Biomedical Engineering - Fisica Sperimentale e Meccanica Razionale

Completed notes of the course - Meccanica razionale

Complete course

MECCANICA RAZIONALE Postulati fondamentali della Meccanica Classica - le grandezze fondamentali della meccanica sono tempo , lunghezza e massa = grandezze misurabili - postulato: queste grandezze sono assolute (ovvero, sono le stesse per ogni osservatore e non dipendono da chi compie la misura - distaccamento dalla meccanica di Einstein) - La geometria (misura della posizione) è la premessa fondamentale della meccanica razionale, mentre il tempo diventa misura del cambiamento - osservatore = chi compie la misura ~ occupa un punto O nello spazio ~ bisogna definire un sistema di riferimento che permetta di capire come è orientato l’osservatore nello spazio terna di riferimento ortonormale - gli assi sono ortogonali fra loro - posso definire dei versori unitari - terna destrorsa ! 3/11 OP ha dimensione di una lunghezza ha dimensione di una forza - prodotto scalare - prodotto vettore lavoro ma è un vettore ! momento di una forza applicata in P (rispetto al polo O) polo esercizio: Come definire una misura del cambiamento ? - queste variabili (forze, posizioni, orientamento della terna) possono variare nel tempo sia che esse siano grandezze scalari che vettoriali - il vettore OP cambia nel tempo - il punto P si muove lungo una traiettoria - La misura del cambio della posizione nel tempo può essere fatta da osservatori differenti esempio: osservatore fisso osservatore fisso : ~ non cambia nel tempo (terna fissa) ~ la velocità del sistema è 0 osservatore mobile : ~ posizione e orientazione della terna sono funzioni del tempo (terna solidale) NB: per il postulato iniziale le misure sono le stesse sia che siano fatte da osservatori fissi che da osservatori mobili osservatore fisso osservatore mobile Descrizione di cambi di posizione nel tempo - La prima grandezza fisica da definire è la velocità , ovvero la variazione di una variabile vettoriale ( vettore posizione OP ) in funzione di una variabile scalare ( il tempo ) sistema fisso vettoriale scalare facendo il limite per questo vettore tende alla direzione della tangente alla traiettoria nel punto P al tempo t di riferimento sistema di riferimento fisso raccogliendo e sostituendo riassumendo , in un sistema fisso : - le derivate appaiono solo nelle componenti scalari - l’espressione della velocità è semplice - da questa scrittura non emerge però il fatto che la velocità è diretta lungo la tangente alla traiettoria CALCOLO DELLA VELOCITÀ PER UN SISTEMA DI RIFERIMENTO FISSO (rappresentazione cartesiana) costanti = le porto fuori dal limite Dimostrazione : CALCOLO DELLA VELOCITÀ PER UN SISTEMA DI RIFERIMENTO MOBILE l’orientamento degli assi cambia nel tempo NB: il ogni istante il versore mobile è diretto come la tangente alla traiettoria ma - posso misurare la distanza percorsa in un certo intervallo di tempo = lunghezza della curva (traiettoria ) nel tempo Invece di utilizzare una dipendenza esplicita dal tempo, introduco una dipendenza dalla variabile scalare (lunghezza della traiettoria) funzione composta velocità scalare lunghezza della curva fra i due tratti sappiamo che tende alla direzione della tangente alla traiettoria lunghezza della corda fra i due punti il modulo della derivata diventa quindi lunghezza della corda lunghezza dell’arco versore tangente alla traiettoria modulo = 1 - il modulo della velocità è la velocità scalare (indicata dal tachimetro dell’auto) - la direzione è quella della tangente - la formula per il sistema mobile è più compatta e immediata che per il sistema fisso. Tuttavia, sia che il versore dipendono dal tempo ! 4/11 Uso come variabile cinematica nel sistema di riferimento mobile -> introduco quindi Come posso passare dalle coordinate fisse a quelle mobili ? Come scrivere la velocità ? - mobile radiale tangenziale dobbiamo sapere come varia nel tempo ! nel verso crescente del tempo Sistema di riferimento fisso Sistema di riferimento mobile -> trattazione semplificata traiettoria = circolare no componente radiale scriviamo ora il versore tangente e la velocità è quindi: tangente derivata del versore tangente: tramite queste relazioni sulle derivate dei versori mobili, si possono ricavare anche le espressioni dell’accelerazione tangenziale radiale NB: rappresenta la velocità scalare l’accelerazione è solo radiale ! accelerazione centripeta CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO sistemi estesi: la massa è distribuita: ~ in diversi punti materiali ( sistemi particellari estesi ) ~ nello spazio con una certa distribuzione e certi confini ( sistemi a massa distribuita ) -> asta (su linea), dischi (lungo un cerchio), lamine (lungo rettangoli), palle (lungo sfere) sistemi a massa distribuita che si comportano come corpi rigidi : definizione: - la distanza tra ogni coppia di punti appartenenti al corpo non cambia nel corso del tempo, indipendentemente dalle sollecitazioni ad esso applicate (idealizzazione) o in modo equivalente: attenzione ! In generale Definizioni importanti: Configurazione: insieme dei punti materiali che compongono il sistema meccanico in un dato istante (immagine statica ) Moto: applicazione che restituisce la configurazione del sistema ad ogni valore di tempo in un intervallo fissato (immagine dinamica ) Atto di moto: insieme delle coppie posizione e velocità di tutti i punti che compongono il sistema ad un istante fisso condizione caratteristica dell’atto di moto rigido: Per permettere la conservazione delle distanze, non sono possibili tutti gli atti di moto ! Esplicitazione matematica della restrizione sull’atto di moto: versore della direzione da A a B componente di lungo la direzione da A a B Riassumendo : se il corpo è rigido le componenti della velocità di due punti qualsiasi del corpo hanno la stessa proiezione lungo la direzione che congiunge questa coppia di punti Vale anche il contrario ! La condizione di atto di moto rigido è CNS affinché il corpo sia rigido Condizione caratteristica dell’atto di moto rigido: l’atto di moto è limitato dalla rigidità 11/11 Sapendo la velocità di due punti P e Q qualsiasi del corpo rigido, per la condizione caratteristica dell’atto di moto , è possibile determinare univocamente la velocità di un qualsiasi altro punto S del corpo rigido allo