Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

2 - Strutture isostatiche

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Corso di Scienza delle Costruzioni La soluzione delle strutture isostatiche Esercizi Docente: Prof. Maria Gabriella Mulas Diparti mento di Ingegneria Strutturale Introduzione Gli esercizi che seguono sono una raccolta di problemi, dati da svolgere a casa o facenti parte di prove in itinere, per il Corso di Scienza delle Costruzioni per allievi Ingegneri Chimici. I problemi, che riguardano solo strutture aventi la linea d’asse delle aste aperta, sono presentati in ordine di difficoltà crescente, a partire dai più semplici, che riguardano strutture composte da una sola asta. Seguono le strutture di due aste, per cui vengono ana lizzati i due schemi base, l’arco a tre cerniere e la mensola con un’appendice isostatica. Seguono infine i problemi più complessi, in cui le strutture, sempre a linea d’asse aperta, hanno degli schemi statici più complessi, derivanti dall’assemblaggio di parti con schemi statici “ base ”. Per affrontare i problemi qui presentati occorre la conoscenza preliminare delle premesse teoriche che stanno alla base del calcolo delle reazioni vincolari e del tracciamento dei diagrammi di azione interna. Presupposto i ndispensabile è la familiarità con il postulato delle reazioni vincolari e con l’utilizzo delle Equazioni Cardinali della Statica (ECS nel seguito). Lo studente può fare riferimento ai capitol i 1 e 2 del testo “Lezioni di Scienza delle Costruzioni ” della docente , e ai capitoli 4 e l del “Vector Mechanics ”. Milano, 2 novembre 2012 Si ringrazia l’ing. Ivano Telaide, studente della LS in Ingegneria Chimica presso il Politecnico di Milano, per il contributo editoriale senza cui questa raccolta ragionata del materiale disponibile sul sito dei Corsi -on -line non sarebbe stata disponibile. Milano, 19.2.2006 Sommario Strutture composte da una sola asta ................................ ................................ ................................ ..... 1 Esercizio 1 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 1 Esercizio 2 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 2 Esercizio 3 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 2 Esercizio 4 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 3 Esercizio 5 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 3 Esercizio 6 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 4 Esercizio 7 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 5 Strutture composte da due aste: l’arco a tre cerniere. ................................ ................................ .......... 7 Esercizio 8 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 7 Schema statico ................................ ................................ ................................ .............................. 7 Calcolo delle reazioni vincolari ................................ ................................ ................................ ... 7 Esercizio 9 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 9 Schema statico ................................ ................................ ................................ .............................. 9 Calcolo delle reazioni vincolari ................................ ................................ ................................ ... 9 Esercizio 10 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 11 Esercizio 11 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 11 Esercizio 12 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 12 Schema statico ................................ ................................ ................................ ............................ 13 Strutture composte da due aste: l’appendice isostatica. ................................ ................................ ..... 14 Esercizio 13 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 14 Esercizio 14 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 15 Strutture composte da più di due aste: schemi statici misti. ................................ .............................. 17 Esercizio 15 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 17 Esercizio 16 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 18 Analisi della struttura ................................ ................................ ................................ ................. 18 Diagramma di CORPO LIBERO – reazioni vincolari ................................ ............................... 19 Esercizio 17 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 21 Analisi della struttura ................................ ................................ ................................ ..................... 21 Diagramma di CORPO LIBERO – reazioni vincolari ................................ ................................ ... 22 Esercizio 18 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 24 Analisi dello schema statico ................................ ................................ ................................ ....... 24 Calcolo delle reazioni vincolari ................................ ................................ ................................ . 24 Calcolo delle azioni interne ................................ ................................ ................................ ........ 26 Esercizio 19 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 28 Esercizio 20 ................................ ................................ ................................ ................................ .... 31 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 1 02/11/2012 Strutture composte da una sola asta Esercizio 1 Per le due strutture in figura si calcolino le reazioni vincolari. Nello svolgere l’esercizio si compia - no i seguenti passi: 1. Analisi dello schema st atico e verifica che i vincoli siano ben disposti. A scelta dello studente la verifica può essere fatta controllando che le reazioni vincolari formino un sistema di forze a risultante e momento risultante qualunque (verifica sul lato della statica) o che i vincoli siano messi in maniera tale da impedire l’esistenza di un centro di istantanea rotazione dell’asta (verifica sul lato della cinematica). 2. Riduzione della struttura a corpo libero, attraverso l’eliminazione dei vincoli a terra e la loro sostituzione con le reazioni vincolari opportune (attraverso il postulato delle reazioni vin - colari). Il verso delle reazioni a questo punto è indeterminato, si può assumere quello che si preferisce. 3. Scrittura delle equazioni cardinali della statica. Per ogni equazion e si specifichi chiaramente la convenzione di segno adottata e la condizione di equilibrio imposta (es: Fx=0, forze positive verso destra). Se lo si ritiene vantaggioso, si può utilizzare una delle forme alternative delle ECS nel caso piano. 4. Dopo aver ris olto le ECS si ridisegni la struttura soggetta a sole forze note, forze attive e forze reattive con i versi determinati dalla soluzione delle ECS al punto 3. L’utilizzo della procedura indicata aiuta a capire e imparare il metodo di soluzione delle strutt ure isostatiche. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 2 02/11/2012 Esercizio 2 Si calcolino le reazioni vincolari per la struttura di una sola asta in figura; il carrello in B è inclinato di 45°. Nei conti si assumano le equivalenze: F = qL; W = qL 2 Si ripetano i calcoli nei due casi in cui in A ci sia rispettivamente un pattino e un manicotto. Infine, si assuma che il carrello in B abbia piano di scorrimento orizzontale, e si ripeta l’intero esercizio, determinando il caso in cui il calcolo delle reazi oni vincolari non è possibile. Esercizio 3 Si calcolino le reazioni vincolari per le quattro aste in figura. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 3 02/11/2012 Esercizio 4 Si calcolino le reazioni vincolari dell’asta in figura, utilizzando sia la forma standard delle equazioni cardin ali della statica, sia le due forme alternative. Esercizio 5 L’asta in figura è soggetta ad un sistema di forze noto. Per essa:  si verifichi che il sistema di forze dato è in equilibrio sull’asta;  si traccino i diagrammi di azione inter na N, T, M. Nei conti si assuma q = F/L. Traccia di soluzione: la verifica dell’equilibrio si esegue mediante le equazioni cardinali della statica. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 4 02/11/2012 Esercizio 6 Traccia di soluzione: la struttura è composta da una sola asta, vincola ta a terra da cerniera e carrello. I vincoli sono ben disposti perché la normale al piano di scorrimento del carrello in D non passa per la cerniera A. Da un punto di vista statico, questo fatto implica che il sistema di reazioni vincolari può avere risult ante e momento risultante qualunque (quindi è in grado di equilibrare un sistema di forze esterne qualunque). Dal punto di vista cinematico, la disposizione dei vincoli implica che l’asta non può avere un centro di istantanea rotazione: la condizione impos ta dal carrello non è compatibile con quella imposta dalla cerniera. Il calcolo delle reazioni vincolari viene eseguito facendo uso delle equazioni cardinali della statica. L’equilibrio alla traslazione orizzontale fornisce la reazione H A; l’equilibrio all a rotazione intorno al punto A fornisce la reazione V D e l’equilibrio alla traslazione verticale fornisce l’ultima reazione, la V A. Svolgendo i conti si ottiene: HA = -F VA = - 5/6 F VD = + 11/6 F Nella figura successiva sono riportati i diagrammi d i azione interna. Come strategia di soluzione conviene partire a tracciare i diagrammi dai tre punti in cui sono note le forze agenti (A, E e D) e poi verificare l’equilibrio delle forze e dei momenti nel punto C. q = F/b W = F b Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 5 02/11/2012 Esercizio 7 Traccia di soluzione: la struttura è un’asta vincolata con tre vincoli semplici, tre carrelli. I vincoli sono ben disposti perché le normali ai piani di scorrimento dei tre carrelli non si intersecano in un solo punto. Da un punto di vista statico, si può concludere che le reazioni vincolari costituiscono un sistema a risultante e momento risultante qualunque, quindi in grado di equilibrare qualunque q = F/b W = F b 1 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 6 02/11/2012 sistema di carichi esterni; da un punto di vista cinematico si può concludere che l’asta non possiede un centro di ist antanea rotazione. Il calcolo delle reazioni vincolari viene effettuato attraverso le equazioni cardinali della statica, dopo avere scomposto la reazione R G nelle sue due componenti orizzontali e verticali, uguali tra loro in modulo. L’equilibrio alla tra slazione in direzione x fornisce l’unica reazione orizzontale, la HG; l’equilibrio alla rotazione intorno al punto E, intersezione delle linee d’azione delle reazioni VD e R G, fornisce la reazione verticale V A. L’equilibrio alla traslazione verticale , in u ltimo, fornisce la reazione V A. Svolgendo i conti si ottiene: VA = 1/2 F VD = - 1/2 F - HG = V G = F Nella figura successiva sono riportati i diagrammi di azione interna. La strategia di soluzione è analoga a quella dell’esercizio precedente. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 7 02/11/2012 Strutture composte da due aste: l’arco a tre cerniere. Esercizio 8 Per la struttura in figura sono richieste:  l’analisi dello schema statico  la scrittura delle equazioni che consentono la determinazioni delle reazioni vincolari  il tracciamento dei dia grammi di azione interna Schema statico La struttura presenta due aste, l’asta a (CED) e l’asta b (GFCBA), collegate tra loro da una cerniera nel punto C. L’asta a è collegate a terra da una cerniera in D; pertanto il centro di istantanea rotazione a dell’asta a, per effetto del vincolo in D, è nello stesso punto D. L’asta b è collegata a terra tramite due vincoli semplici, un carrello in G e uno in A. Per effetto del carrello in G il centro di istantanea rotazione b dell’asta b appartiene alla retta v erticale passante per G; per effetto del carrello in A b appartiene alla retta a 45° perpendicolare al piano di scorrimento del carrello, passante per A. Le due rette si intersecano in un punto, che è l’effettivo b, situato sulla verticale del punto B, a distanza b da esso. Infine, la cerniera C è il centro di istantanea rotazione relativa a,b tra l’asta a e l’asta b. La struttura è pertanto equivalente ad un arco a tre cerniere che non è labile perché i tre punti a, b e a,b non sono allineati. Calcol o delle reazioni vincolari Si determinano le reazioni dei vincoli a terra dell’asta b facendo uso della soluzione standard per l’arco a tre cerniere. La reazione del vincolo in A, inclinata a 45°, viene scomposta nelle due componenti orizzontali e vertical i uguali tra loro, e indicate con il simbolo R A. Per la particolare geometria della struttura si ottengono due equazioni in una sola incognita (anziché un sistema di due equazioni in due incognite): a,b  C 0 b M ba   ) (, Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 8 02/11/2012 RA = F/2 a  D VG = -5F/4 Le due equazioni cardinali di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale di tutta la struttura forniscono le rimanenti reazioni vincolari incognite: Fx = 0 HD + RA - qb = 0 HD = F/2 Fy = 0 VD + V G – F + qb + R A = 0 VD = 3F/4 0 b R b R 2 b qb 2 b qb W A A          0 M a   0 b F b3 R 2 b qb b2 5 qb W b2 V A G            Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 9 02/11/2012 Esercizio 9 Per la struttura in figura sono richieste:  l’analisi dello schema statico  la scrittura delle equazioni che consentono la determinazioni delle reazioni vincolari  il tracc iamento dei diagrammi di azione interna Schema statico La struttura presenta due aste, l’asta a (GHFC) e l’asta b (DECBA), collegate tra loro da una cerniera nel punto C. L’asta a è collegate a terra da una cerniera in G; pertanto il centro di istantanea rotazione a dell’asta a, per effetto del vincolo in G, è nello stesso punto G. L’asta b è collegata a terra tramite due vincoli semplici, un carrello in D e uno in A. Per effetto del carrello in D il centro di istantanea rotazione b dell’asta b appartie ne alla retta orizzontale passante per D; per effetto del carrello in A b appartiene alla retta a 45° perpendicolare al piano di scorrimento del carrello, passante per A. Le due rette si intersecano in A, che è pertanto l’effettivo b. Infine, la cerniera C è il centro di istantanea rotazione relativa a,b tra l’asta a e l’asta b. La struttura è pertanto equivalente ad un arco a tre cerniere che non è labile perché i tre punti a, b e a,b non sono allineati. Calcolo delle reazioni vincolari Si determina no le reazioni dei vincoli a terra dell’asta b facendo uso della soluzione standard per l’arco a tre cerniere. La reazione del vincolo in A, inclinata a 45°, viene scomposta nelle due componenti orizzontali e verticali uguali tra loro, e indicate con il si mbolo R A. Per la particolare geometria della struttura si ottengono due equazioni in una sola incognita (anziché un sistema di due equazioni in due incognite): a,b  C HG = 3F/2 b  A 0 a M ba   ) (, 0 2 b qb W b HG      0 M b   Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 10 02/11/2012 VG = F Le due equazioni cardinali di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale di tutta la struttura forniscono le rimanenti reazioni vincolari incognite: Fx = 0 RA +H G –HD + qb = 0 HD = 7F/2 Fy = 0 VG + F - qb - RA = 0 RA =F 0 b2 F 2 b qb 2 b qb W b V b2 H G G            Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 11 02/11/2012 Esercizio 10 Si calcolino le reazioni vincolari per la struttura in figura. Nei conti si assuma q = F/L. Traccia di soluzione: la struttura in figura è un semplice arco a tre cerniere. Prima di tutto occorre sostitui re i vincoli con le componenti di reazione vincolare che sono in grado di trasmettere. Le tre equazioni cardinali della statica, unitamente a un’equazione di equilibrio alla rotazione di una qualunque delle due aste rispetto alla cerniera intermedia in C, consentono un immediato calcolo delle reazioni richieste. I conti si semplificano se l’equazione di equilibrio locale intorno alla cerniera in C e quella globale contengono le stesse reazioni vincolari incognite. Esercizio 11 La struttura in figura è v incolata come indicato, e le sue reazioni vincolari sono note. Per essa:  si scrivano per verifica le 4 equazioni che mostrano che il sistema di forze dato è in equilibrio sulla struttura stessa;  si determinino le azioni assiali nella parte reticolare (ABD) mediante il metodo dell’equilibrio ai nodi;  si traccino i diagrammi di azione interna N, T, M sulla parte BC. Nei conti si assuma q = F/L, W = FL HA = V A = H c = 2F M C = 3/2 FL (versi positivi come indicato in figura) Traccia di soluzione: l’ insieme delle tre aste AB, AD e BD costituisce un circolo chiuso isostatico, per cui può essere trattato come una sola asta. La struttura è perciò un arco a tre cerniere (A, B e C) in cui una delle due aste è costituita da un singolo corpo rigido; si può q uindi applicare la soluzione standard dell’arco a tre cerniere. Il circolo chiuso isostatico è composto da bielle caricate solo sui nodi di estremità; le aste sono rettilinee e perciò l’unica azione interna diversa da zero è l’azione assiale, che può esser e facilmente trovata facendo uso del metodo dell’equilibrio ai nodi. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 12 02/11/2012 Esercizio 12 Per le strutture in figura:  si esegua l’analisi dello schema statico;  si scriva e si risolva il sistema di due equazioni in due incognite che consente il calcolo delle reazi oni vincolari in A;  opzionale: si calcolino le restanti reazioni vincolari. Le due strutture costituiscono degli esempi di archi a tre cerniere: i due vincoli semplici sull’asta BC sono infatti equivalenti a un vincolo doppio, posizionato sull ’intersezione delle normali ai piani di scorrimento dei due carrelli. In entrambi i casi le reazioni vincolari in A (appartenente all’asta a) possono essere ottenute con la soluzione standard dell’arco a tre cerniere, cioè dal sistema tra un equazione di e quilibrio locale (equilibrio alla rotazione intorno al centro di istantanea rotazione relativa tra le due aste a e b, il punto D) e l’equazione di equilibrio alla rotazione di tutta la struttura intorno al centro di istantanea rotazione dell’asta b. Nota: la mobilità messa in luce quando vengono eliminati i vincoli a terra è la rotazione relativa tra le due aste. I vincoli a terra eliminano non solo i moti rigidi dell’intera struttura ma anche i moti relativi tra le sue parti. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 13 02/11/2012 Schema statico In entrambe le strutture:  a è nel punto A  b è l’intersezione delle normali ai piani di scorrimento dei due carrelli  a,b è nel punto D Poiché i tre punti non sono allineati, i due archi a tre cerniere non sono labili. a  a,b  a  b a  b  a,b  a Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 14 02/11/2012 Strutture composte da due aste: l’appendice isostatica. Esercizio 13 Come nel caso dell’arco a tre cerniere, questa struttura è composta da due aste e possiede 4 vincoli a terra. Tuttavia,le due aste possiedono un numero diverso di vinc oli a terra, uno solo l’asta b e 3 l’asta a. L’asta a è quindi una mensola, sicuramente isostatica non labile; su di essa poggia l’asta b, vincolata direttamente a terra con il carrello in F, e indirettamente (tramite l’asta a) attraverso il pattino in E. La reazione verticale in F è quindi determinata (senza accoppiamenti con nessuna altra reazione incognita) dalla condizione di annullamento della mobilità concessa dal pattino in E: Le reazioni vincolari in A possono essere calcol ate facendo uso delle ECS; esse valgono: VA = 2F HA = - F M A = 9/2 F*L Nella figura alla pagina seguente sono riportati i diagrammi di azione interna, che non presentano particolari difficoltà concettuali. q = F/b W = F b b a  F qL V b F F y      0 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 15 02/11/2012 Esercizio 14 La struttura presenta l o stesso schema statico di quella dell’esercizio 14. Valgono quindi le stesse considerazioni fatte precedentemente per il calcolo delle reazioni vincolari. In questo caso il carrello q = F/b W = F b b a Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 16 02/11/2012 presente nell’appendice isostatica è inclinato di 45°: occorre preliminar mente scomporre la reazione RG nelle sue due componenti uguali HG e VG, prestando attenzione che i versi delle due componenti siano tali da fornire una risultante diretta come la forza di partenza (e non ad essa ortogonale). La reazione in G è fornita dall a condizione di equilibrio: HG = V G = 5/8 F Le ECS forniscono il valore delle rimanenti reazioni vincolari (dell’incastro in B); la convenzione di segno è quella del sistema di riferimento indicato nel testo dell’esercizio: HB = - 5/8 F VB = 7/8 F M B = 1/12 Fb Nella figura che segue sono riportati i diagrammi di azione interna.     0 b M C Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 17 02/11/2012 Strutture composte da più di due aste: schemi statici misti. Esercizio 15 Si calcoli la reazione vincolare in E per la struttura in figura. La re azione in E può essere ricavata osservando che la struttura è composta da una mensola (asta AC) su cui si appoggia (è un'appendice isostatica) una trave cerniera -carrello (asta EC). L'arco a tre cerniere BFD è appendice isostatica della mensola attraverso la cerniera in B, e della trave appoggiata attraverso la cerniera in D. La reazione in E si ricava dall'equilibrio alla rotazione intorno al punto C dell'asta CE, dopo aver calcolato le forze che la cerniera in D trasmette all'asta CE. Queste forze sono se mplicemente le reazioni a terra in D dell'arco a tre cerniere, considerato a terra nei punti in cui si appoggia alla rimanente struttura. Qualunque equazione di equilibrio dell'asta CE che non tenga conto della presenza delle azioni trasmesse dalla cernie ra in D è quindi errata. Il calcolo della reazione richiede quindi l'apertura dell'anello ipostatico