenza dell’andamento spaziale dell’ induzione magnetica B all’esterno del mezzo considerato: in altri termini il campo elettrico indotto in un punto P all’interno del mezzo, può essere calcolato conoscendo l’induzione magnetica B all’esterno del mezzo stesso, prodotta da un dipolo di corrente Q posto nel punto P. Per il teorema di reciprocità vale: [m bobina, Q dipolo] Bisogna specificare che ࣼ౦ ɧࣼ౐ hanno un andamento sinusoidale con la stessa frequenza. Si dimostra successivamente che: [NB il calcolo di E indotto da una bobina di corrente in un mezzo conduttore, si riduce al calcolo dell’induzione magnetic a prodot ta all’esterno del conduttore stesso , da un dipolo di corrente posto al suo interno ; questo è il Problema Diretto Biomagnetico ] Nel caso in cui la bobina fosse sufficientemente piccola rispetto alle distanze in gioco, l’induzione magnetica può essere considerata costante attraverso S e quindi si ottiene : 14 L’andamento temporale di E è legato a quello di i(t): ࣷ౦(ञ౐)ි ߆ߋ (ߖ) ߆ߖ [ ः ʇःʇ஼ื ࣴ౐(ञ౦)च߆޻ ౒ ] Per qualsiasi corrente l’andamento temporale del campo elettrico indotto durante stimolazione magnetica è completamente determinato dalla derivata prima nel tempo della corrente nella bobina. Nella pratica B non è costante sull’intera superficie, allora divido l’area della bobina in N spire di corrente, con momento magnetico mn e la stessa corrente i(t) della bobina. CONSIDERAZIONI E LIMI TI 1. Il campo elettrico indotto ottenuto è (solo) la componente nella direzione del dipolo unitario Q del campo elettrico indotto totale 2. Per ottenere il campo elettrico indotto totale è necessari o ripetere il calcolo per tre dipoli Q, posti nel punto P, aventi direzioni cartesiane l’uno con l’altro ( per poi trovare il modulo di E devo fare la radice della somma dei quadrati dei moduli delle componenti x, y, z) 3. Le soluzioni precedenti sono valide solo se si considera la bobina percorsa da corrente sinusoidale di frequenza ࡷ 4. Nel caso, tipico in biomedica, in cui la corrente non è sinusoidale è necessario: a. Scomporre la corrente nelle sue componenti di Fourier b. Applicare il principio di sovrapposizion e degli effetti alle varie componenti c. Ottenere il campo totale come sommatoria delle componenti d. Ripetere per ognuno dei tre dipoli da considerare 5. Il calcolo del flusso è immediato solo per bobina puntiforme 6. Considerare la bobina come sommatoria di bobine p untiformi [NB per rigenerazione ossea: B [mT] -> I(t) [A] Per stimolazione nervosa: B [T] -> I(t) [mA] ] 15 3. ESPOSIZIONE A CAMPI IN BASSE E MEDIE FREQUENZE Il campo totale emesso, da qualsiasi dispositivo elettrico quando è in funzione, è composto da campo elettrico e magnetico . Il campo elettromagnetico è caratterizzato dalla sua frequenza f e dalla sua lunghezza d'onda λ, definita come λ=c/f (c è la velocità della luce nel vuoto). Per il range di frequenze basse e intermedie ( fino a 100 kHz ) il campo elettrico e magnetico sono disaccoppiati , quindi l’esposizione al campo può essere descritta tramite due problemi separati: - Esposizione a campo elettrico - Esposizione a campo magnetico Esiste un “livello di riferimento” per esposizione ai cam pi. Essi si basano su modelli molto semplici tra i campi esterni e il corpo. Tali modelli si basano sul presupposto dell’uniformabilità e dell’unicità della frequenza dei campi esterni e sul fatto che i corpi conduttori abbiano una forma che può essere des critta analiticamente e che siano omogenei . 