stesso istante di tempo. CINEMATICA DEL CORPO RIGIDO SISTEMA SOLIDALE: Un sistema si definisce solidale al corpo rigido se misura una velocità nulla per tutti i suoi punti ad ogni dato istante riferimento mobile riferimento fisso Un moto è rigido se e solo se si può associare almeno un sistema solidale ! fisso mobile dalla def. di sistema solidale è costante dalla def. di corpo rigido è costante esempio: per questo tipo di moto il versore è sempre coincidente con il versore fisso la traslazione risulta da un sistema solidale che non cambia orientamento in funzione del tempo - moto rigido traslatorio - moto rigido rototraslatorio traslazione = cambio del polo P nel tempo rotazione = variazione nel tempo dell’ orientamento della terna solidale (versori e ) Come descriviamo il cambio di orientamento della terna solidale in funzione del tempo ? L’angolo che definisce l’orientazione del sistema solidale si considera positivo se misurato in senso antiorario da un qualsiasi asse fisso ad un qualsiasi asse mobile facendo le derivate: velocità angolare scalare contiene l’informazione di quanto velocemente sta cambiando l’orientazione della terna solidale definizione vettoriale vettore velocità angolare per corpo rigido piano - riprendendo le relazioni teorema di Poisson se ne ricava il fatto che noti e ad un istante fisso t, il vettore velocità angolare è l’unica variabile vettoriale che determina il cambio di orientazione della terna solidale (e quindi la rotazione del corpo rigido ) vettore caratteristico della cinematica rigida COORDINATE LIBERE Quante sono le variabili scalari che mi servono per descrivere la configurazione del corpo rigido piano ? sono le 3 coordinate libere per il corpo rigido piano Coordinate libere: la configurazione di un corpo rigido può essere espressa ad ogni istante di tempo con un numero N di grandezze scalari indipendenti (funzioni del tempo) che prendono il nome di coordinate libere. Dette q i tali grandezze ( con i = 1, 2, …, N) e definito q=q(t), la posizione di un qualsiasi punto A del corpo rigido può essere scritta come OA (t) = OA(q(t)) Quante sono le variabili scalari che mi servono per descrivere la configurazione del corpo rigido nello spazio ? 6 coordinate libere ! - Nel caso piano abbiamo solo la rotazione attorno all’asse z, mentre nello spazio le rotazioni possibili sono 3 (indipendenti tra loro) - il teorema di Poisson si può comunque estendere con le stesse formule anche per il corpo rigido nello spazio formula fondamentale della cinematica rigida - sapendo la velocità di un qualsiasi punto P e la velocità angolare del corpo rigido, allora conosco anche la velocità di un qualsiasi altro punto Q del corpo rigido 3 variabili scalari 6 variabili scalari PQ costante Che differenza c’è tra questa definizione è quella vista in precedenza ? condizione caratteristica dell’atto di moto rigido NB: È importante ricordare che il vettore velocità angolare è una caratteristica intrinseca della terna al tempo fissato t e quindi non dipende dalla scelta del polo P e dall’orientazione iniziale della terna anche se prendo terne solidali diverse, la velocità angolare non cambia ! tutte le terne solidali sono equivalenti e la velocità angolare è unica lezione 17/11 DIMOSTRAZIONE UNICITÀ DELLA VELOCITÀ ANGOLARE terna solidaleterna solidale la velocità angolare è la stessa ? i vettori sono qualsiasi affinché il prodotto sia 0 deve essere NB: la velocità angolare non dipende dalla terna, è costante qualunque siano i punti scelti Riepilogo delle formule di cinematica rigida: condizione caratteristica dell’atto di moto rigido teorema di Poisson sono i due vettori caratteristici dell’atto di moto rigido sistema solidale Teorema di Eulero per l’atto di moto rigido piano L’atto di moto rigido piano è traslatorio o rotatorio. In particolare: è traslatorio se e tutti i punti hanno la stessa velocità è rotatorio se e non esistono due punti con la stessa velocità Se l’atto di moto è rotatorio, esiste un unico punto C detto centro di istantanea rotazione individuato come: che rappresenta l’intersezione dell’asse di rotazione del corpo con il piano che lo contiene. dimostrazione : - si parte dalla formula fondamentale della cinematica rigida tutti i punti hanno la stessa velocità ad un dato istante l’atto di moto è TRASLATORIO - esistono due punti che hanno la stessa velocità ? ipotesi: sono paralleli MA ho contraddetto l’ipotesi ! quindi nel moto rotatorio non esistono due punti che abbiano la stessa velocità - immaginiamo che esista un punto C che abbia velocità nulla. Tale punto è unico per quanto appena detto dove si trova questo punto C ? - moltiplico vettorialmente entrambi i membri a destra e a sinistra per il vettore velocità angolare: - come è diretto il vettore PC ? - è ortogonale alla velocità angolare è alla velocità del punto -> sta sul piano - so che la velocità di un punto P è tangente alla traiettoria del punto all’istante considerato - quindi PC sarà diretto come la normale alla traiettoria ! è utile usare la formula fondamentale della cinematica rigida ponendo C come polo: atto di moto rotatorio attorno al punto C NB: osservo che i punti più lontani dal centro rotatorio hanno una velocità maggiore - il punto C è fisso oppure può variare nel tempo ? esempio : ruota di un treno che rotola senza strisciare (nel punto di contatto ruota e rotaia hanno la stessa velocità, uguale a 0) su una rotaia rettilinea - Il punto a velocità nulla può variare nel corso del tempo e viene quindi chiamato centro di istantanea rotazione centro di rotazione all’istante considerato NB: stiamo parlando di un atto di moto ! La traiettoria percorsa dal CIR in funzione del tempo si chiama polare fissa se rispetto ad un sistema di riferimento fisso oppure polare mobile se rispetto ad un sistema di riferimento mobile. (nel caso della rotaia, il CIR percorre una retta lungo la rotaia) CINEMATISMO BIELLA - MANOVELLA corpi rigidi piani asta AB asta BD lamina rossa attaccata a D vincoli: D scorre orizzontalmente le aste sono attaccate in B A è fisso Atto di moto: traslatorio (si muove da destra-sinistra) rotatorio rotatorio - Per l’asta AB il punto A ha sempre velocità nulla e quindi il punto A è il CIR ad ogni istante di tempo l’atto di moto è rotatorio, ma anche il moto stesso è rotatorio ! asta AB asta BD - il punto B percorre