Biomedical Engineering - Bioelettromagnetismo e Strumentazione Biomedica

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Bioelettromagnetismo – Prof. Corino Correnti e potenziali bioelettrici Membrana cellulare La membrana cellulare è costituita da un doppio strato fosfolipidico , in cui le code idrofile dei due strati sono rivolte una verso l’altra e le teste idrofobiche sono rivolte verso l’esterno, garantendo quindi isolamento dai liquidi sia intracellular i sia extracellulari. L’equivalente elettrico della membrana cellulare più semplice è il condensatore : ho due piatti carichi, paralleli e contrapposti. La capacità è di qualche ⧯⤳␋⥊⥔ ⵁ perciò è difficile far passare corrente (=ioni) attraverso la membrana. Se la membrana fosse caratterizzata solo come un condensatore non permetterebbe passaggio di corrente perché avrebbe resis tenza troppo elevata . Il passaggio è consentito grazie a proteine integrali (=cioè che attraversano per intero la membrana), canali ionici che permettono il passaggio di ioni come se creassero dei buchi nel condensatore riducendo drasticamente la resistenz a. Queste proteine sono selettive , cioè fanno passare solo alcuni ioni. Trasporto attraverso la membrana Affinché sia possibile un trasporto di sostanza attraverso la membrana devono sussistere due fattori: 1) un “passaggio” attraverso la membrana ( permeabil ità ); 2) una forza guida (es. gradiente di concentrazione) . Possono esistere situazioni in cui ho la possibilità di passare, ma senza forza che li spinga gli ioni non si muovono (o viceversa). Trasporto passivo (=senza spese a carico del metabolismo cellulare):  Diffusione libera : tendenza delle particelle/ioni a ridistribuirsi al fine di annullare differenze locali di concentrazione ; non tiene conto della carica delle particelle in movimento, si considera solo l a loro concentrazione ; è legata alla legge di Fick : ⪛⪕= ⽑⩻⫅⩺ , con ⥑ⷢ = flusso delle particelle (moli/ ⊐⊚ ⵁ/s), D = coefficiente di diffusione ( ⊐⊚ ⵁ/s), C = concentrazione della sostanza (moli/ ⊐⊚ ⵂ) e ⟚ = gradiente di concentrazione; c’è il – perché le pa rticelle si muovono dalla zona ad alta concentrazione verso quella a bassa concentrazione.  Diffusione ionica : gli ioni, in quanto dotati di carica, sono soggetti alla forza esercitata da un campo elettrico; il campo elettrico è il gradiente di potenziale cambiato di segno ed è la forza motrice in questo tipo di diffusione; le particelle positive si muovono in direzione e verso del campo, le particelle negative si muovono in direzione opposta; il flusso ionico risultante è dato dalla formula ⪛⪚= ⽑⪦⪜ ⪑⪜ ␌⪑⪜␌⩺⪜⫅⫛ , con ⥑ⷧ = flusso di particelle dotate di carica (moli/ ⊐⊚ ⵁ/s), ⥜ⷩ = mobilità dello ione (cm/s/(V/cm)), ⤰ⷩ = concentrazione dello ione (moli/ ⊐⊚ ⵂ), ⥇ⷩ = valenza dello ione (il rapporto tra valenza e il suo mod ulo dà solo il segno!); la mobilità rappresenta la facilità che lo ione ha a muoversi; la densità di corrente elettrica associata al flusso di ioni risulta ⪁⪜= ⪛⪜⪑⪜⩽ = ⽑⪦⪜␌⪑⪜␌⩺⪜⩽⫅⫛ con F = 96487 C/mole (costante di Faraday, fattore di conversion e che permette di passare da flussi a correnti) ; la densità di corrente non dipende dalla carica dello ione ed è sempre diretta come il campo elettrico; poiché ⤷= ⽑⧵⧣⧹ (legge di Ohm) posso ricavare la conduttanza equivalente ⫗⪜= ⪦⪜␌⪑⪜␌⩺⪜⩽;  Diffusione facilitata (molecole ‘portatori’): la membrana è impermeabile a una determinata particella che la può attraversare solo se trasportata da una molecola portatore , come le pompe Na -K, che garantisc e il mantenimento delle concentrazioni all’interno e all’esterno della cellula. Trasporto attivo (la cellula deve spendere energia attraverso il metabolismo cellulare perché il passaggio avviene contro gradiente elettrico o di concentrazione) :  Diffusione attiva (pompe Na -K). Relazione tra mo bilità e diff usione Sia la mobilità che il coefficiente di diffusione descrivono la facilità con cui gli ioni si spostano nel mezzo (solvente) per effetto di gradienti di potenziale o di concentrazione. Poiché i fattori limitanti lo spostamento sono gli stessi (dimensioni deg li ioni, collisioni con le molecole di solvente) ci si aspetta una relazione tra i due parametri; è la relazione di Einstein : ⩻⪜= ⪦⪜ ⪉⪋ ␌⪑⪜␌⩽, con R = costante del gas e T = temperatura in kelvin. Flusso complessivo La densità di corrente che attraver sa la membrana in presenza di gradienti di concentrazione e di potenziale risulta essere ⪁= ⪁⪕⽐ ⪁⪖= ⽑⩻⪜⪑⪜⩽(⫅⩺⪜⽐ ⩺⪜⪑⪜⩽ ⪉⪋ ⫅⫛ ), che è l’ equazione di Nernst -Plank . Equilibrio Considero una membrana permeabile ad una sola specie ionica, in questo caso ⤸ⵉ. Se non siamo all’equilibrio e se ⤰ⷩⷧⷬ > ⤰ⷩⷭⷳⷲ allora ⤸ⵉ tende ad uscire. La membrana si polarizza positivamente all’esterno e negativamente all’interno man mano che pa ssano gli ioni. La distribuzione di cariche fa sì che si crei un campo elettrico che si oppone alla successiva fuoriuscita di ioni ⤸ⵉ. Si raggiunge un equilibrio nel quale ⤷⷏⹁= ╽. Di conseguenza ╽ = ⽑⩻⪜⪑⪜⩽(⫅⩺⪜⽐ ⩺⪜⪑⪜⩽ ⪉⪋ ⫅⫛ )❧ ⫅⩺⪜ ⩺⪜ = ⽑ ⪑⪜⩽ ⪉⪋⫅⫛ . Supponendo che queste quantità varino solo in direzione perpendicolare alla membrana, cioè ipotizzando che non ci sia un gradiente di concentrazione in uno stesso lato della membrana, si ha ⵀ ⩺⪜ ⫟⩺⪜ ⫟⪩ = ⽑ ⪑⪜⩽ ⪉⪋ ⫟⫛ ⫟⪩ . Integrando fra estern o ed interno della membrana e considerando che per convenzione ⥃ⷫ = ⧹ⷧⷬ ⽑ ⧹ⷭⷳⷲ , si ha ⥃ⷫ = ⷖⷘ ⷊⷞ⻡⥓⥕ [⷇⻡]⻥⻫⻪ [⷇⻡]⻟⻤ . Supponiamo che il flusso associato a ciascuna specie sia indipendente da quello delle altre specie ( principio di indipendenza , Hodgkin & Huxley 1952). Supponiamo di poter descrivere il comportamento della membrana mediante il seguente equivalente elettrico, detto modello a conduttanze parallele . I generatori rappresentano il potenziale di riposo per quella determinata specie io nica . Condizione di riposo = corrente nulla, corrente nulla = la caduta di potenziale sulla resistenza è nulla, quindi ⥃ⷫ = ⤲ⷩ. Ipotesi sul segmento di membrana:  piccolo -> potenziale di membrana costante;  ampio -> elevato numero di canali. Si può essere all’equilibrio se:  le correnti di ogni specie ionica sono nulle ( equilibrio di Donnan ): ⤶ⷩ= ⤶ⷒ⷟ = ⤶⷇ⷪ = ╽. Se i potenziali di Nernst delle singole specie sono uguali tra loro, cioè se le concentrazioni sono in particolari rapporti tra di loro: ⥋ = [⤸]ⷭⷳⷲ [⤸]ⷧⷬ = [⤻⥈ ]ⷭⷳⷲ [⤻⥈ ]ⷧⷬ = [⤰⥓ ]ⷭⷳⷲ [⤰⥓ ]ⷧⷬ ⏬ ⥃ⷫ = ⤿⥁ ⤳ ⥓⥕ ⥋  se la somma complessiva delle correnti è nulla, ma le singole correnti sono diverse da zero: ⤶ⷩ⽐ ⤶ⷒ⷟ ⽐ ⤶⷇ⷪ = ╽. È un equilibrio dinamico . ⥃ⷫ = ⥎⷏⤲ⷩ⽐ ⥎ⷒ⷟ ⤲ⷒ⷟ ⽐ ⥎⷇ⷪ⤲⷇ⷪ ⥎ⷩ⽐ ⥎ⷒ⷟ ⽐ ⥎⷇ⷪ Condensatore Carica necessaria per polarizzare la membrana (ipotesi solo K+): ⤾ = ╽⏯▃╿▅ ⽓ ╾╽ ⵊⵇ⤰⥖⥜⥓⥖⥔⥉⥚ . Carica totale nello spazio intracellula re (⤰ⷩ= ╾╿▁ ⥔⤺ ␋⥓)⏮ ⤾ = ╽⏯▀▄▃ ⽓ ╾╽ ⵊⵃ⤰⥖⥜⥓⥖⥔⥉⥚ . Si deduce che solo una piccolissima frazi one della carica totale è necessaria per caricare la membrana. Variazioni del ⥃ⷫ non alterano le concentrazioni. Ruolo sodio cloro e potassio Nell’assone di calamaro si hanno i seguenti valori: ⥃ⷫ = ⽑▃▅ ⏭ ⤲(⤸ⵉ)= ⽑▄▁ ⏯▄ ⥔⥃ ⤲(⤰⥓ⵊ)= ⽑▃▂ ⏯▅ ⥔⥃ ⤲(⤻⥈ⵉ)= ▂▁ ⏯╿ ⥔⥃ [⷏⹁]⻟ [⷏⹁]⻛ [⷇ⷪ⹂]⻛ [⷇ⷪ⹂]⻟┼╾ : K è uno ione grande che fatica ad attraversare la membrana. Cl è uno ione molto più piccolo, a minori concentrazioni, che fa meno fatica a muoversi. Se K si muove, Cl gli va dietro; è diffic ile che succeda il contra rio. Tra Cl e K, ha più “peso” K. ⷔ⻊⻗ ⷔ⻇ ┼╽⏯╽╾ : La permeabilità di Na è 100 volte quella di K. Movimento ioni  Cloro: potenziale di Nernst ≈ potenziale di riposo di membrana, ⤽⷇ⷪ alta quindi un piccolo movimento cambia molto la concentrazione;  Potassio: tende a uscire dalla cellula per gradiente di concentrazione;  Sodio: tende a entrare nella cellula per gradiente di concentrazione ed elettrico. Pompa Na -K La pompa Na -K garantisce un equilibrio di tipo dinamico, mantenuto a spese del metabolism o della cellula; 3 Na+ escono e 2K+ entran o. Potenziale d’azione e modello H -H Potenziale d’azione Viene dato un impulso di corrente con determinate caratteristiche, in particolare con una coppia ampiezza -durata specifiche. Se è abbastanza grande e dura abbastanza in relazione a quanto è grande, il potenziale di membrana cambia forma e assume una forma detta potenziale d’azione. Si identificano 3 fasi: 1. rapida depolarizzazione : da potenziale di riposo, circa -60mV, fino a +20/30/40mV; 2. ripolarizzazione : i l potenziale diminuisce di valore, non arriva subito al valore di riposo; 3. oscillazioni intorno al valore di riposo, poi si torna al potenziale di riposo. =l potenziale d’azione ha una caratteristica importante: esistono due fasi dette di refrattarietà asso luta e relativa. Se fornisco un altro impulso, il fatto che si generi il nuovo PA dipende da quanto il secondo stimolo è vicino al primo.  Refrattarietà assoluta : per questo periodo di tempo non si genera un PA a prescindere da lle caratteristiche dell’impulso .  Refrattarietà relativa : se lo stimolo è esattamente uguale al precedente non si genera un PA, ma se ha caratteristiche leggermente diverse (uguale durata e maggiore ampiezza, per esempio) allora riesco a generare un nuovo PA. Curva liminale La curva liminale definisce la minima corrente di stimolazione in funzione della durata dello stimolo. La otteniamo graficando tutte le coppie possibili e minime che possono generare un PA, tenendo il tempo sull’asse x e l’ampiezza sull’asse y. Due parame tri rappresentano in maniera sintetica la curva e le proprietà di eccitabilità della fibra; dicono come la fibra risponde a stimoli esterni di corrente.  Reobase : è l’asintoto orizzontale del grafico, è la soglia di corrente al di sotto della quale non è po ssibile generare un PA, anche se la tengo per un tempo infinito non è abbastanza.  Cronassia : data la corrente di reobase, si chiama tempo di cronassia il tempo per cui è necessario mantenere una corrente di ampiezza doppia rispetto alla reobase affinché si genere un PA. Uno stimolo è detto sottosoglia se ha ampiezza troppo bassa rispetto al tempo o inferiore alla reobase, oppure se ha tempo troppo breve rispetto all’ampiezza. Risposta a stimoli crescenti Studiamo le variazioni del potenziale di membrana al variare dell’ampiezza di un impulso di corrente di durata costante (0.1msec); il potenziale sulle ordinate è espresso come differ enza dal potenziale di riposo.  Stimolo iperpolarizzante : la corrente ha s egno negativo perché entrante nella cellula, perciò il potenziale di membrana diventa ancora più negativo del valore di riposo ; maggiore è il modulo della corrente, più negativo diventa il potenziale; la risposta, congruente con il modello del parallelo RC , varia con l’ampiezza dell’impulso.  Stimolo depolarizzante sottosoglia : la risposta della membrana è analoga a ciò che succede per gli stimoli iperpolarizzanti ma con segno opposto: il potenziale aumenta con l’aumentare dell’ampiezza e quando finisce lo stimolo torna al potenziale di riposo con andamento esponenziale RC.  Stimolo depolarizzante soprasoglia : si genera un PA con depolarizzazione fino a un picco con poi ripolarizzazione e oscillazioni; la forma del PA non dipende dall’intensità dello stimolo, è la stessa per tutte le ampiezze e i tempi soprasoglia; non ci interessa quindi la sua morfologia, ma quanto avviene. Eccitazione da interruzione d’anodo =n corrispondenza dell’anodo c’è una corrente entrante nella membrana che esce dove c’è il catodo . Per le convenzioni, essendo entrante la corrente ha segno negativo, quindi è una corrente iperpolarizzante. Vicino all’anodo il potenziale di membrana è più negativo. Vicino al catodo la corrente è uscente, quindi positiva, depolarizzante, che fa aumenta re il potenziale di membrana. Se a questo punto interrompiamo bruscamente la corrente, quasi istantaneamente vicino all’anodo si genera un potenziale d’azione. Genesi del potenziale d’azione Il secondo impulso è troppo vicino al primo: è nel periodo di refrattarietà relativa, nel secondo grafico si nota che