3. 1 ES PO S I Z I ON E A CA MPI ELE TTR I CI E0 Le linee guida sull’esposizione delle persone ai campi elettrici sono espresse in termini di densità di corrente indotta (J) o di campo elettrico interno (Ei). tali grandez ze non possono essere misurate direttamente, pertanto verranno qui presentate le modalità di valutazione di tali grandezze indotte nel corpo umano da campi elettrici esterni E0 tramite l’applicazione dei metodi analitici. Il modulo della corrente indotta e del campo elettrico interno sono legati dalla relazione: ࣼි ࡰࣷౢ . La corrente indotta dipende esclusivamente da: 1. Forma e dimensioni dell’oggetto conduttore 2. Caratteristiche (ampiezza polarizzazione, ecc) del campo non perturbato 3. Frequenza del campo 4. Variazione di conduttività dell’oggetto (nei mezzi omogenei la densità di corrente indotta dai campi elettrici non dipende dalla conduttività) In questo range di frequenze, il rapporto tra la corrente indotta nel corpo umano e un campo elettrico es terno uniforme ( E0) può essere espressa in modulo da: ࣼි ޳ౄ߈ࣷ஺ . Dove KE è il fattore di forma per il campo elettrico con le seguenti caratteristiche: - Dipende dai dati geometrici - È in gran parte indipendente da parametri elettrici e dalla frequenza - È espresso in [F/m] 3 . 1 . 1 M O D E L L O S F E R O I D A L E [i calcoli seguenti sono sviluppati utilizzando l’approssimazione di bassa frequenza, ossia trascurando le correnti di spostamento] Il corpo umano viene ipotizzato come uno sferoide (o un semi -sferoide ) di dim ensione R ed L opportune posto in un campo elettrico uniforme E0. L è la lunghezza del semiasse maggiore dello sferoide (asse z), R è la lunghezza del semiasse minore (R è anche il raggio della sezione circolare dello sferoide nel piano di simmetria, cioè il piano x -y). 16 Consideriamo lo sferoide posto in un campo elettrico uniforme con una direzione o parallela all’asse di rotazione dello sferoide (asse z, E0z) o perpendicolare a tale asse ( E0R) e calcoliamo il fattore di forma K E per questi due orientamenti del vettore campo E: 1. Parallelo all’asse di rotazione dello sferoide (asse z): 2. Perpendicolare all’asse di rotazione dello sferoide: Dove sappiamo che ࡣ஺ි ЀɪЀϽϼ дϹϸ ௅஻஼[ޮ ߏЪ ] e Ora bisogna scegliere la giusta dimension e di R in modo tale da fornire lo stesso flusso totale di corrente nel suolo, quando il corpo stesso è elettricamente messo a terra. Questo si ottiene se lo sferoide ha la stessa area superficiale pari a quella rivolta verso l’esterno , SB R, del corpo che r appresenta. Invece SB T (area superficiale totale ) si ottiene con la seguente formula dipendente da M (massa soggetto) e L (altezza soggetto): ޻ު ౓ි ϸɪϹϾϼϼ д޵஺ɪி஻ாிீ д޴஺ɪா஼஼ாீ E da questa si ottiene di conseguenza l’area rivolta verso l’esterno: ޻ު ౑ි ϸɪЀϺ д޻ު ౓ Ponendo l’uguaglianza tra l’area superficiale dello sferoide e l’area superficiale ridotta di un corpo, è possibile ottenere l’equazione di R in funzione di L e SB R: ޺ ි −ϸɪϿϻЀ д޴+ √ϸɪϽϼϽ д޴஼+ ޻ު ౑ ࡮⁄ Schema di calcolo da seguire: 17 3 . 1 . 