nel tempo una traiettoria circolare di raggio AB (costante per rigidità) - come troviamo il CIR di quest’asta ? Teorema di Chasles - in un atto di moto rigido piano, il centro istantaneo di rotazione si trova all’intersezione delle normali alle traiettorie (non parallele) di due qualsiasi punti del corpo rigido tale considerazione è evidente dal teo di Eulero perché: - in ogni problema di corpo rigido vincolato, sapendo le velocità oppure le traiettorie di due punti, posso ricavare la posizione del CIR ad ogni istante di tempo ! CIR cambia in funzione del tempo ! la velocità angolare dell’asta BD detta - cosa succede quando le due velocità sono parallele ? IL TEOREMA DI CHASLES NON È PIÙ VALIDO ! Distinguiamo tre casistiche: - si sfrutta la condizione caratteristica dell’atto di moto rigido per l’asta BD: atto di moto traslatorio = in questo istante considerato, tutti i punti dell’asta hanno la stessa velocità caso 1 : paralleli e di verso concorde - dal teo di Eulero: passando ai moduli dividendo le due espressioni relazione di similitudine tra i triangoli BDC e AEC caso 2 : caso 3 : velocità parallele e verso discorde altra similitudine tra triangoli domande esame : ~ descrivere la determinazione del CIR per un corpo rigido quando si conoscono le velocità di due punti, nei casi in cui esse siano parallele o non parallele ~ dimostrazione completa del teorema di Eulero Cenni all’atto di moto per il corpo rigido nello spazio in generale ma comunque valgono le formule di Poisson: e inoltre: sistema statico (non cinematico) traslatorio moltiplico scalarmente a sinistra per w Tutti i punti hanno la stessa componente della velocità nella direzione di caso 3 : (non c’è componente della velocità lungo w) rotatorio caso 4 : atto di moto rototraslatorio (elicoidale , come quello di una vite) esiste solo nello spazio lezione 18/11 CINEMATICA DEI SISTEMI RIGIDI VINCOLATI Un sistema è sottoposto ad un vincolo quando esiste una restrizione che può riguardare le configurazioni oppure l’ atto di moto . - un vincolo si dice olonomo se impone una restrizione sulle configurazioni accessibili al sistema - un vincolo si dice anolonomo se non si può esprimere come vincolo olonomo e impone quindi una limitazione esclusivamente sugli atti di moto accessibili al sistema vincolo olonomo può essere espresso come una legge di una certa configurazione vincolo bilatero vincolo unilatero coordinate dei punti del corpo rigido esempio: rigidità vincolo bilatero vincolo anolonomo dipendenza esplicita dalle velocità (con i vincoli anolonomi si perdono molte proprietà matematiche della soluzione) Classificazione cinematica dei vincoli Velocità virtuale : un vettore è una velocità virtuale del punto P ad un certo istante di tempo t se la coppia è un atto di moto ammissibile dai vincoli agenti sul sistema all’istante considerato. l’istante è fisso, quindi si considera il vincolo a quell’istante Vincolo fisso : Un vincolo si dice fisso se non consente movimento al punto P in cui è espletato Vincolo mobile: un vincolo si dice mobile se consente almeno una componente non nulla della velocità virtuale Vincolo bilatero : un vincolo si dice bilatero se per ogni velocità virtuale ammessa all’istante considerato, ammette anche la sua opposta se invece anche solo una componente della velocità non è reversibile, allora il vincolo è unilatero esempio: ascensore - congelo il vincolo al tempo t=0: NON CONSENTITO ! vincolo olonomo unilatero Un sistema ammette N gradi di libertà se ci sono un massimo di N velocità virtuali indipendenti coordinate libere configurazione grado di libertà atto di moto Se un sistema ammette N coordinate libere significa che ci sono N grandezze scalari indipendenti che descrivono la configurazione. Se un sistema ammette N gradi di libertà, ci sono N velocità virtuali indipendenti che descrivono l’atto di moto. Se un sistema ha N coordinate libere e N gradi di libertà, allora ci può essere sia la configurazione vicina in cui spostarsi che l’atto di moto con cui spostarsi . In particolare, se tutti i vincoli sono olonomi e ci sono N coordinate libere e N gradi di libertà, si parla di sistemi olonomi a N gradi di libertà . corpo rigido piano libero vincolo olonomo rigidità 3 coordinate libere gradi di libertà ? velocità virtuali corpo rigido piano vincolato - introduciamo quindi i principali vincoli olonomi e anolonomi, analizzando le restrizioni che impongono sui gradi di libertà agenti sul sistema - sfruttiamo la formula fondamentale della cinematica rigida CARRELLO permette lo scorrimento lungo un solo asse movimenti consentiti movimenti non consentiti elimina 1 gdl PATTINO elimina 2 gdl CERNIERA FISSA elimina 2 gdl CERNIERA MOBILE elimina 2 gdl INCASTRO - non ci sono gdl residui sistema biella-manovella quanti gdl ha questo sistema ? senza vincoli : 2 corpi rigidi = 6 gdl con vincoli : - cerniera fissa toglie 2 gdl - cerniera mobile toglie 2 gdl - carrello in A toglie 1 gdl -> 1 gdl residuo sistema olonomo ad 1 gdl quante coordinate libere ha il sistema ? SOLO UNA esempio 1 coordinate libere: 6 gdl tolti dai vincoli: 6 0 gdl - sistema olonomo isostatico (ottime strutture per reggere carichi) esempio 2 - cerniera mobile in P: e quindi esiste 1 gdl ! anche se non c’è una configurazione vicina, c’è l’atto di moto per muoversi Si parla di sistema labile lezione 24/11 CINEMATICA DEI SISTEMI PIANI VINCOLATI ricorda ! Spesso la velocità virtuale è diversa da quella reale esempi: ponte labile, massa che ruota su una circonferenza che modifica il suo raggio nel tempo Vincoli di appoggio, contatto, puro rotolamento VINCOLI DI APPOGGIO - un vincolo di appoggio è in generale unilatero (può ammettere un distacco) punto di contatto all’istante considerato ammette strisciamento relativo in direzione tangente altrimenti ci sarebbe compenetrazione distacco contatto -> i corpi si muovono con la stessa velocità in direzione normale - due corpi rigidi restano a contatto se hanno la stessa componente della velocità virtuale lungo la normale al punto all’istante considerato - possono comunque ammettere uno strisciamento tangenziale se le componenti tangenziali di sono diverse contatto con strisciamento contatto con puro rotolamento il vincolo all’istante considerato equivale ad una cerniera - l’unico gdl permesso è la rotazione relativa seguono una serie di esempi: DISCO CHE ROTOLA SU UNA GUIDA FISSA RETTILINEA: puro rotolamento - pensiamo al centro del disco D la traiettoria è - per calcolare il centro del disco usiamo le formule dell’atto di moto rigido si verifica quanto dedotto intuitivamente: rotazione antioraria si sposta verso sinistra rotazione oraria si sposta verso destra Integrando la relazione trovata rispetto al tempo: ci dice di quanto si è spostato il punto di contatto ma so anche che angolo di rotazione Riepilogo di alcune nozioni fondamentali - il vincolo di puro rotolamento nel piano si può integrare in una relazione che coinvolge solo le coordinate libere del sistema e non le velocità vincolo olonomo (mentre nel caso 3D in generale non lo è perché si esprime come una relazione tra le velocità virtuali) - nel piano il puro rotolamento di un disco si esplica come una circonferenza che si svolge su una linea, quindi il punto di contatto si sposta esattamente dell’arco di cerchio esistente tra i due punti di contatto all’istante iniziale e finale c’è una sola possibilità di muoversi tra le due configurazioni iniziali e finali, proprio perché il vincolo è olonomo vincoli anolonomi -> per passare da una configurazione all’altra ci sono diversi modi DISCO CHE ROTOLA SU UNA GUIDA FISSA SEMICIRCOLARE DI RAGGIO R: - D si sposta su un arco di circonferenza di raggio R - r - posto il vincolo di puro rotolamento, quanto vale la velocità angolare del disco ? puro rotolamento Atto di moto (Eulero) punto di contatto, cambia istante per istante obiettivo: obiettivo: atto di moto rigido - confronto tra le due formule: oss: - tanto più la guida ha raggio R molto più grande del raggio r del disco, tanto più cresce il rapporto R/r il disco ruota molto velocemente ASTA CHE STRISCIA A CONTATTO CON UNA GUIDA SEMICIRCOLARE: contatto in A e B: guida fissaguida fissa - come si muovono A e B ? Lungo le rispettive tangenti. La traiettoria percorsa è una semicirconferenza - qual è l’atto di moto dell’asta ? Rotatorio - dov’è il CIR ? Possiamo applicare il teorema di Chasles perché conosciamo le traiettorie di due suoi punti - quanto vale la velocità angolare dell’asta ? - confronto tra le due formule: nessuna moltiplica geometrica R/r la velocità angolare è la stessa per qualsiasi lunghezza dell’asta COLLEGAMENTO CON FILO INESTENDIBILE: - il vincolo di filo inestendibile sfrutta l’idea che la lunghezza della traiettoria che collega gli estremi A e B sia una costante - la prima cosa da fare è scegliere un verso nella traiettoria del filo (es: da A a B) - usando una rappresentazione parametrica della traiettoria del filo: filo inestendibile nel caso di figura (sopra): Cosa succede se si cambia la traiettoria ? lezione 25/11 ANALISI DELLE SOLLECITAZIONI NB: video su YouTube di risoluzione di due esercizi - dato un qualsiasi sistema meccanico (anche non rigido) indichiamo con S una sollecitazione ad esso applicata come l’insieme delle forze applicate al sistema ed i loro punti di applicazione . (richiamo a livello cinematico alla quantità di moto) - l’obiettivo è stabilire il legame causa-effetto che da una data sollecitazione provoca un dato atto di moto - come nell’atto di moto esistono due vettori cinematici caratteristici (v del polo e v angolare), allo stesso modo nella sollecitazione applicata al corpo rigido ci saranno due vettori caratteristici della sollecitazione: momento della forza rispetto al polo A distanza dal polo come varia l’espressione di M A se cambio il polo ? formula del trasporto dei momenti - si inizia a vedere un primo legame con la cinematica rigida (parallelismo con la formula fondamentale della cinematica p) - per iniziare a studiare il nesso causa - effetto fra sollecitazione ed atto di moto è necessario partire dallo studio delle forze ed in particolare dai principi di Newton: 1 - Un corpo persevera in uno stato di quiete o di MRU in assenza di forze agenti su di esso (osservatori inerziali) 2 - ogni variazione (di velocità = di accelerazione) dello stato di un corpo è proporzionale alla forza ad esso impresso ed è diretta lungo la stessa direzione. La massa è la misura dell’inerzia a cambiare moto (F = m a ) 3 - ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria. Durante il moto, le forze scambiate tra i due corpi hanno direzione uguale e verso opposto esempio: le forze scambiate fra due punti diversi A e B sono anche dirette come la congiungente tra i due punti è necessario considerare un polo ? le azioni e le reazioni sono sollecitazioni particolari perché hanno momento nullo e risultante nulla ! Postulato sulla natura delle forze - esistono tre operazione dette invariantive che non cambiano l’effetto delle forze sul moto del punto (o in generale del sistema meccanico) 1 - COMPOSIZIONE 2 - SCORRIMENTO - la forza, pur essendo un vettore applicato al punto P, si comporta come un vettore libero può essere spostata liberamente lungo la retta di applicazione invarianza del momento e della risultante 3 - TRASPORTO FUORI DALLA RETTA DI APPLICAZIONE questo è equivalente a: - se si vuole trasferire una forza F dal punto A al punto B (fuori dalla retta di applicazione) è necessario aggiungere una sollecitazione particolare coppia - versore diretto verso l’osservatore - il sistema ruota in senso antiorario equivalente a ovvero hanno lo stesso effetto sull’atto di moto del sistema rigido La coppia è quindi una particolare sollecitazione che ha risultante nulla e momento diverso da zero ed indipendente dalla scelta del polo altro esempio: equivalente a forze diverse applicate in punti diversi possono avere lo stesso risultato Teorema di equivalenza - due sollecitazioni che hanno la stessa risultante delle forze e lo stesso momento risultante rispetto allo stesso polo sono equivalenti (CNS) Analisi della sollecitazione in base a R e M A - il teorema di equivalenza ci dice che la sollecitazione può essere studiata solo in base a combinazioni dei due vettori caratteristici R e M A (parallelismo con il teorema di Eulero = studio dell’atto di moto in base a w e v A) SOLLECITAZIONI PIANE sul corpo rigido piano parallelismo con atto di moto coordinate libere quante diverse sollecitazioni esistono per il corpo rigido piano ? - ci sono due elementi da cui la sollecitazione dipende, quindi si procede con l’analisi delle diverse possibili combinazioni sollecitazione nulla -> non