non si genera un potenziale d’azione ma c’è una piccola variazione del potenziale di membrana con andamento RC. ⥎ⷒ⷟ e ⥎⷏ sono le conducibilità rispettivamente del sodio e del potassio ; se aumenta la con ducibilità di un canale ionico, aumenta la conducibilità dello ione in questione . ⥎ⷒ⷟ aumenta molto rapidamente in corrispondenza della depolarizzazione. Se aumenta molto, gli ⤻⥈ⵉ si muovono verso l’interno (perché sono di base più concentrati all’esterno), quindi il potenziale diventerà sempre più positivo. Quando ⥎ⷒ⷟ arriva al picco, anche i canali ionici di ⤸ⵉ incominciano ad aprirsi. Contemporaneamente ⥎ⷒ⷟ inizia a diminuire. Gli Na fanno più fatica a spostarsi verso l’interno quindi con i canali aperti incomincia no ad uscire: la parte int racellulare perde ioni positivi e diventa meno positiva: siamo nella fase di ripolarizzazione. Canali ionici Il flusso di ioni attraverso la membrana è reso possibile dalla presenza di canali. Il doppio strato lipidico è un isolante per il movimento di ioni ( ⥙= ╾╽ ⵈ⧢⥊⥔ ⵁ); la presenza di canali riduce notevolmente la resistività della membrana ( ⥙= ╾╽ ⵂ⧢⥊⥔ ⵁ). I canali sono costituiti da proteine che attraversano la membrana. I canali sono selettivi grazie, per esempio, a delle cariche present i all’imboccatura del canale; tuttavia, la selettività non è assoluta. L’apertura dei canali non è un fenomeno tutto o niente, la regolazione del flusso dipende dal potenziale di membrana . Modellazione apertura dei canali ionici Ipotizziamo la presenza nella membrana di un numero elevato N di canali ionici che possono trovarsi nello stato aperto o chiuso. Introduciamo una variabile statistica n che descriva la percentuale dei canali aperti. ⥕ = ⤲[⥕⥖⥗ ⥌⥕ ] ⤻ (╽< ⥕ < ╾) Nell’unità di tempo la variazione della percentuale di canali aperti sarà ⷢⷬ ⷢⷲ = ⧤ⷬ(╾⽑ ⥕)⽑ ⧥ⷬ. ⧤ⷬ e ⧥ⷬ sono le frequenze di transizione dallo stato chiuso allo stato aperto e dallo stato aperto allo stato chiuso rispettivamente. Sono funzione del potenziale di transmembrana ⥃ⷫ, perciò al variare di ⥃ⷫ varia la percentuale di canali aperti e quindi la permeabilità della membrana. All’equilibrio si ha ╽= ⧤ⷬ(╾⽑ ⥕)⽑ ⧥ⷬ❧ ⥕ⷣⷯ = ⸓⻤ ⸓⻤ⵉ⸔⻤. Se ⧤ⷬ⠳ ⧥ⷬ allora ⥕ⷣⷯ ❧ ╾ (massima apertura dei canali). Se ⧤ⷬ⠲ ⧥ⷬ allora ⥕ⷣⷯ ❧ ╽ (massima chiusura dei canali). NB: la variabile n potrebbe anche essere interpretata come probabilità di trovare i canali ionici aperti. Risposta dinamica del canale Supponiamo di imporre un potenziale di membrana costante ⥃ⵀ> ⥃ⷫ . A regime, ⥕ⷣⷯ ( ⥃ⵀ)≠ ⥕ⷣⷯ ( ⥃ⷫ) (sicuramente vero perché i parametri sono funzione del potenziale di membrana ). Vogliamo studiare la dinamica con cui varia n. Poiché ⥃ⵀ è costante, an che ⧤ⷬ e ⧥ⷬ lo sono. La soluzione di ⷢⷬ ⷢⷲ = ⧤ⷬ(╾⽑ ⥕)⽑ ⧥ⷬ risulta essere ⥕ = ⥕(⥃ⵀ)⽑ [⥕(⥃ⵀ)⽑ ⥕(⥃ⷫ)]⥌ⵊⷲ␋⸦. La risposta ha quindi un andamento esponenziale di tipo RC, a cui corrisponde una costante di tempo ⧷= ⵀ ⸓⻤ⵉ⸔⻤ che caratterizza la velocità d ella risposta; più τ piccola, più l’esponenziale cresce rapidamente, quindi il canale si apre più velocemente. ⤻⥈ⵉ ha τ inferiore a quella di ⤸ⵉ, infatti i suoi canali si aprono più velocemente causando la depolarizzazione rapida. Voltage -Clamp È una t ecnica sperimentale utilizzata per studiare e separare le componenti delle correnti di membrana (capacitive, di ⤻⥈ ┻⽐ e di ⤸ⵉ). Si tiene fisso il potenziale di membrana e si misurano le correnti necessarie a mantenerlo fisso. a = elettrodo interno c = elettrodo esterno Si misura la differenza tra a e c tramite l’amplificatore ottenendo ⥃ⷫ . Si confronta ⥃ⷫcon ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ (quello che voglio mantenere ; in realtà talvolta ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ indica la differenza tra il valore da mantenere e ⥃ⷫ ). A seconda d ella differenza che viene misurata, si comanda un generatore di corrente; tale corrente viene iniettata o fatta uscire dalla membrana a seconda dei valori misurati. Si misura questa corrente Im studiando la caduta di potenziale su una resistenza da essa at traversata. È una tecnica veloce: il potenziale di membrana raggiunge quasi istantaneamente il potenziale di clamp; ciò che varierà nel tempo saranno le correnti. Mantenere il potenziale di membrana costante ha i seguenti vantaggi:  le conduttanze sono prop orzionali alla corrente transmembranica ⥎ = ⤶␋(⥃ⷫ ⽑ ⥃ⷰ);  a transitorio esaurito gli effetti legati alla capacità di membrana sono nulli (è come se togliessi il C dal modello);  i coefficienti che regolano l’apertura/la chiusura dei canali sono costanti . Grafici delle correnti misurate: Il potenziale di riposo viene aumentato di una quantità pari a ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ . La salita è a gradino: non c’è transitorio. Lo spike iniziale è legato al contributo della capacità (che reagisce a variazioni di potenziale); dopo il potenziale è costante (infatti c’è salita a scalino) e non ci interessa il contributo della capacità. La corrente è prima negativa, entrante a causa di ⤻⥈ⵉ, e poi positiva, uscente dovuta a ⤸ⵉ. I grafici rappresent ano le risposte al variare dei valori di ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ . Più esso aumenta, più noto che la corrente entrante iniziale diminuisce fino a non esserci : i canali si aprono ma ⤻⥈ⵉ non esce perché siamo al potenziale di equilibrio di Nernst di ⤻⥈ⵉ: il gradiente di concentraz ione e quello di potenziale sono bilanciati. Se scelgo opportunamente ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ (es. potenziale di equilibrio di ⤻⥈ⵉ, in questo grafico 52), posso calcolare la conduttanza di ⤸ⵉ. Le curve corrente -tensione si ottengono plottando i massimi della corrente ⤶⷏ (entrante) e ⤶ⷒ⷟ (uscente) al variare di ⥃ⷫ. Per valori negativi di potenziale, i massimi di ⤻⥈ⵉ sono sempre negativi. Il punto in cui la curva interseca l’asse delle ascisse è il potenziale di equilibrio di ⤻⥈ⵉ. Per ⤸ⵉ tale valore è mo lto simile al potenziale di membrana, quindi molto