2 M O D E L L O A S S I S I M M E T R I C O Il modello sferoidale non ci permette di calcolare la densità di corrente in funzione dell’altezza della persona in esame e in specifici punti anatomici lungo il profilo verticale. Il modello a ssisimmetrico del corpo umano r appresenta alcune caratteristiche essenziali del corpo, quali l’altezza, l’area superficiale totale, le dimensioni del collo e del profilo verticale. Il modello (che risulta più realistico) è definito da 13 coordinate (raggio, altezza) di specifici punti a natomici. = punti sono poi uniti da rette e ruotati sull’asse verticale per fornire un modello completo. Il raggio variabile per ogni altezza, ci permette di determinare la densità di corrente in funzione della posizionne vverticale all’interno del corpo ed in particolare a livello dei 13 punti anatomici che caratterizzano il modello stesso. L’ipotesi di partenza è che a un’altezza specifica h del modello assisimmetrico scorra la stessa corrente globale che attraversa lo sferoide. Tale corrente però scor re in zone a sezione diverse nello sferoide e nel modello assisimmetrico. Ad un’altezza particolare h dal suolo, la densità di corrente indotta nel modello J A(h) è data pertanto da: [in pratica una proporzione tra assisimmetrico e sferoide] Dove: - JS è la densità di corrente verticale nello sferoide - AA(h) è l’area orizzontale del corpo umano in h - AS(h) è l’area orizzontale dello sferoide in h - rS(h) è il raggio orizzontale dello sferoide in h ( Ě౒(Đ)ි R√Ϲ− (ߊ ޴) Ъ ஼ - rA(h) è il raggio orizzontale del modello assisimmetrico in h (valori tabulati) Schema di calcolo da seguire: Per il caso assisimmetrico ovviamente si aggiunge il calcolo della densità di corrente ad una certa h usando le ultime formule trovate. 18 3. 2 ES PO S I Z I ON E A CA MPI MA G N ETI CI B 0 I campi magnetici alternati creano campi elettrici alternati e correnti associate nei mezzi conduttori. Queste correnti sono chiamate correnti parassite . L’induzione si verifica anche nel corpo umano dato che i tessuti viven ti conducono elettricamente. Le correnti indotte da un campo magnetico dipendono: - dalla forma, dalla dimensione e dalla conduttività dell’oggetto conduttore - dalle caratteristiche del campo (ampiezza, polarizzazione, ecc) - dalla frequenza del campo. Il più semplice dei modelli analitici per valutare l’esposizione a campi magnetici in bassa frequenza (fino a 100 k:z) è basato su un’ipotesi di accoppiamento tra un campo magnetico esterno uniforme a singola frequenza e un disco omogeneo di conducibilità nota e di raggio R. L’uniformità del campo B 0 è valida quando la distanza tra la sorgente e il disco conduttivo è molto più grande della dimensione del disco stesso (circa 10 volte il raggio R). Per i campi magnetici alternati, si assume che il corpo o la parte del corpo esposta sia modellizzabile come una sezione circolare di raggio R, con conduttività nota σ. =l calcolo è effettuato per le condizioni di massimo accoppiamento, cioè con un campo magnetico uniforme perpendicolare al disco stesso. In questo caso, il campo elettrico interno e la densità di corrente indotti in funzione della coordinata r sono dati da: Dove: - f è la frequenza singola del campo magnetico esterno uniforme - B0 è l’ampi ezza del campo magnetico esterno uniforme Il campo E i e la densità di corrente J sono orientati tangenzialmente e assumono valore massimo per r=R. [NB nel corpo umano ࡪ౫ි Ϲɧ ࡰි ϸɪϺ[޻ ߏ] Ъ ] 19 4. DOSIMETRIA & CARATTERIZZAZIONE CEM 4. 