modifica lo stato di quiete / MRU del corpo coppia perpendicolari forza R applicata su un punto particolare esempio: peso -> baricentro o centro di massa punto che appartiene all’ asse centrale parallelismo con CIR e teo di Eulero STATICA VETTORIALE DEL CORPO RIGIDO lezione 1/12 la sollecitazione è equivalente ad una sollecitazione data dalla risultante applicata ad un punto particolare G G = centro delle forze parallele si determina dalla condizione di equivalenza: - stessa risultante - stesso momento rispetto allo stesso polo dal teorema di equivalenza: deve valere per ogni direzione di k indipendentemente dai valori della forza, quindi si scarta la 1) avendo supposto R = 0 media pesata delle distanze vettoriali, usando come pesi le intensità delle forze il centro delle forze peso: il baricentro - il baricentro è una funzione caratteristica della distribuzione spaziale delle masse (non dipende dall’accelerazione di gravità) - media pesata delle distanze vettoriali dal punto O (i pesi sono le masse) - cosa succede se nella definizione di baricentro pongo O = G ? il denominatore è sicuramente diverso da zero (massa non nulla) esempio: baricentro di un’asta omogenea la massa è distribuita in maniera uguale nel dominio, quindi esiste una densità per unità di lunghezza baricentro non dipende dalla densità dell’asta baricentro nel punto medio dell’asta ! rispetto al baricentro, la distribuzione delle masse deve essere zero disco omogeneo di raggio r si può definire una densità di massa per unità di superficie - introduzione ai problemi di statica - - la statica analizza le configurazioni di equilibrio per un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro - si definisce una configurazione di equilibrio se: all’istante iniziale il sistema è fermo una configurazione è di equilibrio se il sistema è posto in tale configurazione con velocità nulla e vi permane in ogni istante successivo esempio: pendolo semplice entrambe le configurazioni sono di equilibrio, ma in generale l’esperienza fisica ci insegna che hanno diverso carattere di equilibrio! - se perturbo la configurazione verticale verso il basso, il sistema resta “vicino” alla configurazione iniziale (equilibrio stabile ) - mentre se perturbo la configurazione verticale verso l’alto il sistema si posta molto dalla configurazione iniziale (equilibrio instabile ) accenno: - tutti i punti di equilibrio hanno derivata nulla - equilibrio stabile = derivata seconda positiva - equilibrio instabile = derivata seconda negativa - problemi di statica - problemi direttiproblemi inversi sono noti sono incognite CLASSIFICAZIONE DELLE SOLLECITAZIONI - in base alla natura delle forze: ATTIVA è nota in modulo, direzione e verso in funzione della configurazione REATTIVA reazione vincolare è la forza esercitata dal vincolo in reazione alle forze attive in una data configurazione ad un dato istante in generale è un’incognita che dipende dalla natura del vincolo - in base al punto di applicazione: ESTERNEINTERNE se applicate dall’esterno in un punto del sistema se sono scambiate tra due punti interni al sistema - per il terzo principio di Newton, tutte le forze interne (attive e reattive) hanno risultante e momento nullo CONDIZIONI NECESSARIE PER REALIZZARE UNA CONFIGURAZIONE DI EQUILIBRIO - per analizzare la configurazione di equilibrio di questo corpo rigido si parte dalle leggi di Newton: in ogni punto la somma delle forze attive e reattive agenti su di esso deve essere nulla in una configurazione di equilibrio! sommatoria: Attenzione ! ma non vale il contrario ! Se la sommatoria è nulla, questo non implica che la somma di forze attive e reattive per ogni punto sia nulla esempio: coppia sistema terra sole - l’annullamento della risultante di tutte le forze attive e reattive nel sistema è una condizione necessaria ma non sufficiente per l’equilibrio di tutti i punti - in questa condizione necessaria di equilibrio le incognite sono le reazioni vincolari (devo vincolare bene il sistema per avere pareggio del numero di equazioni e del numero di incognite) - in un sistema olonomo questo è automatico perché numero di gradi di libertà = numero di coordinate libere - si può fare un passo in più, ragionando sulle forze interne / esterne prima equazione cardinale della statica - condizione necessaria ma non sufficiente di equilibrio è che la risultante delle forze esterne (attive e reattive) debba essere nulla si ripercorre lo stesso ragionamento introducendo i momenti rispetto ad un polo O qualsiasi sommo per tutti i punti ma non vale il contrario ! altra condizione necessaria di equilibrio ! seconda equazione cardinale della statica - condizione necessaria ma non sufficiente di equilibrio è che il momento risultante delle forze esterne (attive e reattive) debba essere nullo - equazioni cardinali della statica per il corpo rigido piano 3 equazioni scalari e 3 velocità virtuali indipendenti lezione 2/12 CARATTERIZZAZIONE FISICA DEI VINCOLI - cenni ai vincoli reali o con attrito - 1 - attrito statico 2 - attrito dinamico - la forza di attrito dinamico esercita una potenza negativa o positiva ? - in situazioni reali c’è un flusso di energia in uscita che misura la dissipazione del vincolo e dipende da diversi fattori (rugosità, materiale,…) - si fanno quindi delle ipotesi di lavoro che rendono i calcoli più semplici ma portano comunque a configurazioni di equilibrio realizzabili nella realtà POTENZA REALE E POTENZA VIRTUALE totale - che significato ha la potenza per una reazione vincolare ? -> si introduce il concetto di potenza virtuale la potenza virtuale è la potenza che viene esplicata con un atto di moto consentito dai vincoli del sistema (congelati) in un dato istante -> dividendo tra forze attive e reattive: potenza virtuale forze attive potenza virtuale reazioni vincolari descrive la potenza virtuale esercitata dai vincoli nell’istante considerato (quindi congelando il vincolo e considerando l’atto di moto consentito ) NB: non ha più il significato energetico della potenza reale CASO REALE / attrito dissipazione CASO IDEALE / senza attrito POSTULATO DEI VINCOLI NON DISSIPATIVI Un vincolo si dice ideale se è in grado di generare tutte e sole le reazioni vincolari che esplicano potenze virtuali non negative per ogni atto di moto consentito dal sistema e dai vincoli all’istante considerato. tutte = il sistema non si rompe mai, a prescindere dalla sollecitazione applicata. Non lo posso verificare nella realtà, per questo si tratta di un postulato e sole = non è ammessa neanche una reazione vincolare che generi potenza negativa - con questo postulato si fa un passo in avanti rispetto al postulato delle forze (equivalenza risultante e momento risultante) - in particolare, si dimostra anche la sufficienza delle equazioni cardinali per l’equilibrio del corpo rigido Attenzione ! Si ha questo grande guadagno, ma si deve lavorare con una sottoclasse di vincoli e quindi di sistemi - cosa succede se tutti i vincoli sono bilateri ? - un vincolo bilatero ideale ha potenza virtuale nulla ! Potenza virtuale in un atto di moto rigido evidente parallelismo tra i due vettori caratteristici della sollecitazione (R, M) ed i due vettori caratteristici dell’atto di moto rigido (v A , w) - per una coppia: Caratterizzazione fisica dei vincoli ideali per il corpo rigido piano - quando abbiamo introdotto i vincoli abbiamo fatto una classificazione cinematica dei vincoli, in funzione dell’atto di moto consentito ora faremo invece una classificazione fisica, ovvero vedremo quali sono le componenti delle reazioni vincolari consentite affinché la potenza vincolare virtuale sia ideale (ovvero non negativa) - analisi dei vincoli - CARRELLO reazione consentita reazione non consentita - due casi PATTINOdove è consentita una componente della velocità virtuale, non è consentita la corrispondente componente della reazione vincolare CERNIERA FISSAINCASTRO CERNIERA MOBILE quindi i due corpi non possono scambiarsi una coppia vincolare, ma solo reazioni orizzontali e verticali uguali e contrarie NB: i vincoli trattati fino ad ora sono bilateri, ma cosa accade se andiamo a considerare un vincolo unilatero ? VINCOLO DI APPOGGIO - casistica: - il corpo superiore (2) esercita sul corpo inferiore (1) solo una reazione normale negativa (diretta quindi come la normale dal corpo 2 al corpo 1) -> corpo 2 spinge verso il basso il corpo 1 esempio pratico per ricordare: quando si appoggia un oggetto sul tavolo, il tavolo può scambiare con l’oggetto solo una forza normale diretta verso l’alto - la condizione di distacco si può quindi individuare come la condizione per cui la reazione vincolare normale diventa nulla ! FILO INESTENDIBILE lezione 9/12 … dalla statica vettoriale a quella analitica statica vettoriale : corpo rigido piano vantaggio: queste equazioni si possono usare sia con vincoli reali (con attrito) che con vincoli ideali (senza attrito o non dissipativi) -> quindi non bisogna fare alcuna ipotesi sul vincolo svantaggio: - tali equazioni sono necessarie ma non sufficienti . La sufficienza andrebbe postulata - per un problema diretto l’incognita è la configurazione di equilibrio ma le equazioni cardinali hanno come incognite le reazioni vincolari, coordinata libera del sistema all’equilibrio -> quindi per risolvere il sistema bisogna trovare prima le reazioni vincolari (svantaggioso soprattutto se ho un sistema costituito da tanti corpi) esempio guida: domanda: qual è la configurazione di equilibrio? incognite: - come si risolve il sistema con 4 incognite e 3 equazioni ? Usando più volte le equazioni cardinali per “svincolare” il sistema Per sistemi vincolari, le equazioni cardinali si possono applicare per l’intero sistema e per ogni sottosistema ottenuto svincolando il sistema, ovvero eliminando un vincolo e considerando i due sottoinsiemi ottenuti sostituendo al vincolo le reazioni vincolari uguali e contrarie che i sottosistemi si scambiano attraverso il vincolo. Svincolando : - svincolando ho aggiunto due nuove incognite però si possono usare le equazioni cardinali sia per tutto il sistema che per una sola asta svincolata (un sottosistema) e dunque si hanno 2x3 = 6 equazioni cardinali -> si ha pareggio tra equazioni e incognite equazioni cardinali (tutto il sistema) così facendo si sono determinate le tre reazioni vincolari esterne, ma non l’angolo di equilibrio. Si applicano quindi nuovamente le equazioni cardinali, ma questa volta al solo sottosistema “asta 1 svincolata” asta 1 svincolata: dipende dalle forze attive agenti sul sistema NB: per arrivare a questo risultato è stato necessario fare diversi passaggi e trovare le reazioni vincolari -> esiste un modo più veloce per trovare la configurazione di equilibrio, senza passare per le reazioni vincolari ? SI ma è necessario fare un’ipotesi sui vincoli, che devono essere non dissipativi - se si considerano solo vincoli non dissipativi allora vale il seguente principio: principio delle potenze virtuali - è un principio , ma possiamo “fare finta” che sia un teorema e dimostrarlo come tale - abbiamo utilizzato la doppia freccia che indica una condizione necessaria e sufficiente. Si procede quindi a dimostrare entrambe le direzioni: - e se tutti i vincoli sono bilateri ? quali sono le incognite in questa equazione ? legato alla configurazione di equilibrio, quindi alla coordinata libera Def: equazione pura: si dice equazione pura della statica una qualsiasi equazione che colleghi direttamente le sole forze attive alla configurazione di equilibrio - perché è un principio è non un teorema (seppure se ne possa fare la dimostrazione) ? -> perché si basa sul postulato per cui la potenza virtuale deve essere maggiore/uguale a zero per vincoli ideali (non verificabile sperimentalmente) esempio guida: utilizzando il principio delle potenze virtuali sono tutti vincoli ideali e bilateri, quindi si può usare il PPV nella forma di uguaglianza abbiamo ottenuto lo stesso risultato per via più semplice. Un altro vantaggio del PPV è che permette di dimostrare la sufficienza delle equazioni cardinali per l’equilibrio dei sistemi rigidi (seguirà dimostrazione) PPV per sistemi olonomi ad 1 gdl sollecitazione attiva generalizzata - prodotto di forze e velocità - la configurazione di equilibrio è sempre data come una condizione sulla sollecitazione attiva generalizzata Q (che dipende da forze attive ) Cosa succede se le forze attive ammettono un potenziale ? FISICA: MECCANICA RAZIONALE: esempio: - in meccanica razionale tutte le forze che dipendono dalla posizione hanno un potenziale che è la primitiva della forza - rispetto alla fisica, si perde il significato energetico poiché si lavora con potenze virtuali invece che reali