negativo, e la curva è sempre positiva perché ⤸ⵉ esce sempre. Le conduttanze sono le tangenti a queste curve. Sono sempre positive (a parte il tratto iniziale). Separazione correnti ioni che Con l’ipotesi che le correnti ioniche dovute a ⤻⥈ⵉ e ⤸ⵉ siano indipendenti, se nell’esperimento di voltage -clamp riesco a inibire una corrente, posso studiare l’altra. =n questo modo, ne misuro una e ricavo l’altra per differenza. Non è facile, per ché devo conoscere esattamente i potenziali d’equilibrio e perché funziona solo per quei valori di clamp. Esistono due metodi per inibire il contributo di ⤻⥈ⵉ, uno è l’inibizione farmacologica dei canali tramite TTX, l’altra è il metodo di : odgkin e Huxl ey, in cui il 90% del sodio extracellulare viene sostituito con cholina. Studiamo quest’ultimo. Dal punto di vista elettrico è lo stesso, ma la membrana è impermeabile alla cholina, quindi quando applico un clamo la cholina tenderebbe a entrare per gradien te di concentrazione (l’abbiamo messa solo fuori!) ma non c’è il passaggio, quindi misuro solo la corrente di ⤸ⵉ (Na non tende ad andare all’esterno). ⤶ⷩ ha salita lenta e viene mantenuta al massimo fintanto che mantengo il clamp. Viceversa, ⤶ⷒ⷟ ha una salita più rapida, raggiunge prima il suo massimo ma poi diminuisce anche se mantengo il clamp. Le correnti hanno due dinamiche ben diverse, quindi anche le rispettive conduttanze. Modello di Hodgkin -Huxley È un modello quantitativo nato per spie gare le variazioni delle conduttanze di membrana misurate durante gli esperimenti di voltage - clamp. ⥎ⷐ e ⤶ⷐ rappresentano la conduttanza e la corrente complessiva dovute a ioni che non sono Na e K. I pallini rappresentano le conduttanze di ⤻⥈ⵉ e ⤸ⵉ misurate sperimentalmente, mentre le curve sono le variazioni delle stesse conduttanze stimate dal modello. ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ è via via minore: la forma è all’incirca sempre la stessa ma i valori massimi sono diversi. La risposta quindi dipende dallo stimolo c he applico. Da questi grafici ricaviamo che le conduttanza variano nel tempo e in funzione di ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ . Equazioni e dinamica della conduttanza del potassio ⥎⷏(⥛⏬⥝ⷫ)= ⥎⷏⼯⼯⼯⼯⥕ⵃ(⥛⏬⥝ⷫ) ⥋⥕ (⥛⏬⥝ⷫ) ⥋⥛ = ⧤ⷬ(⥝ⷫ)(╾⽑ ⥕)⽑ ⧥ⷬ(⥝ⷫ)⥕ ⧤ⷬ e ⧥ⷬ dipendono da ⥝ⷫ; n è la variabile di attivazione del potassio e dipende dal tempo e da ⥝ⷫ; ⥝ⷫ è lo scostamento dal potenziale di riposo , ⥝ⷫ = ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ ⽑ ⥃ⷫ (se come ⥃ⷡⷪ⷟ⷫⷮ applicassi ⥃ⷫ, ⥝ⷫ sarebbe nullo). ⥎⷏⼯⼯⼯⼯ è la conduttanza massima di ⤸ⵉ (tutti i canali aperti). La prima equazione dice che la conduttanza di ⤸ⵉ dipende dal potenziale di membrana e dal tempo; la seconda è la stessa del modello di apertura dei canali ionici con esplicitato ch e ⧤ⷬ e ⧥ⷬ dipendono da ⥝ⷫ. ⑈⵷ e ⑉⵷ sono frequenze di transizione, infatti hanno come unità di misura 1/ms. A riposo ⧥ⷬ è maggiore di ⧤ⷬ: i canali per ⤸ⵉ sono infatti tutti chiusi. Quando applico un clamp sono a un valore di potenziale per cui ⧤ⷬ> ⧥ⷬ, i canali si aprono. Per tale cla mp, ⥕ⷣⷯ è maggiore di ⥕ⷣⷯ a riposo: il canale si è aperto, la conduttanza è maggiore quindi c’è corrente di ⤸ⵉ. La soluzione della seconda equazione è: ⥕ = ⥕ⷁ ⽑ [⥕ⷁ ⽑ ⥕ⴿ]⥌ⵊⷲ␋⸦. Sul grafico di n si nota una discontinuità della derivata quando applico il clamp, invece dal punto di vista sperimentale avevamo visto che la salita era più dolce… ⥕ⵃ fornisce il miglior fitting dei dati sperimentali. n è la probabilità che i canali si ano aperti, quindi ⥕ⵃ esprime la probabilità che si verifichino 4 eventi in contemporanea, cioè che 4 substrutture si muovano e il canale si apra: il modello suppone quindi che l’apertura dei canali di ⤸ⵉ sia regolata dall’azione simultanea di 4 subparti celle nella stessa regione (quest’idea è stata recentemente supportata da studi sui recettori dell’acetilcolina che sono costituiti da 5 subparticelle che rivestono il canale acquoso e dove la chiusura/apertura del canale è regolata da un’azione cooperativ a di queste particelle). Spiegazione dei grafici: A riposo ⧥ⷬ è maggiore di ⧤ⷬ: il canale è chiuso. Durante il clamp, ⧤ⷬ> ⧥ⷬ e ⧤ⷬ è molto grande; la conduttanza aumenta, raggiunge un valore massimo e lo mantiene. Finito il clamp, si torna alla situazione iniziale, la conduttanza diminuisce. La τ di aumento della conduttanza è più piccola di quella di diminuzione: l’apertura è più rapida della chiusura, l’aumento della conduttanza è più rapido della diminuzione. Equazioni e dinamica della conduttanza del sodio ⥎ⷒ⷟ (⥛⏬⥝ⷫ)= ⥎ⷒ⷟⼯⼯⼯⼯⼯⥔ ⵂ(⥛⏬⥝ⷫ)⥏(⥛⏬⥝ⷫ) ⥋⥔ ⥋⥛ = ⧤ⷫ(⥝ⷫ)(╾⽑ ⥔ )⽑ ⧥ⷫ(⥝ⷫ)⥔ ⥋⥏ ⥋⥛ = ⧤ⷦ(⥝ⷫ)(╾⽑ ⥏)⽑ ⧥ⷦ(⥝ⷫ)⥏ m è la variabile d i attivazione del sodio, mentre h è la sua variabile di inattivazione. Se h aumenta la conduttanza aumenta, nonostante il nome; viene chiamata così perché è responsabile della chiusura dei canali nel senso che quando h diminuisce i canali si chiudono . Per potenziali di membrana negativi si ha ⧥ⷫ > ⧤ⷫ, quindi a riposo il canale è chiuso. Con clamp positivi si ha ⧥ⷫ < ⧤ⷫ, i canali si stanno aprendo. Quindi durante il clamp, m aumenta e h diminuisce. Le loro dinamiche però non sono uguali altrimenti si eliminerebbero; m raggiunge il p lateau mentre h sta ancora diminuendo. ⥔ ⵂ fornisce il miglior fitting dei dati sperimentali. Il modello suppone perciò che l’apertura dei canali di ⤻⥈ⵉ sia regolata dall’azione simultanea di 4 subparticelle (3 che regol ano l’attivazione + una di inattivazione), tuttavia non c’è una spiegazione fisiologica come per ⤸ⵉ. ⧥ⷫ > ⧤ⷫ a riposo: canali chiusi. ⧥ⷫ < ⧤ⷫ durante clamp: canali aperti. A riposo ⧥ⷦ e ⧤ⷦ sono molto piccoli. Durante clamp ⧥ⷦ> ⧤ⷦ: i canali si chiudono. Nella fase finale di clamp m≈1 ma h→0: il prodotto va a 0 quindi la conduttanza diminuisce. Applicazioni del modello H -H Si utilizzano gli m, n e h predetti dal modello ma in questo caso il potenziale non è costante, quindi l’andamento di m, n e h non ha una soluzione analitica semplice.  