1 D O S I METR I A La dosimetria è la misura della dose, intesa come la quantità di sostanza alla quale il corpo in esame è esposto in diverse condizioni. Invece, in Bioelettromagnetismo è intesa come la valutazione della quantità di potenza assorbita da un corpo biologico es posto ad un campo elettromagnetico in diverse condizioni di esposizione. La dosimetria è la base di partenza per: - Verifica del rispetto delle normative di protezione - Studio di effetti dei campi EM sui sistemi biologici - Progetto nuovi dispositivi. La grandezza fondamentale è la potenza assorbita per unità di massa , detta SAR (Specific Absorption Rate [W/Kg]) Dove: - c è il calore specifico - ρ è la densità - σ è la conducibilità del tessuto biologico Esistono due SAR: 1. Locale : valutato per ogni punto di interesse 2. Globale : il volume V su cui si calcola il SAR è la somma di volumi elementari V i . [SAR usato nelle normative internazionali di protezione dei campi EM] Per gli studi dosimetrici esistono due approcci differenti: 1. Nume rico (teorico ): Lo scopo è quello di determinare il valore del campo elettrico in ogni punto del corpo biologico in esame. Si basa su simulazioni numeriche basate su modelli di sorgenti e dei sistemi biologici; quindi sulla soluzione delle equazioni di Max well attraverso metodi numerici (FDTD) (valutazione di E ed H nel tempo e nello spazio, cella di Yee): - Modello del corpo biologico diviso in celle elementari - Caratterizzazione EM dei tessuti - Modello della sorgente. Pro Problematiche Modelli anatomici eterogenei Accuratezza nella rappresentazione delle sorgenti Buona accuratezza 2. Sperimentale : Si basa sulla misura di SAR all’interno di fantocci (phantoms) che rappresentano il corpo biologico . Per effettuare le misure sfrutta: - Sensori di campo elettrico - Sensori di temperatura ( х౓ х౭ි ౒ీ౑ ౜൤) (dove c s è il calore specifico). 20 Problematiche Costruzione di phantom: forma antropomorfa, eterogenei/omogenei, tissue simulation liquid Calibrazione dei sensori: misura di campo noto, errore di incertezza 4 . 1 . 1 C A L C O L O S A R T R A M I T E F D T D Esistono tre possibili algoritmi per calcolare il SAR con FDTD: 1. A 3 componenti : SAR calcolato usando solo tre componenti ޭ౱ɧޭ౲ɧޭ౳ relative ad un solo nodo della cella. È un metodo semplice, poco accurato, non è chiaro quale massa debba essere usata per il calcolo del SAR perché il volume non è ben definito. ޻ީ޺ ౱ි ࡰ౱ʇޭ౱஼ʇ Ϻ࡯౱ ע ޻ީ޺ ౜౞౥౥ౚ ි ޻ީ޺ ౱+ ޻ީ޺ ౲+ ޻ީ޺ ౳ 2. A 6 componenti : SAR calcolato usando sei componenti ޭ౱ɧޭ౲ɧޭ౳ facendo quindi la media tra quelle relative ad una cella e quelle delle celle adiacenti. Non è chiaro quale massa debba essere usata. Inoltre le celle localizzate all’interfaccia corpo -aria devono esse re trattate diversamente. ޻ީ޺ ౱ි Ϲ Ϻ(ࡰ஻౱ʇޭ஻౱஼ʇ Ϻ࡯஻౱ + ࡰ஼౱ʇޭ஼౱஼ʇ Ϻ࡯஼౱ ) ע ޻ީ޺ ౜౞౥౥ౚ ි ޻ީ޺ ౱+ ޻ީ޺ ౲+ ޻ީ޺ ౳ 3. A 12 componenti : SAR calcolato usando dodici componenti ޭ౱ɧޭ౲ɧޭ౳ posizionandole tutte al centro della cella. Nessun prob lema di definizione di massa né per celle localizzate all’interno faccia corpo -aria. ޻ީ޺ ౱ි Ϲ Ϻ(ࡰ஻౱ັޭ஻౱஼ັ Ϻ࡯஻౱ + ࡰ஼౱ັޭ஼౱஼ັ Ϻ࡯஼౱ + ࡰ஽౱ັޭ஽౱஼ັ Ϻ࡯஽౱ + ࡰா౱ັޭா౱஼ັ Ϻ࡯ா౱ ) ע ޻ީ޺ ౜౞౥౥ౚ ි ޻ީ޺ ౱+ ޻ީ޺ ౲+ ޻ީ޺ ౳ ߏ߃ߕߕ߃ ౜౞౥౥ౚ ි хߚхߛхߜ ϹϺ (ߒ஻౱+ ߒ஼౱+ ߒ஽౱+ ߒா౱+ ߒ஻౲+ ߒ஼౲+ ߒ஽౲+ ߒா౲+ ߒ஻౳+ ߒ஼౳+ ߒ஽౳+ ߒா౳) 4. 2 L= N EE G U= D A P ER LA L= M= TA Z = O N E D ELL ’ES PO S = Z = O N E A = CA MP= EM Il riferimento più autorevole è costituito dalla Commissione Internazionale per la Protezione delle Radiazioni Non Ionizzanti (=CN=RP). L’=CN=RP fornisce delle linee guida per la limitazione dell’esposizione ai campi EM, tali da fornire una protezione contro effetti conosciuti che siano nocivi per la salute. I valori raccomandati si dividono in due categorie: 1. Restrizi oni di base Le restrizioni sull’esposizione sono basate direttamente su effetti sanitari accertati. Le grandezze fisiche usate per specificare le