Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

3 - Azioni interne

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Politecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Corso di Scienza delle Costruzioni Docente: Prof. Maria Gabriella Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio per l’elemento di trave Esercizi Introduzione Gli esercizi che seguono sono una raccolta di problemi, dati da svolgere a casa o facenti parte di prove in itinere, per il Corso di Scienza delle Costruzioni per allievi Ingegneri Chimici. Per affrontare i problemi qui presentati occorre la conoscenza preliminare del le premesse teoriche che stanno alla base del tracciamento dei diagrammi di azione interna. Lo studente può fare riferimento al capitolo 2 del testo “ Lezioni di Scienza delle Costruzioni , a cura de lla docente e al capitolo 7 del testo “ Vector Mechanics for Engineers ”, autori Beer, Johnston, Mazurek , ed. McGraw Hill . Si ringrazia l’ing. Ivano Telaide, già studente della LS in Ingegneria Chimica presso il Politecnico di Milano, per il contributo editoriale senza cui questa raccolta non sarebbe stata disponib ile. Milano, 19.2.2006 Sommario Esercizio 1 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 1 Esercizio 2 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 2 Eserci zio 3 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 3 Esercizio 4 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 4 Esercizio 5 ................................ ................................ ................................ ................................ ........ 7 Es. 5(a) ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 7 Es. 5(b) ................................ ................................ ................................ ................................ ......... 8 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 1 02/11/2012 Esercizio 1 Facendo uso delle equazioni indefinite dell’elemento di trave si traccino i diagrammi di azione interna per le strutture in figura. Osservazione: si t ratta di semplici strutture di una sola asta, in cui è molto facile calcolare le reazioni vincolari. Lo scopo dell’esercizio è di far vedere come, a parità di carico e reazioni vincolari, la distribuzione delle azioni interne possa variare in funzione dell a geometria dell’asse dell’asta. Si presti particolare attenzione all’equilibrio dei nodi in cui la linea d’asse dell’asta cambia direzione. L’esercizio con il carico triangolare è invece un’utile riflessione sul traccia - mento dei diagrammi di momento flet tente e taglio in presenza di carichi distribuiti con legge lineare. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 2 Esercizio 2 L’asta in figura è soggetta a una distribuzione di carico variabile con legge lineare, in cui la costante p0 rappresenta il massimo valore di p(x) e a una forza di valo re p0L.  Si traccino i diagrammi del taglio e del momento flettente (senza calcolare le reazioni vinco lari).  Si determini la risultante (in componenti cartesiane ortogonali) ed il suo punto/linea di applicazione per il sistema di forze costituito dal cari co esterno. Diagrammi di azione interna Nell’estremo libero C sono nulli taglio e momento (non ci sono forze né coppie applicate). Sul tratto CB il carico ha un andamento lineare, quindi il taglio è parabolico e il momento cubico. Il valore max del tagli o è dato dalla risultante del carico (pL/2) e quello del momento dal prodotto della risultante per la distanza del suo punto di applicazione dall’estremo B (L/3). Il taglio ha una tangente verticale in C, dove il valore del carico distribuito è zero; nello stesso punto anche il momento ha tangente verticale perché il taglio è nullo. Nel tratto tra B e il punto di applicazione della forza concentrata il taglio è nullo (non ci sono forze verticali che precedono il tratto) e di conseguenza il momento è costant e. Nell’ultimo tratto il taglio è costante (pari al valore della forza concentrata) e il momento varia con legge lineare. La risultante del carico esterno ha componente orizzontale pari a pL/2, componente verticale pari a pL, ed è applicata nel punto di in tersezione tra la linea d’azione della forza pL e quella della risultante del carico distribuito. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 3 Esercizio 3 L’asta in figura è soggetta a una distribuzione di carico variabile con legge lineare, in cui la costante p0 rappresenta il massimo valore di p(x) , e a una coppia di valore p0L2.  Si traccino i diagrammi del taglio e del momento flettente (senza calcolare le reazioni vincolari ).  