BFDE, preferibilmente nel punto D. Qualunque apertura dell'anello è corretta e conduce comunque al risultato giusto, anche se a prezzo di inutili complicaz ioni di calcoli. La necessarietà dell'apertura dell'anello discende dal fatto che la struttura, isostatica, presenta quattro reazioni vincolari a terra (quindi una in più di quelle determinabili con le equazioni cardinali della statica). Le equazioni che g overnano il problema sono: La reazione vincolare, verticale, è rivolta verso l'alto. HD = pL MB(BFD) = 0 VD = pL/2 VE = 0 ) (   DF Fx 0 2       L V L pL L pL D 0 EDC M C   ) ( 0 L pL pL L pL L VE        ) 2 2( 2 2 pL 2 3 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 18 02/11/2012 Esercizio 16 Analisi della struttura La struttura è composta da 3 aste ( a, b, c ), per un totale di 9 gradi di libertà (gdl). I gradi di vincolo (gdv) sono:  1 cerniera a terra in A: 2 gdv  1 carrello a terra in D: 1 gdv  1 pattino a terra in E: 2 gdv  2 cerniere interne in B e C: 4 gdv TOTALE: 9 gdv Il pareggio tra gradi di vincolo e gradi di libertà è quindi so ddisfatto. Occorre ora verificare, attraverso l’analisi cinematica, che i vincoli siano disposti in maniera da impedire effettivamente gli spostamenti della struttura. Si può osservare che l’asta c è vincolata a terra in maniera isostatica, attraverso un p attino e un carrello, e studiare le condizioni che tali vincoli impongono al centro di istantanea rotazione ( cir ) c dell’asta c:  Per effetto del carrello in D c giace sulla retta r.  Per effetto del pattino in E c è il punto all’infinito in direzione orizzontale (perpendicolare a quella di scorrimento del pattino). Le due condizioni non sono tra loro compatibili; quindi si può concludere che c non esiste. Dal punto di vista statico si può osservare che il sistema di forze fornito dalle reazioni vinco lari sull’asta C è in grado di tenere l’asta in equilibrio sotto qualunque sistema di carichi; infatti ha una risultante di modulo e direzione qualunque, applicata in un punto qualunque del piano (momento risultante qualunque). L’asta c è pertanto iso stat ica non labile; la cerniera che su di essa si imposta in C può essere considerata come se fosse a terra. L’asta c funge pertanto funge da vincolo alla struttura a+b che quindi è una appendice isostatica . L L L L A B C E D p L p p L 2 a b C E D p L c c → ∞ r → c r c   Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 19 02/11/2012 L’appendice isostatica a+b è equivalente ad un arc o a tre cerniere, vincolato a terra dalla cerniera in A e, attra - verso la cerniera C, all’asta vincolata c. Il cir a dell’asta a per effetto della cerniera in A è lo stesso punto A. Il punto B rappre senta il cir relativo a,b tra a e b. Il punto C coinci de con il cir relativo b,c tra b e c, ma per quanto detto sopra è anche il cir assoluto b dell’asta b. I tre centri di istantanea rotazione non appartengono a una stessa retta (in figura: a(A) non passa per la retta s) e quindi l’insieme delle aste a+b costituisce un arco a tre cerniere non labile. Il calcolo delle reazioni vincolari verrà effettuato tenendo conto di quanto sopra nella scrittura delle equazioni di equilibrio. Diagramma di CORPO LIBERO – reazioni vincolari Sostituendo i vincoli con le rea zioni vincolari che ciascun vincolo è in grado di trasmettere e il carico distribuito con la sua risultante applicata nel baricentro, si ottiene il corpo libero su cui è possibile imporre le condizioni di equilibrio: La struttura ha 5 vincoli a terra vT; per determinare le reazioni vincolari, oltre alle 3 equazioni cardinali della statica, servono due ulteriori equazioni di equilibrio locale. Queste equazioni esprimono l’an nullarsi del le possibilità di moto relativo tra le aste messe in luce con l’eliminazione dei vincoli; possono essere trovate ricordando: che l’appendice isostatica è un arco a tre cerniere e che le sue reazioni a terra dipendono solo dai carichi direttamente applicati ad essa. Le due equazioni di equilibrio locale (scritte nella forma standard della soluzione dell’arco a tre cerniere) consentono il calcolo di HA e VA e sono le equazioni di equilibrio alla rotazione intorno ai L L L L A B C E D p L p p L 2 a b c VD VA HA HE ME p L A B C E D p L p p L 2 a b c a,b b,c a(b) s s a(A)  Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 20 02/11/2012 due centri di istantanea rotazione relativ i a,b e b,c e cioè l’equilibrio alla rotazione dell’asta a rispetto alla b, e l’equilibrio alla rotazione del sistema a+b rispetto all’asta c: La soluzione del sistema fornisce le reazioni a terra nel punt o A: Si possono ora scrivere le equazioni cardinali della statica (ECS), in cui le uniche quantità incognite sono le reazioni dei vincoli a terra dell’asta c. Utilizzando le ECS, ottengo: quindi: Il diagramma di corpo libero della struttura, soggetta a sole forze note, è riportato nella figura sottostante. L L L L A B C E D p L p p L 2 a b c            0 0 b a M a M C B                    0 2 2 2 2 L L p L p L V L H 0 L H L V L p A A A A             L p H L p L p H V A A A 2 3 2                       c M cioè c M c M b a M M F F C C C C C y x 0 0 0 0 0                    0 2 0 E D A E A M L L p L p V V 0 L p H H                     2 0 2 2 3 2L p M L p V L p 0 L p H L p E D E               2 2 2 5 2L p M L p V L p H E D E L p2 5  2 L p 2 L p L p2 3  2 L p 2  Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 21 02/11/2012 Esercizio 17 Analisi della struttura La struttura è composta da 3 aste ( a, b, c ), per un totale di 9 gdl. I gradi di vincolo