Generazione del potenziale d’azione e periodi di refrattarietà. m aumenta molto velocemente. n ha una salita e h una discesa più dolci e sembrano speculari. Quando m arriva al massimo, inizia a diminuire, intanto n sta raggiungendo il suo massimo e h il suo minimo. La salita di m fa sì che ⊔ⵝ⵪ aumenti, quindi entrano i oni ⤻⥈ⵉ. Dopo il massimo di m, h intanto è arrivato al suo minimo, il canale ⤻⥈ⵉ si sta chiudendo, intanto il canale di ⤸ⵉ si sta aprendo infatti n è al suo massimo. Questo è corretto rispetto all’andamento che conosciamo dalla fisiologia. Quindi il m odello H -H riesce a spiegare il PA. La RA si ha nella discesa del potenziale. ⥎ⷒ⷟ è data dal prodotto di m e h e in quella zona entrambe sono molto basse: i canali di Na sono chiusi. Nella zona di RR, m è ai valori di riposo mentre h sta ancora aumenta ndo verso il valore di riposo quindi anche ⊔ⵝ⵪ sta aumentando. Quindi se do uno stimolo maggiore del precedente riesco a ottenere un PA.  Eccitazione da interruzione d’anodo. Quando la membrana è iperpolarizzata: ⧤ⷫ < ⧤ⷫ(⥙)⏬⧥ⷫ > ⧥ⷫ(⥙)❧ ⥔ < ⥔ (⥙) ⧤ⷦ> ⧤ⷫ(⥙)⏬⧥ⷦ< ⧥ⷦ(⥙)❧ ⥏ > ⥏(⥙) Quando tolgo la sorgente dell’iperpolarizzazione m→m(r) e h→h(r). Ma poiché le variabili tendono al valore di regime con diverse costanti di tempo e poiché ⧷ⷫ ⠲ ⧷ⷦ si avrà m=m(r) e h>h(r) quindi mi trovo in una situazione in cui ⥎ⷒ⷟ > ⥎ⷒ⷟ (⥙). Modelli ridotti di neurone Il modello HH è difficile da gestire per modellare una rete di neuroni: si tratterebbe di un sistema non lineare in 4 variabili, V, m, n e h, con le conduttanze che moltiplicano ciascuna delle variabili e a loro volta dipendono da V; inoltre si potrebbe avere un’ulteriore corrente applicata dall’esterno e una dipendente da ioni la cui conduttanza non dipende da V: ⤰ⷫ ⥋⥃ ⥋⥛ = ⽑⥎⷏⥕ⵃ(⥃ ⽑ ⥃⷏)⽑ ⥎ⷒ⷟ ⥔ ⵂ⥏(⥃ ⽑ ⥃ⷒ⷟ )⽑ ⥎ⷐ(⥃ ⽑ ⥃ⷐ)⽐ ⤶⷟ⷮⷮ Si semplificano le equazio ni del modello HH per ottenere modelli ridotti, bidimensionali (in due sole variabili) che quindi può essere studiato sul piano delle fasi. Le approssimazioni sono:  La costante di tempo ⧷ⷫ è molto minore rispetto alle costanti ⧷ⷬ e ⧷ⷦ; la dinamica di m è molto più veloce di quella di h e n, quindi la possiamo trascurare: m va subito a regime, la sua variazione nel tempo è nulla.  Le variabili n e h risultano empiricamente legate da una relazione del tipo an=(b -h): posso quindi usare un’unica variabile w =an=(b -h). (manca) a e b sono coefficienti specifici e costanti per la specie. w può rappresentare un ipotetico canale e tiene cono sia di come varia n sia di come varia h. Si possono semplificare le equazioni scrivendo: ⥋⥃ ⥋⥛ = ╾ ⧷⽮⤳(⥃⏬⥞)⽑ ⤿⤶⷟ⷮⷮ ⽲ ⥋⥞ ⥋⥛ = ╾ ⧷ⷵ [⤴(⥃⏬⥞)] Un’equazione descrive l’andamento di V, l’altra l’andamento di w (quindi sia di h sia di n). Il piano delle fasi L’andamento di V e w viene descritto da traiettorie nel piano che descrivono il comportamento del sistema. In un determi nato punto posso sempre calcolare F o G e quindi le derivate di w o V rispetto al tempo. Se prendo un Δt molto piccolo posso sempre determinare Δw e ΔV. So sempre dove andrò nell’istante successivo t+Δt. =n un determinato punto posso sempre calcolare le co mponenti tangenti la traiettoria e sapere come mi muovo. Le linee isocline sono gli insiemi dei punti in cui ⥃㑁=0 oppure ⥞㑁=0. Le isocline si incontrano in punti in cui entrambe le derivate sono nulle, detti punti d’equilibrio. Se arrivo in uno di questi p unti, non mi muovo a meno di perturbazioni del sistema (es. inietto una corrente nella membrana). Se sono su un’isoclina e mi muovo, posso muovermi solo in verticale o in orizzontale, a seconda di quale delle due derivate è nulla. Studiando i segni si rica va che a seconda della zona del piano che sto considerando, sono consentiti movimenti solo in un verso (alto o basso, destra o sinistra) in modo che il momento sia in verso antiorario. Modello di Fitzhugh -Nagumo Nasce dall’intuizione di approssimare le isocline del modello semplificato del neurone mediante una curva e una retta. La derivata di V viene descritta come una cubica; I è una possibile corrente applicata dall’esterno e il suo effetto è quello di traslare la curva. ⥋⥃ ⥋⥛ = ⥃ ⽑ ⥃ⵂ ▀ ⽑ ⥞ ⽐ ⤶ La deri vata di w viene descritta da una retta; a, b e φ sono dei coefficienti che possono variare a seconda delle fibre. ⥋⥞ ⥋⥛ = ⧹(⥃ ⽐ ⥈⽑ ⥉⥞ ) La retta e la cubica nel grafico rappresentano le isocline rispettivamente di ⥞㑁 e ⥃㑁.  Generazione del potenziale d’azione, refrattarietà assoluta e relativa. Ciascuna delle linee continue è una traiettoria che può essere percorsa nel piano. Le linee tratteggiate sono la retta di ⥞㑁 e la cubica di ⥃㑁. Considero un caso in cui la condizione di riposo è all’equilibrio. Perturbo il sistema: inietto una corrente che fa variare il potenziale di membrana. Mi muoverò a sinistra o destra del punto di equilibrio a seconda del tipo di stimolo. o Stimolo iperpolarizzante : ⥃ⷫ diminuisce, mi sposto a sinistra; il punto di equilibr io è lo stesso, quindi dal nuovo punto torno all’equilibrio con movimento antiorario. o Stimolo depolarizzante sottosoglia : mi sposto verso destra di poco; se non riesco a passare oltre la fase ascendente della cubica, il punto percorre una traiettoria in se nso antiorario e torna al punto di equilibrio. o Stimolo depolarizzante soprasoglia : supera la fase ascendente della cubica, quindi per tornare all’equilibrio deve percorrere tutta la traiettoria in senso antiorario. Questa traiettoria corrisponde a un aumen to di ⥃ⷫ fino al suo massimo, poi inizia a diminuire fino a valori inferiori al valore di riposo, poi torna al valore di riposo. Esiste una zona a cavallo della fase ascendente della curva (NM = No Man Land) in cui l’andamento è ambiguo, potrebbe partire un PA oppure no. Se mi trovo nella zona di RA e do un nuovo stimolo, aumenta ⥃ⷫ (sposto verso destra) ma poi continua a percorre re la stessa traiettoria. Se mi trovo nella zona di RR e do uno stimolo depolarizzante un po’ maggiore del precedente mi sposto abbastanza a destra da superare il valore di riposo e la fase ascendente della cubica quindi ho la generazione di un nuovo PA.  