se si ha un sistema meccanico sottoposto a vincoli non dissipativi ed a forze che ammettono un potenziale, si ha una semplificazione del PPV. Infatti: se in più il sistema è olonomo ad 1 gdl, allora si può scrivere tutto in funzione di una sola coordinata libera q: se in più i vincoli sono anche bilateri, condizione necessaria e sufficiente di equilibrio è che: teorema di stazionarietà del potenziale condizione necessaria e sufficiente perché q sia posizione di equilibrio per un sistema olonomo ad 1 gdl soggetto a vincoli perfetti e forze conservative di potenziale U è che q sia un punto di stazionarietà del potenziale … tornando all’esempio guida: trovo la soluzione in due passaggi ! lezione 15/12 Dimostrazione della sufficienza delle equazioni cardinali della statica per un sistema rigido olonomo sottoposto a vincoli ideali: se allora vale equazioni cardinali della statica postulato c’è equilibrio ! - confronto tra statica vettoriale e analitica - statica vettoriale statica analitica postulato risultato SOLLECITAZIONI: - proprietà invariantiva - teorema di equivalenza VINCOLO: - ideale / non dissipativo - condizione necessaria condizione necessaria e sufficiente vantaggi svantaggi - applicabile a vincoli reali e ideali - condizione necessaria ma non sufficiente di equilibrio - bisogna applicare più volte le equazioni cardinali (molti calcoli) - condizione necessaria e sufficiente di equilibrio - dà un equazione pura - applicabile solo ai vincoli ideali NB: si può dimostrare che se una configurazione di equilibrio esiste con vincoli ideali, allora essa sarà una condizione di equilibrio ammessa anche se uno o più vincoli esistenti sono reali ultimo esempio di statica analitica: - calcolo gdl - vincoli - configurazione di equilibrio - introduzione ai problemi di dinamica - obiettivo: derivare le equazioni che determinano il moto del sistema problemi diretti problemi inversi variabili note variabili incognite - sollecitazioni attive - vincoli MOTOMOTO sollecitazioni attive e vincoli per realizzare il moto dato problemi semi - inversi - alcune componenti del moto - alcuni vincoli le altre componenti per avere il moto voluto - richiamo di punto materiale seconda legge di Newton: per un sistema differenziale del secondo ordine in forma normale ho necessità di imporre due condizioni iniziali: la soluzione del sistema differenziale esiste sempre? Se esiste, è unica? Teorema di Picard: Se le forze agenti sul punto (ovvero le componenti F x e F y) sono continue nel tempo e limitate e hanno derivate che sono anch’esse limitate nelle variabili x,y allora esiste una ed una sola soluzione dell’equazione di moto - quantità meccaniche della dinamica punto materiale sistema esteso quantità di moto - si considera una prima semplificazione geometrica che emerge dalla definizione di Q NB: sistemi estesi diversi che hanno stessa massa totale e velocità del baricentro hanno la stessa quantità di moto, che è equivalente a quella che avrebbe il punto materiale che si trova nel baricentro con massa uguale a quella totale del sistema esempio: quantità di moto per un’asta rigida Teorema della quantità di moto (Prima Equazione Cardinale della Dinamica) prima equazione cardinale della dinamica - se sul sistema agiscono forze esterne con risultante diversa da zero, cambierà la quantità di moto (rapporto di causa - effetto ) si è appena visto come sia possibile fare una semplificazione geometrica della quantità di moto totale teorema di moto del baricentro richiamo alla seconda legge di Newton -> il baricentro si comporta come un punto materiale in cui è concentrata tutta la massa del sistema (semplificazione geometrica) e si muove in reazione ad una sollecitazione non nulla delle forze esterne - tutte le sollecitazioni che hanno stessa risultante delle forze esterne sono equivalenti - tutti i sistemi meccanici che hanno la stessa massa totale M e lo stesso baricentro sono equivalenti rispetto alla legge di Newton, ovvero il baricentro si muoverà allo stesso modo se sottoposto a sollecitazioni equivalenti con la stessa risultante oss: - statica come caso particolare della dinamica oss: compaiono solo forze esterne allora le forze interne non possono cambiare la quantità di moto del sistema come fanno allora gli aerei a cambiare traiettoria durante il volo ? - Il pilota aziona dei motori, che producono forze agenti tra punti interni al sistema con conseguente cambiamento del profilo alare -> di fatto si ha uno scambio di forze interne di risultante nulla Come è possibile quindi che il risultato sia una variazione della quantità di moto ? - le forze interne dei motori causano un cambiamento della configurazione, ma le forze esterne (es: attrito viscoso) cambiano con la configurazione -> questo porta indirettamente ad un cambio della quantità di moto oss: la prima equazione cardinale della dinamica ammette che si possa camminare sul ghiaccio (ovvero senza attrito) ? in assenza di forze esterne lungo x (assenza di attrito) il baricentro deve rimanere a velocità nulla e non si può quindi muovere lungo la direzione orizzontale L’attrito ci permette di camminare perché introduce una forza esterna lungo x (in reazione a delle forze interne) che può provocare un cambio della quantità di moto lungo x e dunque uno spostamento lungo x del baricentro oss: dalla prima equazione cardinale ci sono dei casi particolari in cui si deriva una legge di conservazione , ovvero una legge in cui nel corso del moto si conserva una certa quantità meccanica esempio: nel sistema solare si scambiamo forze uguali e contrarie tra sole e pianeti, allora la risultante delle forze esterne è nulla il baricentro del sistema solare si muove a velocità costante oss: esempio dell’esplosione dello shuttle prima dell’esplosione: - si muove di moto parabolico - le uniche forze esterne sono forza peso e resistenza dell’aria (direzione verticale) esplosione: - reazione chimica che coinvolge punti interni al sistema (la risultante delle forze esterne è sempre nulla se prima dell’esplosione il moto del baricentro era parabolico, a causa del teorema del moto del baricentro esso continuerà a muoversi di moto parabolico anche dopo l’esplosione, poiché sono intervenute soltanto forze interne - cosa è cambiato ? È VENUTO MENO IL VINCOLO DI RIGIDITÀ ! La prima equazione cardinale della dinamica ci