restrizioni di base per l’esposizione a campi elettromagnetici sono, al variare della frequenza: a. La densità di corrente ( J). Tra 1Hz e 10MHz, vengono fornite restrizioni di base sulla J, per prevenire effetti sulle funzioni del sistema nervoso 21 b. Il tasso di assorbimento specifico di energia ( SAR ). Tra 100kHz e 10GHz, vengono fornite restrizioni sia sulla J sia sul SAR c. la densità di potenza ( S) per le alte frequenze. Tra 10GHz e 300GHz , vengono fornite restrizioni di base sulla S, per prevenire un riscaldamento eccessivo nei tessuti superficiali del corpo . Per la protezione da effetti nocivi per la salute, le re strizioni di base NON devono essere superate . 2. Livelli di riferimento Questi livelli vengono forniti per una valutazione pratica dell’esposizione. Le grandezze fisiche usate sono: a. Intensità del campo elettrico E b. Intensità del campo magnetico H c. Induzione ma gnetica B d. Densità di potenza S. Il rispetto dei livelli di riferimento garantisce quello della corrispondente restrizione di base. Se, al contrario, il valore calcolato, o misurato, supera il livello di riferimento, NON ne consegue necessariamente che ven ga violata la restrizione di base. Ogni volta che viene superato un livello di riferimento, è necessario verificare il rispetto della corrispondente restrizione di base e stabilire se siano misure di protezione aggiuntive. 22 5. CORRENTI & POTENZIALI BIOEL ETTRICI I portatori di carica all’interno dei sistemi viventi sono ioni immersi in elettroliti (soluzioni di acidi, basi e sali) che conducono elettricità. Gli ioni sono presenti sia all’interno che all’esterno delle cellule, soprattutto ioni sodio e potassio, e possono fluire sia nel volume cellulare interno che in quello esterno. Il flusso di corrente non è simile a quello nei conduttori, in quanto i tessuti biologici sono dielettrici con perdite, e le correnti fluiscono in tutto il tessuto cellulare. I flussi ionici possono essere q uantificati sia in termini di flusso di particelle (moli) che in termini di flusso di corrente (ampere). Sulla membrana cellulare esistono proteine che costituiscono dispositivi strutturali di attraversamento della membrana ( pori ), tramite i quali acqua e ioni possono diffondere tra il liquido extracellulare e quello intracellulare, questo garantisce la semipermeabilità della membrana cellulare. Esistono due meccanismi mediante i quali le sostanze vengono trasportate attraverso la membrana cellulare: 1. Trasporto passivo (diffusione ) che può essere liber o o ionic o: a. Liber o: tendenza di ioni e particelle a ridistribuirsi al fine di annullare differenze locali di concentrazione. Il fenomeno è descritto dalla legge di Fick : ߌౝි −DдٕC [dove ߌౝ è il fluss o, D è il coefficiente di Fick e C è la concentrazione dello ione] b. Ionic o: gli ioni, essendo dotati di carica, sono soggetti alla forza esercitata da un campo elettrico. Per effetto di questa forza gli ioni si muoveranno all’interno del campo elettrico. = l fenomeno è descritto dall’ equazione di Ner nst-Planck : ߌౢි −ߗ౤ ߂౤ ʇ߂౤ʇޫ౤ٕ֊ [dove ߌౢ è il flusso, ߗ౤ è la velocità delle cariche (mobilità) e ٕ֊ campo elettrico] La costante di diffusione ެ౤ e la mobilità ߗ౤ sono entrambe dovute agli stessi processi molecolari (collisioni con molecole di solvente), quindi sono grandezze fisicamente collegate, come ha ricavato Einstein -Smoluchowski : ެ౤ි ߗ౤ ޺޼ ʇ߂౤ʇޮ 2. Trasporto attivo : utilizzo delle pompe sodio/potassio pre senti sulla membrana cellulare che forzano lo spostamento delle cariche da una parte all’altra (anche contro gradiente) 5. 