Eccitazione da interruzione d’anodo. La corrente = applicata può essere positiva o negativa. La cubica verrà traslata verso l’alto o il basso a seconda del segno di I. Nelle condizioni di riposo ho la linea cubica continua. Iniettando la corrente ottengo l’isoclina tratteggiata. =n condizioni di riposo ho il punto d’equilibrio in R, quando mantengo la corrente = ho un nuovo equilibrio in R’. Togliendo la corrente, la cubica torna alle condizioni iniziali, ma il sistema si trova in R’, che ora non è più un punto d’equilibrio, quindi il sistema tende in R ma deve per forza percorrere la traiettoria, ovvero si genera un nuovo PA. Se perturbo la membrana con una corrente costante e depolarizzante (uscente) la risposta è un treno d’impulsi. Lo stimolo è depol arizzante quindi la nuova cubica (tratteggiata) è traslata verso l’alto. =l nuovo equilibrio è a R’’. Fintanto che mantengo la corrente, quello è un punto d’equilibrio. Poiché la curva è traslata sopra rispetto all’originale, R’’ è un punto d’equilibrio in stabile, anche per piccole perturbazioni dopo di esse il sistema non può tornare in R’’. succede che il sistema cerca di tornare in R’’ con la traiettoria che genera il PA ma non ci riesce. Questa traiettoria è detta ciclo limite. Esiste una relazione tra l’ampiezza dello stimolo depolarizzante (l’ampiezza della corrente) e la frequenza del treno d’impulsi. Neuroni e reti neuroniche Elementi funzionali del modello di neurone  Dendriti: ingresso del sistema neurone; raccolgono il segnale proveniente dagli altri neuroni e lo trasmettono al soma.  Soma (unità centrale): integra il segnale (potenziali) e genera il potenziale d’azione.  Assone e arborescenza assonica: uscita del sistema; trasmette il segnale (potenziale d’azione) agli altri neuroni. Elementi di dinamica neuronale Prima dell’arrivo di uno spike alla sinapsi, nel neurone considerato i si ha ⥜ⷧ(⥛)= ⥜ⷰⷣⷱⷲ . Se al tempo t=0 il neurone presinaptico j ha sparato, allora per t>0: ⥜ⷧ(⥛)= ⥜ⷰⷣⷱⷲ ⽐ ⧨ⷧⷨ(⥛) dove ⧨ⷧⷨ(⥛) è il potenziale postsinaptico (PSP), che ha valore massimo 1mV; se ⧨ⷧⷨ(⥛)> ╽ la sinapsi è detta eccitatoria, se ⧨ⷧⷨ(⥛)< ╽ la sinapsi è detta inibitoria. Considero una rete in cui ci sono N neuroni presinaptici che inviano spike al neurone i: ogni spike evocherà una risposta ⧨ⷧⷨ(⥛ⷩ) e le risposte si sommeranno nel soma (il quale integra spazialmente e temporalmente gli spike che gli arrivano); finché il potenziale di membrana rimane sottosoglia , il suo andamento è descritto dalla formula: ⪦⪚(⪥)= ⪦⪣⪖⪤⪥ ⽐ ⿘ ⿘ ⫊⪚⪛(⪥⽑ ⪥⪜) ⪜ ⪛ Quando arrivano molti spike in un breve intervallo ed il potenziale supera la soglia di sparo, si genera il potenziale d’azione; poiché ⑐⽑ ⊢⵻⵮⵼⵽ ≈ ╿╽ ┼▀╽ ⊚V , servono circa 20 -50 spike presinaptici per generare un potenziale d’azion e. Quindi, se ⪦⪚(⪥= ⪥ⳤ)⽝ ⫍⏬⪦⪚(⪥> ⪥ⳤ)= ⪇⩸ = ⫌(⪥⽑ ⪥ⳤ). La forma d’onda del PA viene spesso approssimata:  spike forma le: la parte positiva marca il timing dell’evento, è un impulso di ampiezza 1/Δt, con Δt anche infinitesimo, che identifica quando è partito il PA; la seconda parte è un’iperpolarizzazione a cui segue un ritorno esponenziale al valore di riposo (NB sull’asse y c’è lo scostamento del potenziale di riposo). ⧪(⥛⽑ ⥛ⴿ)= { ╾␋◊⥛⏬ ⥗⥌⥙ ⥛ⴿ< ⥛< ⥛ⴿ⽐ ◊⥛ ⽑⧪ⴿ⥌ⵊⷲⵊⷲ⸷⸦ ⏬ ⥗⥌⥙ ⥛> ⥛ⴿ⽐ ◊⥛  delta di Dirac e treno di impulsi: uso questa semplificazione se non mi interessa tenere nel modello la refrattarietà e quindi tenere conto dell’iperpolarizzazione; descrive solo l’aspetto funzionale, solo quando il neurone spara, non mostra la morfologia del PA ma solo i suoi effetti : ⑏(⊡⽑ ⊡ⴿ)= ⑌(⊡⽑ ⊡ⴿ)❧ S⵲= ⿘ ⑌(⊡⽑ ⊡⵴) ⵴ Modello Spike -Respon se (SRM) È un modello fenomenologico , cioè rappresenta solo l’aspetto funzionale: descrive le variazioni del potenziale di membrana ⥜ⷧ(⥛) dovute alla generazione di uno spike o all’arrivo di spike nei neuroni presinaptici (spike response). ⊢⵲(⊡)= ⑏(⊡⽑ ⊡⸳⿨)⽐ ⿘ ⊤⵲⵳⿘ ⑍⵲⵳(⊡⽑ ⊡⵴) ⵴ ⵳ ⽐ ⾼ ⑓(⊠)I⵮ⶁ⵽ (⊡⽑ ⊠)⊑⊠ La prima parte rappresenta la generazione dello spike : viene inserito nel modello ogni volta che ⥜ⷧ(⥛)> ╽. La secon da parte è l’effetto dei potenziali postsinaptici : rappresenta la sommazione spazio - temporale. Il peso ⥞ⷧⷨ rappresenta la posizione dello spike (che influisce sul suo contributo) e contiene un segno che esprime se la sinapsi è eccitatoria o inibitoria. L’ultima parte è l’ integrale di convoluzione tra la risposta all’impulso di corrente della membrana e l’ingresso . Modello integrate -and -fire La base del modello consiste nell’approssimare il comportamento della membrana sottosoglia con un parallelo RC e di supporre che l’effetto dei potenziali postsinaptici sia descrivibile mediante l’iniezione di una corrente =(t). L’equazione che regola il modello è: ⪀⪚(⪥)= ⪦⪚(⪥) ⪉ ⽐ ⩺⪕⪦⪚(⪥) ⪕⪥ Riorganizzando l’equazione si ottiene: ⫙⪞ ⪕⪦⪚(⪥) ⪕⪥ = ⽑⪦⪚(⪥)⽐ ⪉⪀⪚(⪥) ⫙⪞ è la costante di membrana , esprime quanto velocemente varia il potenziale di membrana in seguito a uno stimolo di corrente. La soluzione dell’equazione è un’ esponenziale che cresce fino a quando non intercetta il valore soglia . C’è quindi una relazione tra la corrente che applico e la variazione del potenziale di membrana. Se ⥜ⷧ(⥛= ⥛ⴿ)⽝ ⧫ si ha generazione del PA. Poniamo due ipotesi: 1. c’è uno stimolo di corrente costante ⤶ⴿ; 2. ⥜ⷰⷣⷱⷲ = ╽. Il potenziale in funzione del tempo risulta (con ⊡(ⵀ)= tempo ultimo spike): ⥜(⥛)= ⤿⤶ⴿ[╾⽑ ⥌ⵊⷲⵊⷲ(⸸) ⸦⻣ ] Quando il potenziale raggiunge la soglia θ, ho la generazione di un potenziale d’azione. Se ciò av viene al tempo ⊡(ⵁ) (quando u=θ) , ottengo la seguente relazione: ⧫ = ⤿⤶ⴿ[╾⽑ ⥌ⵊⷲ(⸹)ⵊⷲ(⸸) ⸦⻣ ]❧ ⥁ = ⧷ⷫ ⥓⥕ ( ⤿⤶ⴿ ⤿⤶ⴿ⽑ ⧫) T è costante . Si nota che c’è una relazione tra l’intervallo interspike T e l’ampiezza della stimolazione ⪀ⳤ. Analizziamo il comportamento del modello integrate -and -fire in presen za di rumore sull’ingresso. La corrente di stimolazione non sarà costante, ma oscillerà per effetto del rumore: ⤶(⥛)= ⤶ⴿ(⥛)⽐ ⥕(⥛) La sequenza di spike non sarà più caratterizzata da un intervallo T costante, ma anch’essa oscillerà per effetto del rumore.  