sono:  1 cerniera impropria (pattino) a terra in A: 2 gdv  1 carrello in C: 1 gdv  1 cerniera impropria (pattino) a terra in E: 2 gdv  2 cerniere interne in B e D: 4 gdv TOTALE: 9 gdv Anche in questo caso il pareggio tra gradi di vincolo e gradi di libertà è soddisfatto. Occorre ora verificare, attraverso l’analisi cinematica, che i vincoli siano disposti in maniera da impedire effettivamente gli spostamenti della struttura. L L L L L p B p L p L 2 a b c A C D E L L L L L p p L p L 2 a b c A C D E a,b a,c b → ∞ c ↓ ∞ r a(C) r s a(b) s K t a(c) t J B    Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 22 02/11/2012 L’analisi cinematica della struttura può essere ricondotta a quella di un’asta (l’asta a) vi ncolata a terra con tre vincoli semplici: il carrello in C, la biella AB e la biella DE. Occorre verificare che le condizioni imposte al cir dell’asta a dai tre vincoli non siano tra loro compatibili. La retta s, che congiunge il cir relativo ( a,b delle aste a e b con il cir assoluto b dell’asta b per effetto del pattino in A (punto all’infinito in direzione orizzontale), è il luogo dei possibili cir a(b) dell’asta a per effetto della biella b. Analogamente la retta t, che congiunge il cir relativo delle aste a e c (a,c con il cir assoluto c dell’asta c per effetto del pattino in E (punto all’infinito in direzione verticale), è il luogo dei possibili cir a(c) dell’asta a per effetto della biella c. Infine, il carrello in C impone al cir a(C) di giacere sulla retta r. Le rette r, s, e t non ammettono un’intersezione comune: si può perciò concludere che il cir a dell’asta a non esiste. In termini statici ciò significa che le linee d’azione delle reazioni vincolari trasmesse dai tre vincoli semplici non hanno un punto in comune, e che quindi il sistema costituito dalle reazioni vincolari può avere risultante e momento risultante qualunque. L’asta a è pertanto isostatica non labile, e quindi l’intera struttura non è labile. Diagramma di CORP O LIBERO – reazioni vincolari Sostituendo i vincoli con le reazioni vincolari che ciascun vincolo è in grado di trasmettere e il carico distribuito con la sua risultante applicata nel baricentro, si ha:                 La struttura ha 5 vincoli a terra vT; per determinare le reazioni vincolari, oltre alle 3 equazioni cardinali della statica, servono 2 equazioni di equilibrio locale che esprimono l’annullarsi delle possibilità di movimento relativo tra le aste introdotte con la soppressione dei vincoli a terra. Queste equazioni esprimono, nel caso in esame, le condizioni di equilibrio locale delle due bielle b e c. Le due equazioni di equilibrio locale sono quindi le equazioni di equilibrio alla rotazion e intorno ai due centri di istantanea rotazione relativi a,b e a,c rispettivamente dell’asta b e dell’asta c: Per risolvere il problema con il numero minore di passaggi, si può procedere come segue:  Ricavo H A (unica reazione oriz zontale incognita) dalla 1 a ECS (equilibrio alla traslazione in direzione orizzontale):  L L L L L p B p L p L2 a b c A C D E r s K t J VC VE MA HA ME p L          0 0 c M b M D B Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 23 02/11/2012 (1)  Nota H A la prima equazione di equilibrio locale fornisce i mmediatamente M A: (2)  La seconda equazione di equilibrio locale fornisce: (3)  La 2 a ECS (equilibrio alla traslazione in direzione verticale) fornisce:  (4)  Occorre infine scrivere la 3 a ECS, equilibrio alla rotazione dell’intera struttura rispetto ad un polo arbitrario. Assumendo come polo il punto C, la reazione V C non offre contributo e otteniamo una seconda equazione nelle due incognite M E e V E. (5) Sostituendo nella equazione (5) i valori già calcolati per le reazioni vincolari in A - equazioni (1) e (2) - e facendo sistema con l’equazione (3) si ottiene: da cui: e quindi dalla (4) Il diagramma di corpo libero della struttura, soggetta a sole forze note, è riportato nella figura sottostante. Un doveroso ringraziamento allo studente Gil Rech per avere messo a disposizione il frutto del suo lavoro: sono sue tutte le figure degli esercizi svolti 13 e 14, la prima versione d el testo e la scrittura di buona parte delle equazioni. L L L L L p B p L p L 2 a b c A C D E 0  xF 0   L p H A L p H A    0  b M B 0 2     L p M L H A A 2 2pL M A  0  c M D 0 2    L pL M L V E E 0 Fy  0    L p V V E C E C V L p V    0  C M 0 2 2 2 2 2            A A E E M L H pL L pL L pL M L V          0 2 2 2 E E E E M L V pL M L V      2 2 pL M pL V E E 2 pL VC 2 L p 2L p 2   2L p 2 L p L p Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 24 02/11/2012 Esercizio 18 (Prova in itinere del 22.11.05) Analisi dello schema statico La struttura è composta da 3 aste, a b e c. Le aste a e b formano un arco a tre cerniere non labile perché le tre cerniere non sono allineate. La cerniera in A è a, il pattino in H determina b, che è il punto all’infinito in direzione orizzontale; a,b è il perno della cerniera in B. L’asta c è un’appendice isostatica dell’arco a tre cerniere, non labile perché la normale al piano di scorrimento del carrello non passa per la cerniera in D. Calcolo delle reazioni vincolari I calcoli verranno svolti con riferimento al problema n. 1. La traccia di soluzione non varia per gli altri problemi: i diversi sistemi di carico produ cono solo dei diversi termini noti nelle equazioni. Facendo uso del postulato delle reazioni vincolari si sostituiscono i vincoli con le reazioni vincolari, e si traccia il diagramma di corpo libero. In questa fase è opportuno scomporre