1 EQ UA Z I O N E D I N ER NST -PLA N CK Come detto in precedenza, l’equazione di Ner nst-Planck permette di calcolare il flusso totale di ioni (in “moli” per “area della sezione” per “unità di tempo”), sommando il flusso dovuto a diffusione e quello dovuto a trasporto ionico: ߌ౤ි ߌౝ+ ߌ౞ි −ެ౤(ٕޫ౤+ ߂౤ޫ౤ޮ ޺޼ ٕ֊) 23 Per convertire il flu sso in densità di corrente elettrica J (in A/m) è necessario moltiplicare j per FZ, cioè per il numero di cariche elettriche contenute in una mole: ޲౤ි −ެ౤ޮ߂౤(ٕޫ౤+ ߂౤ޫ౤ޮ ޺޼ ٕ֊) Che considerando la legge di Einstein -Smoluchowski diventa: ޲౤ි − (ߗ౤޺޼ ߂౤ ʇ߂౤ʇٕޫ౤+ ߗ౤ʇ߂౤ʇޫ౤ޮٕ֊) Come detto in precedenza, la capacità dei mezzi biologici di condurre corrente elettrica è misurata in termini di conduttività. Dalla equazione di Ner nst-Planck, la componente di J dovuta al campo elettrico sarà: ޲౤౞ි −ߗ౤ʇ߂౤ʇޫ౤ޮٕ֊ Dove l’apice «e» indica il legame con il campo elettrico −ٕ֊, e t enendo conto della classica relazione J = ୑E è facile concludere che: ॒ි ߗ౤ʇ߂౤ʇޫ౤ޮ 5. 2 MEMB R A N A CE LLULA R E La membrana cellulare è una struttura dello spesso re di 7,5 -10 nm, composta prevalentemente da proteine e lipidi. È facile rilevare che la struttura di base della membrana è costituita da un doppio strato fosfolipidico, un sottile film di lipidi che si estende senza discontinuità sull’intera superficie de lla cellula. Il doppio strato lipidico è composto quasi interamente da fosfolipidi, molecole che hanno la particolare caratteristica strutturale di avere una porzione solubile in acqua e un’altra porzione solubile solo nei lipidi. Tale struttura rende la membrana quasi del tutto impermeabile all’acqua e ad altre sostanze idrosolubili comunemente presenti nella cellula e permeabile a sostanze liposolubili. Inoltre nel film di lipidi si trovano interposte grosse molecole di proteine transmembrana, già citate in precedenza. 5 . 2 . 1 P O T E N Z I A L E T R A N S M E M B R A N A Lo spostamento di ioni da una parte all’altra della membrana comporta la creazione di correnti ioniche che rivestono fondamentale importanza per l’attività elettrica delle cellule. Dal punto di vista della c reazione di correnti elettriche, gli ioni che rivestono il ruolo più importante sono sodio (Na +) e potassio (K+) e, in alcune circostanze per alcune cellule, il cloro (Cl -) e calcio (Ca 2+). La differenza di concentrazione di ioni a cavallo della membrana d etermina una differenza di potenziale a riposo detto potenziale di membrana ޾౦ dell’ordine di 100mV. Per convenzione ޾౦ è la differenza algebrica tra il potenziale ࡼౢ presente all’interno della cellula e il potenziale ࡼ౞ all’esterno della cellula: ޾౦ ි ࡼౢ− ࡼ౞ Siccome la membrana non è un isolante perfetto, essa possiede una resistenza. Di conseguenza attraverso la membrana passerà una corrente ޱ౦. Per definizi one tale corrente avrà segno positivo se diretta verso l‘esterno della cellula. In condizioni di equilibrio e ad un determinato potenziale una parte dei canali ionici sono aperti e la membrana presenta macroscopicamente una certa conduttanza ionica per og ni ione presente ( ߉౩). 24 Un altro parametro fondamentale per la caratterizzazione elettrica della membrana è la sua capacità ޫ౦. La struttura (membrana che separa due cariche) genera un condensatore a facce parallele, avente capacità per unità di superfi cie pari a: ޫ౦ ි ߍࡣ ஺ ߆ ි ϸɪЁࡪޮ ߅ߏ ஼ Ъ 5 . 2 . 