Sorgenti di rumore intrinseco : legati alla dinamica di generazione del PA: l’apertura dei canali ionici causa fluttuazioni nel potenziale di membrana;  Sorgenti di rumore estrinseco : legati alla trasmissione del segnale e alle interazioni neurone - neurone: o rumore nella trasmissione sinaptica (solo 1/3 del neurotrasmettitore rilasciato dalla sinapsi raggiunge i dendriti); o rumori legati alle connessioni di una rete neuronica . Ogni neurone riceve in ingresso una sequenza “irregolare” di spike, i cui tempi di arr ivo possono essere descritti con una variabile stocastica . Supponiamo di registrare la sequenza di spike generata da un neurone sottoposto ad uno stimolo costante ⤶ⴿ. L’intervallo interspike ⥚ⷩ non sarà in generale costante. Posso allora studiare come si distribuiscono gli intervalli ⥚ⷩ nella finestra temporale di osservazione costruendo l’istogramma degli intervalli interspike (ISI histogram). P(s) rappresenta per ogni s, cioè per ogni intervallo interspike, la probabilità che ci sia uno spike . La frequenza di sparo sarà anch ’essa una variabile stocastica definita da un suo valore atteso e da una deviazione standard: ⫒ = ⳥ ⩼[⪤]= ⳥ ⟷⪤⪇ (⪤)⪕⪤ La frequenza di sparo dipende dall’ampiezza dello stimolo, fino a una saturazione dovuta alla refrattarietà. Se fornisco una corrente minore della reobase non c’è stimolazione: questo è vero per i neuroni detti silenti. Esiste anche una classe di neuroni non silenti, che anche in assenza di stimolazione riescono a generare PA. È un fenomeno difficile da spiegar e con modelli deterministici . In un generico istante t il valore del potenziale di membrana u(t) potrà essere descritto come somma di due contributi : ⥜(⥛)= ⿘ ⤽⥀⤽ ⷨ(⥛⏬⤶ⴿ)⽐ ⥙(⥛) ⷨ Il primo è il contributo deterministico , il secondo è il contributo di rumore r(t) , definito da una distribuzione di probabilità p(r) : consideriamo r(t) come una variabile stocastica . La distribuzione del rumore dice che anche in assenza di stimolazione c’è una certa fluttuazione nel valore del potenziale di membrana . È una f luttuazione a valor medio nullo, centrata sullo zero. La stimolazione trasla la curva. Se tutta la ddp(u) sta a destra della soglia, il neurone sparerà sicuramente. Se la ddp(u) è a cavallo della soglia, la probabilità di sparo è definita come l’area sottesa alla curva a destra della soglia . Nel grafico, 1 rappresenta un neurone non silente, 2 un neurone silente ; si ricava la probabilità di sparo al variare di I. I modelli stocastici introdotti servono per spiegare il fenomeno della sincronizzazione, osservato sperimentalmente. Diamo una corrente sinusoidale . Si avranno degli spike tot secondi dopo il picco sempre allo stesso istante (a); l’istogramma che si ricava è una barra (d). Ciò che si verifica è per ò b (sfasamento degli spike) , con l’istogram ma a campana (e). Ciò che si ricava è il grafico sotto; la prima campana è coerente col rumore che abbiamo studiato finora. L’=S= :istogram assume un andamento caratteristico con massimi ai multipli del periodo della sinusoide (sincronizzazione ). Se c’è molto rumore, esso può disturbare talmente tanto che salta uno sparo (c) ; l ’intervallo interspike diventa quindi il doppio del periodo. Può succedere anche che salti due spari di fila ma con meno probabilità. M odello a catena di Markov I cerchi rappres entano gli stati e le frecce i passaggi di stato. Nello stato di riposo ho una probabilità 1 -Ps di rimanere lì e una di Ps di sparare. Se sparo, vado nello stato di inizio RA, dove ho una probabilità di 1 di andare nello stato di RA. Devo rimanere in questo stato un po’ di tempo, quindi per un certo numero di istanti successi vi ho una probabilità di 1 di rimanerci. Dopo n clock si passa allo stato di RR, dove rimango per un certo numero di clock. Ho una probabilità di P’s di sparo e se succede torno nello stato di inizio RA. Ho una probabilità di 1 -P’s di non sparare e se succede torno nello stato di riposo. Propagazione dell’impulso Ipotesi di lavoro:  fibra approssimabile a un filo (r raggio della fibra → fibra assimilabile ad una linea (insieme di punti),  fibra di lunghezza infinita (per non tenere conto degli effetti di bordo),  sulla fibra viaggia un PA. Voglio valutare il potenziale generato in un punto P(r) dello spazio extracellulare . Divido la fibra in tanti elementi dx. da ciascuno di questi elementi emerge una corrente ⥐ⷫ⥋⥟ . Ogni elemento dx è assimilabile ad un monopolo di corrente. ⧹ⷔ= ⾼ ⥐ⷫ⥋⥟ ▁⧳⧵⥙ = ╾ ▁⧳⧵ ⾼ ⥐ⷫ⥋⥟ ⥙ = ╾ ▁⧳⧵ ⥙ⷧ ⾼ ⧽ⵁ⥝ⷫ ⥋⥟ⵁ ▯ ⥙ ⥋⥟ NB che r è la distanza del punto di misura dalla fibra, ⥙ⷧ è la resistenza interna. Monopoli vs dipoli Il grafico mostra ⥝ⷫ (andamento della variazione del potenziale di membrana lungo la fibra in seguito a uno stimolo) e le sue derivate: quando la derivata seconda è >0 la corrente è uscente, quando è il dipolo punta ancora A -> A misura un’onda positiva anche in ripolarizzazione! Modello dipolo concentrato =n ogni istante durante l’attivazione delle fibre cardiache è data da una distribuzione di dipoli ⤷ⷴ lungo il fronte d’onda. A patto di mettermi a distanza sufficiente, posso pensare di sintetizzare questa rappresentazione con un unico vettore somma di tutti gli elementi: dipolo cardiaco H. ⤵ = ⾼ ⤷ⷴ⥋⥝ Il dipolo cardiaco varierà in generale in ampiezza, direzione e posizione durante le fasi del ciclo cardiaco. Esempio: (rosso = depolarizzata, blu = riposo) La ripolariz - zazione atriale non si vede perché è molto minore della depolarizzazione ventricolare. Derivazioni ECG standard: Einthoven Ipotesi:  sorgente: dipolo in posizione fissa,  volume: infinito e omogeneo (σ). Si tratta di derivazioni bipolari ottenute come differenza tra elettrodi posizionati sugli arti superiori e sulla gamba sinistra. Il posizionamento non è critico in quanto gli arti sono approssimativamente