la reazione del car rello inclinato a 45° nelle sue due componenti orizzontale e verticale, entrambe di modulo RF. Le reazioni vincolari sono 5; la struttura priva di vincoli a terra presenta due mobilità interne, la rotazione (relativa all’insieme a+b) dell’asta c intorno al la cerniera in D e la rotazione relativa tra l’asta a e l’insieme delle aste b+c.  b  a b c  a b,c a,b Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 25 02/11/2012 Le equazioni di equilibrio che consentono il calcolo delle reazioni vincolari sono pertanto le equazioni cardinali della statica e due equazioni di equilibrio locale che e sprimono l’annullarsi dei movimenti concessi dalla soppressione dei vincoli a terra. Le reazioni vincolari infatti, rappresentando l’effetto dei vincoli soppressi, eliminano non solo i moti rigidi dell’intera struttura ma anche i movimenti relativi tra le diverse aste. Uno schema di soluzione semplice (che non è necessariamente l’unico possibile) può essere basato sulla seguente sequenza: 1. Determinazione della reazione vincolare dell’appendice isostatica in F, che dipende solo dai carichi agenti direttamente sull’asta c, attraverso l’equazione di equilibrio alla rotazione dell’asta intorno al punto D: 1. MD(c) = 0  RF b + RF b – W = 0  RF = = Nota: l’equilibrio alla rotazione dell’asta c intorno a qualunque punto diverso dal punto D, che è il punto intorno a cui effettivamente l’asta ruota, coinvolge anche le forze incognite trasmesse dalla cerniera in D. Queste forze, che sono azioni interne mutue, rappresentano le azioni che l’asta c trasmette al la b attraverso la cerniera D e offrono ovviamente un contributo nullo all’equilibrio alla rotazione intorno al punto D stesso. Se si utilizza quindi come polo per l’equazione di equilibrio un punto diverso da D senza tenerne conto, l’equazione scritta non è corretta, e non lo sarà neanche il suo risultato, ovviamente. 2. Determinazione, mediante la soluzione standard dell’arco a tre cerniere, delle reazioni vincolari in A. Equilibrio alla rotazione dell’asta a intorno alla cerniera B: 2. MB(a) = 0  HA b – F b – qb = 0  HA = Equilibrio di tutta la struttura intorno al punto b; poiché si tratta di un punto improprio, l’equazione di equilibrio alla rotazione è in realtà l’equazione di equilibrio alla traslazione in direzione verticale dell’intera struttura: 3. Fy = 0  VA – RF - qb = 0  VA = Nota: sulla scelta del polo per l’equilibrio alla rotazione della sola asta a valgono le stesse considerazioni fatte per il calcolo de lla reazione R F. Le due equazioni ora scritte potevano essere derivate anche senza conoscere la soluzione standard dell’arco a tre cerniere. La prima esprime l’annullarsi della seconda possibilità di movimento interna alla struttura, la rotazione b W 2 2 F 2 b qb 2 3 2 F Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 26 02/11/2012 relativa tra l’asta a e l’insieme delle aste b e c, concessa dalla cerniera B; richiede meno conti ed è quindi più conveniente scrivere questa equazione nel modo ora visto, piuttosto che come equilibrio alla rotazione dell’insieme b+c. La seconda equazione, una del le equazione cardinali della statica, consente la determinazione immediata della reazione V A una volta che sia nota la reazione R F: il pattino in H infatti non è in grado di trasmettere forze verticali. 3. Scrittura delle restanti equazioni cardinali della statica per determinare le reazioni vincolari in H. Equilibrio alla traslazione orizzontale dell’intera struttura: 4. Fx = 0  HA + R F  HH + F  qb = 0  HH = 2F Equilibrio alla rotazione dell’intera struttura intorno a un polo arbitrario: poiché si è già scritto l’equilibrio alla rotazione dell’asta a intorno al punto B, conviene assumere questo punto come polo, in modo che il contributo dell’asta a sia nullo: 5. MB = 0  MB (b+c) = 0   M H + H H b  qb b – W + RF b + RF 2 b = 0 M H = Fb Nota: l’equilibrio alla rotazione della sola asta b intorno al punto B può essere scritto solo a condizione che si determinino le azioni interne trasmesse dall’asta c attraverso la cerniera in D. Per gli stessi motivi visti al pu nto 1 l’equazione M B (b)= 0 è errata, e conduce quindi a risultati errati, se le forze trasmesse dall’asta c non vengono conteggiate. La scrittura dell’equazione deve infatti riflettere il significato fisico dell’equazione stessa, che è quello di annullar e la rotazione relativa tra l’asta a e l’insieme b+c . Come commento generale, si può osservare che il sistema di equazioni risulta completamente disaccoppiato: abbiamo scritto cinque equazioni in una sola incognita. Questa caratteristica del sistema di eq uazioni tuttavia si perde se (dimenticando le proprietà delle appendici isostatiche) l’annullarsi della rotazione relativa in D viene fatto sulle asta a+b anziché sulla c come visto qui. Calcolo delle azioni interne Come primo passo occorre ridisegnare l a struttura soggetta a sole forze note. Possiamo osservare che la struttura presenta quattro estremi liberi, i punti A, C, F e H, in cui sono note le forze agenti e che possono essere assunti come punti di partenza per il calcolo delle azioni interne. Le f orze agenti in questi punti rappresenteranno le condizioni iniziali del processo di integrazione che conduce alla determinazione delle azioni interne. Una sequenza semplice per il calcolo delle azioni interne può essere la seguente: 1. calcolo delle azioni in terne nell’asta AB , punto di partenza A; 2. calcolo delle azioni interne nell’asta BC , punto di partenza C; si può assumere come punto di partenza il