2 P O T E N Z I A L E D I N E R N S T Ipotizzando di avere la membrana selettivamente a un solo ione che separa due compartimenti ީౢ e ީ౞ con differenti concentrazioni dei due ioni P + e Q -. Concentrazione P + maggiore in cella “i” rispetto ad “e”. Membrana permeabile solo a P + (e non a Q -), quindi passaggio da “i” a “e”. “i” diventa più negativo (perde ioni +) mentre “e” diventa più positivo. Conseguente accumulo di cariche all’interfaccia e differenza di pot enziale ޾౦ dovuta alle cariche ࡈP+ e alla capacità di membrana ޫ౦ cioè: ޾౦ ි ʥP+ ޫ౦ Ъ Campo elettrico attraverso la membrana di spessore d : ޭ ි ޾౦ ߆Ъ All’equilibrio la forza del campo elettrico bilancia la forza diffusiva; l’equazione di Nerns t diventa: E quindi: Supponendo che queste grandezze varino solo in direzione perpendicolare alla membrana lungo la direzione che chiameremo con x, avremo: Attraverso diversi passaggi, otteniamo la differenza di potenziale a cavallo della membrana che, all’equilibrio, vale: =l potenziale di Nernst per un singolo ione è dato da questa equazione e, quando lo ione p è all’equilibrio, rappresenta il potenziale transmembrana. 5 . 2 . 3 M O D E L L O A C O N D U T T A N Z E P A R A L L E L E Allo scopo di valutare e qu antificare più nel dettaglio le correnti ioniche che attraversano la membrana si procede, considerando una situazione reale, in cui la membrana è permeabile in maniera differente a più ioni contemporaneamente. 25 Supponendo che i vari ioni abbiano un comport amento indipendente l’uno dall’altro, si ottiene l’equivalente elettrico qui rappresentato, denominato modello a conduttanze parallele , dove i diversi percorsi a cavallo della membrana operano in parallelo e simultaneamente. Il potenziale di riposo della membrana è il valore di potenziale al quale la corrente totale di membrana i, è pari a zero. Nel modello le correnti che attraversano la membrana ޱ౤, ޱ్ౚ e ޱూ౥ sono indipendenti l’una dall’altra e dipendenti dal potenziale di Nernst della spe cie considerata, dal potenziale transmembrana totale e dal valore di capacità della membrana in determinate condizioni, contribuisce a creare una corrente aggiuntiva ޱూ, tale per cui: ޱూි ޫ౦ ߆޾౦ ߆ߖ All’equilibrio la corrente totale di membrana ޱ౦ sarà pari a zero (come anche ޱూ), quindi: ޱ౦ ි ޱ౤+ ޱ్ౚ + ޱూ౥ ි ϸ Tale soluzione può essere raggiunta in due modi: 1. Le correnti di ogni specie ionica sono nulle ( equilibrio di Donnan ): ޱ౤ි ޱ్ౚ ි ޱూ౥ ි ϸ Questo si verifica se i potenziali di Nernst delle singole specie sono uguali tra loro quindi se i rapporti delle concentrazioni delle tre specie soddisfano la seguente relazione: ߆ි [޳]౞ [޳]ౢි [޶߃ ]౞ [޶߃ ]ౢි [ޫߎ ]ౢ [ޫߎ ]౞ E quindi: ޾౫౞౬౭ ි ޺޼ ޮ ĔĖ(߆) 2. La somma complessiva delle c orrenti è nulla, ma non le singole correnti, avremo quindi: ߉ొ(޾౦ − ޭొ)+ ߉్ౚ (޾౦ − ޭ్ౚ )+ ߉ూ౥(޾౦ − ޭూ౥)ි ϸ E quindi: ޾౫౞౬౭ ි ߉ొޭొ+ ߉్ౚ ޭ్ౚ + ߉ూ౥ޭూ౥ ߉ొ+ ߉్ౚ + ߉ూ౥ Quest’ultima è detta equazione delle conduttanze parallele . 5 . 2 . 