isopotenziali. ⥃ⷍ= ⧹ⷐ⽑ ⧹ⷖ ⥃ⷍⷍ = ⧹ⷊ⽑ ⧹ⷖ ⥃ⷍⷍⷍ = ⧹ⷊ⽑ ⧹ⷐ I vettori derivazioni per le derivazioni di Einthoven sono disposti secondo un triangolo equilatero con R, L, F equidistanti dalla sorgente. Non sono indipendenti, note due si può ricavare la terza: ⥃ⷍ⽐ ⥃ⷍⷍⷍ = ⥃ⷍⷍ ⥊ⷍ⽐ ⥊ⷍⷍⷍ = ⥊ⷍⷍ Α è detto asse elettrico istantaneo e solitamente varia tra i 30° e 45° (dipolo verso il basso). Il potenziale prodotto da un dipolo di corrente ⥗✱ su di una sfera di raggio r risulta: Perciò i vettori derivazioni per le derivazioni unipolari (R,F,L) sono diretti radialmente verso l’esterno della sfera e hanno tutti lo stesso modo. Nelle derivazioni di Einthoven, che sono bipolari, i vettori derivazioni sono perciò diretti come le congiu ngenti dei punti di misura (come le bisettrici degli angoli) e formano quindi un triangolo equilatero. Dato un dipolo ⥗✱ inclinato di α, le differenze di potenziale valgolo: ⥃ⷍ= ⥗⊐⊜⊠ ⧤ = ⥗ⷶ ⥃ⷍⷍ = ╽⏯▂⥗ⷶ⽐ ╽⏯▅▄ ⥗ⷷ ⥃ⷍⷍⷍ = ⽑╽⏯▂⥗ⷶ⽐ ╽⏯▅▄ ⥗ⷷ I vettori risultano perciò: ⥊ⷍ= ⴞ✱ ⥊ⷍⷍ = ╽⏯▂ⴞ✱⽐ ╽⏯▅▄ ⴟ✱ ⥊ⷍⷍⷍ = ⽑╽⏯▂ⴞ✱⽐ ╽⏯▅▄ ⴟ✱ I vettori derivazioni giacciono nel piano frontale! Derivazioni ECG standard: derivazioni aumentate Utilizzando la stessa disposizione di elettrodi si ottengono le derivazioni aumentate (Goldberger) in cui il potenziale di un elettrodo è riferito alla media degli altri due. ⥈⥃ⷖ= ⧹ⷖ⽑ (⧹ⷐ⽐ ⧹ⷊ)␋╿ ⥈⥃ ⷐ= ⧹ⷐ⽑ (⧹ⷖ⽐ ⧹ⷊ)␋╿ ⥈⥃ ⷐ= ⧹ⷊ⽑ (⧹ⷖ⽐ ⧹ⷐ)␋╿ I rispettivi vettori derivazione sono diretti come le bisettrici del triangolo di Einthoven. In totale, quindi, abbiamo 6 derivazioni sul piano frontale. Di queste, però, solo due sono indipendenti. Ci servono altre derivazioni per avere informazioni sul piano trasversale. Derivazioni ECG standard: precordiali Si tratta di derivazioni unipolari. I potenziali sono riferiti al terminale di Wilson ( ⧹ⷵ). ⧹ⷵ = (⧹ⷖ⽐ ⧹ⷐ⽐ ⧹ⷊ)␋▀ ⥃ⷧ= ⧹ⷧ⽑ ⧹ⷵ⏬⥐= {╾⏬⏰ ⏬▃} I rispettivi vettori deriva zioni sono posti nel pian o trasversale e puntano verso l’elettrodo sonda. Nel volume reale Triangolo di Frank (1954): Ipotesi:  sorgente: dipolo in posizione fissa,  volume: finito e omogeneo. ⥊ⷍ= ╾▁ ⥒㐷✱⽐ ▄▃ ⴞ✱⽑ ╿▄ ⴟ✱ ⥊ⷍⷍ = ⽑╾▃ ⥒㐷✱⽐ ▀╽ ⴞ✱⽐ ╾▁▃ ⴟ✱ ⥊ⷍⷍⷍ = ⽑▀╽ ⥒㐷✱⽑ ▁▃ ⴞ✱⽐ ╾▄▀ ⴟ✱ Triangolo di Burger (1967): Ipotesi:  sorgente: dipolo in posizione fissa,  volume: finito e non omogeneo. ⥊ⷍ= ╾▄ ⥒㐷✱⽐ ▃▂ ⴞ✱⽑ ╿╾ ⴟ✱ ⥊ⷍⷍ = ⽑╾▂ ⥒㐷✱⽐ ╿▂ ⴞ✱⽐ ╾╿╽ ⴟ✱ ⥊ⷍⷍⷍ = ⽑▀╿ ⥒㐷✱⽑ ▁╽ ⴞ✱⽐ ╾▁╾ ⴟ✱ Non sono nel piano frontale. La differenza tra Burger e Frank è minima: la non om ogeneità del volume non influenza (quasi per niente) il risultato. L’ipotesi più rilevante è quella del volume finito. Sono sempre due le derivazioni indipendenti. Il cambio maggiore si ha sulle derivazioni II e III (l’elettrodo sulla gamba è più lontano). Dipendenza dal punto di applicazione (di cosa????) Il dipolo non è in posizione fissa. Come cambia se vario il punto di applicazione? Il triangolo varia (vd piano frontale) ma a meno di non mettermi nella zona apicale (in basso a sinistra) in realtà i triangoli sono simili: l’assunzione di avere il dipolo fisso è una semplificazione che posso mantenere e che non altera in modo significativo il risultato. Stimolazione elettrica L’obiettivo è stimolare neuroni, fibre muscolari e fibre eccitabili in genere mediante stimoli di corrente extra o intracellulari. Quali strutture saranno interessate dalla stimolazione? Quali metodi ci permettono di arrivare ad una stimolazione selettiva delle sole strutture d’interesse? Quali effetti avrà questa stimolaz ione sul sistema d’interesse? Complessità del problema nel SNC:  cellule in prossimità dell’elettrodo che si proiettano lontano da esso;  cellule in prossimità dell’elettrodo che si proiettano localmente;  assoni che si trovano a passare in prossimità dell’e lettrodo;  terminazioni pre -sinaptiche. Modello della fibra (assone): modello a linea di trasmissione (conduzione, parallelo RC con resistenze interne ed esterne). Tipo di stimolazione: intracellulare VS extracellulare. Stimolazione intracellulare Viene i niettata una corrente costante in un punto della fibra: è il caso della generica stimolazione sottosoglia : ⧮ⵁ⸬⸹ⷴ⻣ ⸬ⷶ⸹ = ⧷⸬ⷴ⻣ ⸬ⷲ ⽐ ⥝ⷫ ⽐ ⧮ⵁ⥙ⷣ⥐ⷮ con ⥐ⷮ = corrente di stimolazione; la sua soluzione è ⥝ⷫ(⥟)= ⥝ⷫ(╽)⥌ⵊ␌⻮␌⼕. L’andamento del caso studiato in precedenza, con ipotesi di fibra di lunghezza infinita, è riportato in figura con una linea spessa. Gli altri due andamenti riportati rappresentano uno il caso di fibra di lunghezza finita e l’altro il caso di fibra con estremità a terra. Stimolazione extracellulare Una corrente iniettata nello spazio e xtracellulare genera variazioni nel potenziale all’esterno della fibra. L’esterno della fibra si troverà ad un potenziale diverso in ogni elemento dx ( ⥃ⷣⵀ⏬⥃ⷣⵁ⏬⥃ⷣⵂ…). Nel modello i generatori di tensione rappresentano i vari valori del potenziale extracellulare. L’effetto sulla corrente di membrana e sul potenziale di membrana dipende da:  caratteristiche geometriche della fibra,  proprietà dello spazio extracellulare,  distanza fibra -stimolo. La fibra che stiamo considerando è amielinica, per questo possiamo considerare elementi infinitesimi dx. La corrente di membrana ⥐ⷫ vale ⥐ⷫ = ⥃ⷫ ⥙ⷫ ⽐ ⥊ⷫ ⧽⥃ⷫ ⧽⥛ (contributo resistivo + contributo capacitivo) ma è anche la differenza tra ⥐ⷧⵀ e ⥐ⷧⵁ, cioè ⥐ⷫ = ⽑ ⧽⥐ⷶ ⧽⥟ = ⽑ ⧽ ⧽⥟ (⽑ ╾ ⥙ⷧ ⧽⧹ⷧ ⧽⥟ )= ╾ ⥙ⷧ ⧽ⵁ⧹ⷧ ⧽⥟ⵁ = ╾ ⥙ⷧ (⧽ⵁ⥃ⷫ ⧽⥟ⵁ ⽐ ⧽ⵁ⧹ⷣ ⧽⥟ⵁ) Eguagliando le due equazioni e riarrangiando i termini, ottengo: ╾ ⥙ⷧ ⧽ⵁ⥃ⷫ ⧽⥟ⵁ ⽑ ⥃ⷫ ⥙ⷫ ⽑ ⥊ⷫ ⧽⥃ⷫ ⧽⥛ = ⽑ ╾ ⥙ⷧ ⧽ⵁ⧹ⷣ ⧽⥟ⵁ o analogamente: ⧮ⵁ⧽ⵁ⥃ⷫ ⧽⥟ⵁ ⽑ ⥃ⷫ ⽑ ⧷⧽⥃ⷫ ⧽⥛ = ⽑⧮ⵁ⧽ⵁ⧹ⷣ ⧽⥟ⵁ In entrambe il membro di destra è la forzante, che è assimilabile a una corrente intracellulare di stimolazione (per confronto tra le equazioni). La corrente extracellulare di stimolazione genera una variazione di potenziale extracellulare, la cui derivata seconda rispetto a x stimola la fibra: è questa la forzante. Essa dipende da λ: è maggiore tanto più è grande il diametro della fibra. L’equazione tiene conto sia delle caratteristiche della fibra sia di quelle del volume conduttore ( ⧹