punto B solo se si conoscono le forze trasmesse dalla parte inferiore dell’asta a e dalle aste b e c; 3. determi nazione delle azioni interne nel punto B, lato asta BD , come risultante delle forze trasmesse dall’asta a. Possiamo osservare che la presenza della cerniera impone la condizione di momento nullo, e che le forze trasmesse dall’asta a hanno una risultante or izzontale (verso destra) pari a 3/2 F e una risultante verticale (verso l’alto) pari a 1/2 F ; 4. calcolo delle azioni interne nell’asta BD , punto di partenza B; 2 3 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 27 02/11/2012 5. arrivati in D, la linea d’asse della struttura si biforca, in maniera analoga a quello che succede nel punto B; la via più semplice è ripartire dagli estremi liberi in F (calcolando le azioni interne nei tratti FE e ED ) e in H (calcolando le azioni interne nei tratti HG e GD ) A tracciamento avvenuto dei diagrammi, conviene sempre verificare che siano verificate le condi - zioni imposte dall’equilibrio:  le azioni interne negli estremi liberi devono assumere il valore delle forze applicate; ad esempio nel caso in esame nel punto C azione assiale e momento devono essere nulli e il taglio è pari ad F; nel pu nto A l’azione assiale è pari a F/2, il taglio a 3F/2 e il momento nullo;  i momenti nelle cerniere devono essere pari a zero;  la somma dei momenti nei nodi deve essere zero;  se i vincoli a terra sono inclinati rispetto alla linea d’asse dell’asta ciascuna componente di reazione vincolare offrirà contributo sia all’azione assiale sia al taglio;  nei punti come B e D, in cui convergono tre aste separate, ma una di esse arriva al nodo con una cerniera, non vi è discontinuità nel diagramma del momento sulle le d ue aste che non sono collegate con la cerniera, ma solo una variazione di pendenza; è invece presente una discontinuità nel diagramma del taglio e dell’azione assiale.  Vale infine la regola generale che le azioni interne in un punto devono essere indipende nti dal verso di percorrenza dell’asta; quando si è in dubbio su qualche valore si può sempre ricorrere al metodo delle sezioni, dividere in due la struttura con una sezione opportuna e trovare le azioni interne con le equazioni cardinali della statica. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 28 02/11/2012 Esercizio 19 Per le strutture che seguono, determinare lo schema statico e la sequenza di equazioni che conduce al calcolo delle reazioni vincolari. La struttura è equivalente a un arco a tre cerniere, formato dalle aste b e c, cui si appoggia l’appendice isostatica a, asta cerniera e carrello in cui il carrello è a terra e la cerniera si appoggia sull’arco a tre cerniere. L’arco a tre cerniere è non labile (le tre cerniere non sono allineate) cosi come l’appendice isostati ca (la normale al piano di scorrimento del carrello in A non passa per la cerniera in C). Il calcolo delle reazioni vincolari può essere effettuato in maniera semplice se si tiene conto dello schema statico della struttura. Prima di tutto si calcola la rea zione dell’appendice isostatica in A, determinata dall’equilibrio alla rotazione dell’asta a intorno l centro di istantanea rotazione relativa a,b, che è il punto C. Si calcolano poi le reazioni in G, con la soluzione standard dell’arco a tre cerniere: l’ equazione di equilibrio locale è un’equazione di equilibrio alla traslazione verticale dell’asta c, per la presenza del pattino in C; l’equilibrio alla rotazione di tutta la struttura intorno al punto E coinvolge anche l’appendice isostatica, la cui reazio ne vincolare è però nota. In ultimo si calcolano le reazioni in E, utilizzando le restanti ECS di equilibrio alla traslazione orizzontale e verticale. a b c Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 29 02/11/2012 Le due strutture che seguono hanno lo stesso schema statico: l’asta a, isostatica – schema cerni era carrello – porta come appendice isostatica la b, che a sua volta porta la c. Sia l’asta b che la c sono aste aventi come schema statico quello di trave cerniera -carrello Errore. Calcolo delle reazioni vincolari: ricord ando che le reazioni vincolari delle appendice isostatiche dipendono solo dai carichi direttamente agenti su di esse, conviene partire dall’appendice isostatica più “esterna” – la c; poi determinare la reazione del carrello di b e infine, con le ECS, le reazioni dell’asta a. Le equazioni di equilibrio locali che determinano le reazioni vincolari sulle appendici isostatiche eliminano le mobilità interne messe in luce dall’eliminazione dei vincoli a terra. a b c a b c Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 30 02/11/2012 Nelle due strutture che seguono sulla stessa geometri a sono stati ricavati due schemi strutturali differenti. La struttura in alto ha 5 vincoli a terra e 2 mobilità interne, fornite dalle cerniere in C e D: è un arco a tre cerniere che porta un’appendice isostatica, l’asta c. La struttura in basso ha 4 vinco li a terra e una sola mobilità interna, fornita dalla cerniera in C: è un semplice arco a tre cerniere. b a c a b Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas La soluzione delle strutture isostatiche 31 02/11/2012 Esercizio 20 Per le stutture in figura:  Si individui lo schema statico.  Si determinin o le reazioni vincolari a terra, mostrando come l’utilizzo dello schema statico influenzi la scrittura del sistema risolvente, e specificando chiaramente il significato di ciascuna equazione. Si assumano le equivalenze: q= F/L ; W = FL ; nel secondo eser cizio L = b.