4 P O M P E E C A N A L I Il comportamento elettrico nervo e muscolo dipende movimento di sodio, potassio, calcio e altri ioni, che avviene mediante: - Pompe : sono processi attivi (consumano energia) che spostano gli ioni contro il gradiente di concentrazione. La pompa sodio -potassio mantiene le differenze di concentrazione di Na + e K + tra le regioni intracellulare ed extracellulare 26 - Canali : utilizzano l'energia immagazzinata nelle differenze di concentrazione, per consentire il flusso di ciascun tipo di ione lungo il suo gradiente di concentrazione Nel caso della pompa sodio -potassio, questo meccanismo permette di mantenere un equilibrio di namico a spese del metabolismo della cellula. Per mezzo della pompa le concentrazioni ioniche tra interno ed esterno rimangono le stesse, indipendentemente dalle correnti di equilibrio; quindi, verranno mantenute una concentrazione elevata di ioni potassio all’interno e di ioni sodio all’esterno. La proteina di membrana che attua questo tipo di antiporto pompa all’esterno della cellula tre ioni Na + e all’interno due ioni K +, per ogni ciclo di idrolisi di ATP. [NB il flusso di ioni attraverso i canali si tr aduce in cambiamenti nel potenziale transmembrana, a volte abbastanza rapidamente] 27 6. POTENZ=ALE D’AZ=ONE & MODELLO H -H 6. 1 PO TEN Z = A LE D ’ A Z = ON E ( PA ) 6 . 1 . 1 G E N E R A Z I O N E D E L P A Se una corrente di stimolazione viene fatta scorrere attraverso la membrana, il potenziale di transmembrana ޾౦ cambia nel tempo, seguito dei fenomeni legati all’attivazione differenziale dei canali ionici della membrana. In particolare, ޾౦ aumenta proporzionalmente alla corrente iniettata, ma, se lo stimolo è sufficientemente ampio , tale aumento è seguito da un cambiamento molto più significativo, legato alle modifiche nelle concentrazioni ioniche, e noto come potenziale di azione (PA). In figura è mostrato il tipico andamento del PA che si suddivide in quattro fasi: 1. Depolari zzazione 2. Ripolarizzazione 3. Iperpolarizzazione post -potenziale 4. Depolarizzazione post -potenziale . In particolare, il flusso entrante degli ioni sodio genera l’innalzamento del potenziale, mentre quello uscente degli ioni potassio ne produce la successiva diminuzione. 6 . 1 . 2 P R O P R I E T À D E L P A Immaginiamo di inserire un micro -elettrodo all’interno di una fibra nervosa e stimolarlo mediante un impulso di corrente di durata fissa e ampiezza variabile. La risposta della membrana che osserviamo sarà differente al variare dell’ampiezza (e del segno) dello stimolo. In particolare, stimoli di ampiezza negativa (correnti entranti, iperpolarizzanti ) generano una variazione repentina del potenziale di transmembrana che torna al valore di riposo con un andamento esponenziale caratteristico di un sistema RC del primo ordine (A) e consistente con il modello passivo di membrana descritto precedentemente. Se invece lo stimolo è positivo (correnti uscenti, depolarizzanti ) è possibile identificare due diverse risposte al di sotto di una certa soglia la risposta (B) è analoga, ma di segno opposto, a quella di una stimolazione iperpolarizzante; stimoli superi ori alla soglia, invece, sono in grado di generare un potenziale d’azione (C) la cui morfologia non dipende però dall’ampiezza dello stimolo che lo ha generato. Si parla pertanto del PA come di un processo o tutto o niente : lo stimolo sopra -soglia è anche detto stimolo -massimale ossia la risposta della cellula è massima (tutto) e indipendente dalla sua intensità. Sotto -soglia invece non si ha generazione del PA e quindi la risposta è nulla . È infine importante sottolineare che NESSUNA corrente iperpolarizza nte, qualunque sia la sua ampiezza e durata, sarà in grado di generare un PA. 28 Analoghe osservazioni possono essere fatte mantenendo costante l’ampiezza della corrente e variando la durata dello stimolo. Per stimoli di corrente di ampiezza superiore a d un minimo (detta corrente di reobase ) si avrà una durat