Si determini la risultante (in componenti cartesiane ortogonali) ed il suo punto/linea di applicazione per il sist ema di forze costituito dal carico esterno. Diagrammi di azione interna Nell’estremo libero C sono nulli taglio e momento (non ci sono forze né coppie applicate). Sul tratto CB il carico ha un andamento lineare, quindi il taglio è parabolico e il momento cubico. Il valore ma ssimo del taglio è dato dalla risultante del carico (pL/2) e quello del momento dal prodotto della risultante per la distanza del suo punto di applicazione dall’estremo B (2L/3). Il taglio ha una tangente verticale in B, dove il valore del carico distribuito è zero; il momento ha tangente verticale in C, dove il taglio è nullo. Nel tratto tra B e A il taglio è nullo (non ci sono forze verticali); il momento è costante a tratti, perché la coppia concentrata induce nel diagramma una discon tinuità. La risultante del carico esterno ha componente orizzontale pari a pL/2; la presenza della coppia sposta la sua linea d’azione da quella della risultante del carico distribuito. La linea d’azione effettiva della risultante è quella retta orizzontal e rispetto a cui è nullo il momento totale del carico distribuito e della coppia. Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 4 Esercizio 4 Le due mensole in figura (a) e (b), entrambe di lunghezza pari a L, sono soggette rispettivamente ad un carico di equazione: (a): (b): La costante p0 rappresenta il valore di p(x) nel punto: (a) di ascissa x=0; (b) di ascissa x=L .  Si determinino le reazioni vincolari dell'incastro ed il baricentro del carico.  Facendo uso delle equazioni indefinite di equi librio dell'elemento di trave, si ricavino T(x) e M(x) e si traccino i relativi diagrammi. Soluzioni In entrambe i problemi la variabile di integrazione  è compresa tra 0 e x. Le reazioni dell’incastro sono la forza verticale R dire tta verso l’alto (uguale e contraria alla risultante del carico) e il momento d’incastro M, che ruota in senso antiorario (uguale e contrario al momento risultante del carico). L’equazione che fornisce il momento flettente è scritta con la convenzione con cui si sono ricavate le equazioni indefinite di equilibrio, positivi i momenti che tendono le fibre inferiori. L’andamento dei diagrammi è qualitativo. Esercizio (a) (distanza de l baricentro dall’incastro) (a) (b)         2 2 0 L x 1 p x p ) ( 2 2 0 ) ( L x p x p  L p L L L p dx L x p R L 0 2 3 0 0 2 2 0 3 2 3 1                     4 4 2 1 2 0 2 4 2 0 0 2 2 0 L p L L L p xdx L x p M L                     L L p L p R M b 8 3 2 3 4 0 2 0                      0 3 2 0 3 3 2 1 3 2 0 2 3 0 0 0 0 2 2 0 0 )L(T L p ) (T L x p x p L p d L p L p )x(T x   Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 5 Diagrammi Esercizio ( b) (distanza del baricentro dall’incastro) Nota: il momento d’incastro è lo stesso come nel caso (a); la risultante è però più piccola , e il baricentro è spostato verso destra, come si vede anche dalla figura.                  0 4 0 3 3 2 12 2 3 2 4 3 3 2 4 2 0 2 3 0 0 0 2 4 0 2 0 0 2 0 0 2 3 0 0 0 0 2 0 )L(T L p ) (T L x p x p L p L x p x p Lx p L p d L p d p Lx p L p )x( M L x     L p L L p dx L x p R L 0 2 3 0 0 2 2 0 3 1 3     4 2 0 0 2 2 0 L p xdx L x p M L    L R M b 4 3             0 ) ( 3 1 )0( 3 3 3 ) ( 0 2 3 0 0 0 2 2 0 0 L T L p T L x p L p d L p L p x T x               0 ) ( 4 )0( 12 3 4 3 3 4 ) ( 2 0 2 3 0 0 2 0 0 2 3 0 0 2 0 L T L p T L x p xL p L p d L p xL p L p x M x   Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 6 Diagrammi x4 Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 7 Esercizio 5 Le due mensole in figura (a) e (b), entra mbe di lunghezza pari a L, sono soggette rispettivamente ad un carico di equazione: (a): (b): La costante p0 rappresenta il valore di p(x) nel punto di ascissa x=0 .  Facendo uso delle equazioni indefinite di equilibrio dell'elemento di trave, si ricavino T(x) e M(x) e si traccino i relativi diagrammi. A tal fine si ricorda che è:  Utilizzando le informazioni contenute nei diagrammi si determinino le reaz ioni vincolari dell'incastro ed il baricentro del carico rappresentato dalla semi -onda di cosinusoide (es. (a) : tratto tra 0 ed L/2 ; es. (b) : lunghezza intera dell'asta) . In entrambi i casi:  Per x=0 sono nulli taglio e momento (non ci sono né forze né cop pie applicate sull'estremo libero). Le costanti di integrazione sono quindi nulle.  Le equazioni indefinite di equilibrio sono scritte con il segno opposto a quello presentato nella dispensa, a causa del diverso orientamento del sistema di riferimento. Es. 5(a) T(L)=0 M(L)=  Reazioni all'incastro: V=0; M= Calcolo del baricentro - in x= L/2 si ha T= ; M= (a) (b) L x p x p  cos ) ( 0  L x p x p 2 cos ) ( 0      C x sinxdx cos    C sinx xdx cos      x o x d L p d p x T 0 0 cos ) ( ) (     L x sinL p L sin L p o x o          0       x o x d L sin L p d) (T )x( M 0 0                   L x cos L p L cos L p o x o     1 2 2 0 2 2 2 2 2  L po 2 2 2  L po  L po 2 2  L po Scienza delle Costruzioni – M. G. Mulas Le equazioni indefinite di equilibrio 8 Perciò, ricordando che il taglio è pari alla risultante del carico che precede la sezione in esame, si ha: M=T b b = M/T = L/   0.32L Es. 5(b) T(L)= M(L)=  Reazioni all'incastro: V= ; M= Calcolo del baricentro - in x= L si ha (R indica la risultante del carico distribuit o): V=R= ; M= Perciò: M=T b b = M/T = 2L/   0.64L      x o x d L p d p x T 0 0 2 cos ) ( ) (     L x sinL p L sin L p o x o 2 2 2 2 0           L po 2       x o x d L sin L p d T x M 0 0 2 2 ) ( ) (                  L x cos L p L cos L p o x o 2 1 4 2 4 2 2 0 2 2     2 2 4  L po  L po 2 2 2 4  L po  L po 2 2 2 4  L po