permette di misurare con semplificazioni di tipo geometrico l’inerzia alla traslazione (ovvero ad un cambio di quantità di moto) di un sistema esteso sottoposto a sollecitazioni qualsiasi Si procede ora con un’analisi analoga per quantificare l’inerzia alla rotazione, in particolare per applicazioni a sistemi rigidi Bisogna quindi definire una quantità meccanica equivalente a quella vista per la fisica del punto materiale - come cambia il momento della quantità di moto in funzione del polo ? seconda equazione cardinale della dinamica causa: momento delle forze esterne diverso da zero effetto: cambio del momento della quantità di moto La sua espressione dipende dalla scelta del polo ? la variazione del momento della quantità di moto rispetto al baricentro è uguale al momento delle forze esterne con polo nel baricentro se lo calcoliamo con un polo in A non coincidente con il baricentro, vediamo che compare un termine supplementare di trascinamento È importante però sottolineare che visto che sia K A che M A sono trasportati con la stessa legge di trasporto si può dimostrare che le equazioni cardinali sono invarianti con il cambio di polo Per un sistema baricentrale le due equazioni assumono una forma compatta e di immediato significato fisico: lezione 16/12 Momento della quantità di moto per un corpo rigido In generale, per un corpo rigido piano si ha una generazione per cui il momento K G è sempre parallelo ad w e dunque ha solo la componente lungo z diversa da zero Questo non è sempre vero se si considera un corpo rigido nello spazio Equazioni cardinali per il corpo rigido piano esempio: ragazzo su disco libero di ruotare, sfrutta il momento angolare della ruota di bici che fa girare in mano se cambio l’asse di rotazione della ruota, cambio anche il momento della quantità di moto, ma complessivamente il momento della quantità di moto si deve conservare come vettore la conseguenza è che si deve creare una rotazione della piattaforma su cui si trova la persona che tiene in mano la ruota esempio: individuo su un disco libero di ruotare - effetto di avvicinare / allontanare i pesi dal corpo esempio: Calcolo momento di inerzia per sistemi rigidi piani asta rigida e se lo volessimo fare rispetto ad A ? Grazie al seguente teorema, è possibile calcolare il momento di inerzia cambiando il polo, senza dover fare i calcoli da capo Teorema di Huygens - Steiner Per un corpo rigido piano, il momento di inerzia rispetto ad un qualsiasi polo A è uguale al momento baricentrale più un termine aggiuntivo uguale al prodotto tra la massa totale e la distanza |AG| al quadrato Il momento di inerzia minimo è dunque quello baricentrale fra tutti i punti del corpo rigido il momento di inerzia minimo (dunque la minore inerzia alla rotazione) è quello baricentrale … ritornando all’asta … disco omogeneo - calcolo momento di inerzia conviene passare alle coordinate polari - cosa succede ad un disco che rotola senza strisciare su una guida rettilinea (binario) ? lezione 20/12 Teorema dell’energia cinetica - così come in statica, le equazioni cardinali contengono come incognite le equazioni vincolari e dunque bisogna spesso risolvere diverse equazioni prima di riuscire a ricavare le equazioni differenziali di moto. - ci chiediamo dunque se è possibile derivare un’equazione pura di moto, ovvero un’equazione che metta direttamente in relazione le variabili di moto in funzione delle sollecitazioni attive. sistemi estesi - l’energia cinetica T per il sistema esteso può essere definito come la somma delle energie cinetiche di tutte le masse che lo compongono deriviamo rispetto al tempo: oss 1: la potenza totale è dovuta ai contributi di tutte le forze , esterne ed interne, attive e vincolari esempio dimostrativo: oss 2: per ottenere questo teorema non sono state utilizzate le equazioni cardinali, quindi di fatto si tratta di un’equazione scalare indipendentemente (è infatti chiamata quarta equazione cardinale per sistemi piani o settima equazione cardinale per sistemi nello spazio) - per i sistemi rigidi è però possibile dimostrare che si tratta di una equazione dipendente ! - quindi possono utilizzare indifferentemente le equazioni cardinali o il teorema dell’energia cinetica - il suo vantaggio rispetto alle equazioni cardinali è che si tratta di un’equazione pura che lega sollecitazioni attive e equazioni di moto (sotto alcune ipotesi) teorema dell’energia cinetica per un sistema rigido verifico che si trovi lo stesso risultato dalla definizione di energia cinetica per un corpo rigido se si considera A = G, l’ultimo termine va via - ma allora abbiamo verificato che teorema dell’energia cinetica ed equazioni cardinali sono equazioni dipendenti per il corpo rigido che ipotesi bisogna fare perché il teorema dell’energia cinetica diventi un’equazione pura ? corpo rigido con vincoli perfetti (ideale è bilatero) equazione pura di moto ! … e se le forze attive sono di tipo conservativo ? - il teorema dell’energia cinetica per un sistema rigido sottoposto a vincoli ideali e a forze conservative (che ammettono quindi un potenziale U) si trasforma in una legge di conservazione per l’energia meccanica E esempio: - in fisica si utilizza la conservazione dell’energia meccanica per il punto materiale, ma questa legge può essere estesa in meccanica anche ai sistemi rigidi piani Esercizi: esercizio 1: Come lo posso risolvere ? 1) applicare le equazioni cardinali, trovare le equazioni di moto, risolvere il sistema di equazioni differenziali e vedere la soluzione al tempo cercato - si potrebbero utilizzare le prime due per ricavare le componenti della reazione in D e poi la terza per trovare l’equazione differenziale per l’angolo ψ, ma poi mi fermerei perché si ottiene un’equazione differenziale non lineare (non la so risolvere) ! altro modo: 2) dato che il sistema è rigido, i vincoli sono perfetti e la forza agente è la forza peso (conservativa), posso utilizzare il teorema dell’energia cinetica per ottenere un’equazione pura di moto - come posso quindi ricavare la velocità angolare scalare nel punto minimo della guida ? Basta applicare la legge di conservazione di E esercizio 2: 1) calcolare l’equazione di moto 2) calcolare la componente x della reazione vincolare in D Quando viene chiesto di trovare una reazione vincolare, bisogna per forza utilizzare le equazioni cardinali