Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

7 - De Saint Venant

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzioni Dispense del corso Prof. Maria Gabriella Mulas Dipartimento di Ingegneria Strutturale Capitolo 7 Il problema di De St. Venant Il calcolo degli sforzi nelle aste Indice 1. Il calcolo degli sforzi nelle aste........................................................................\ .............................................................. 1 1.1. Posizione del problema........................................................................\ .................................................................... 1 1.2. Il solido di De Saint Venant........................................................................\ ............................................................. 2 1.3. Il postulato di De St. Venant........................................................................\ ............................................................ 7 1.4. Formulazione matematica del problema di De St. Venant........................................................................\ ............... 8 2. I casi dell’azione assiale e della flessione........................................................................\ ............................................. 10 2.1. L’azione assiale........................................................................\ ............................................................................. 10 2.2. La flessione semplice........................................................................\ ..................................................................... 12 2.2.1. Flessione retta........................................................................\ ......................................................................... 12 2.2.2. La flessione deviata........................................................................\ ................................................................ 16 2.3. La deformazione del prisma dovuta alla flessione.........................................................................\ ........................ 19 3. Procedure per il calcolo degli sforzi nella flessione semplice........................................................................\ .............. 20 3.1. Convenzioni di segno nel calcolo degli sforzi........................................................................\ ............................... 20 3.2. Azione Assiale Eccentrica agente in un piano di simmetria........................................................................\ .......... 21 3.3. Calcolo degli sforzi dovuti alla flessione deviata (non simmetrica)...................................................................... 23 3.3.1. Posizione del vettore momento definita nel riferimento principale................................................................ 23 3.3.2. Posizione del vettore momento definita in un riferimento non principale...................................................... 25 3.4. Caso generale dell’azione assiale eccentrica........................................................................\ ................................. 26 4. Torsione........................................................................\ ................................................................................................ 27 4.1. Torsione in aste di sezione circolare........................................................................\ .............................................. 27 4.2. Torsione su travi tubolari........................................................................\ ............................................................... 31 4.3. Torsione su travi tubolari di parete sottile........................................................................\ ..................................... 31 4.4. Torsione su travi di sezione rettangolare sottile........................................................................\ ............................. 33 5. Flessione con taglio costante........................................................................\ ................................................................ 36 5.1. Taglio (trattazione approssimata) ........................................................................\ .................................................. 37 5.2. La derivazione delle tensioni tangenziali τ xz........................................................................\ .................................. 41 Referenze [1] F.P. Beer, E. R. Johnston, J.T. DeWolf, Meccanica dei solidi. Elementi di Scienza delle Costruzioni. Terza Edizione, McGraw Hill 2006. [2] FP Beer, ER Johnston, JT De Wolf, DF Mazurek, Meccanica dei solidi. Elementi di Scienza delle Costruzioni. Quarta Edizione, McGraw Hill 2010. [3] Dispense del corso, cap. 4, 5 e 6. Questa dispensa costituisce un completamento degli argomenti trattati nel libro di testo della parte B del corso. In particolare, presenta alcuni degli aspetti teorici che sono alla base del calcolo degli sforzi nelle aste per effetto dell’azione assiale, della flessione, della torsione e del taglio. Il libro di testo è l’indispensabile riferimento per alcune derivazioni teoriche (non ripetute in questa dispensa) e per tutta la parte applicativa. Le dispense costituiscono il riferimento necessario all’inquadramento dello stato di sforzo, dello stato di deformazione e del legame elastico. Nella pagina delle dispense del sito del corso on-line sono disponibili delle raccolte di esercizi svolti: gli esercizi proposti sono temi d’esame di anni passati. Due esercizi svolti sul taglio sono disponibili nella pagina “Esercizi svolti”. Riferimenti sul libro di testo [1]: • Il Postulato di De St. Venant: par. 2.16 • L’azione assiale: par. 2.8, 2.9, 2.10. Problemi consigliati: 2.7, 8, 12, 16, 18, 31, 36. • La flessione: par. 4.1-4.4; 4.8-4.10; 5.4. Problemi consigliati: 4.4, 10, 12, 51, 57; 74, 83, 87. • La torsione: 3.1-3.5 inclusi es. svolti 3.3, 3.4; (3.7). Problemi consigliati: 3.4, 7, 14, 24, 26, 39, (77, 79, 84, 87). • Il taglio: 6.1-6.7. Problemi consigliati: 6.5, 6, 9, 17, 24, (55). Riferimenti sul libro di testo [2]: • Il Postulato di De St. Venant: par. 2.17 • L’azione assiale: par. 2.8, 2.9, 2.10. Problemi consigliati: 2.8, 9, 13, 17, 19, 35, 40. • La flessione: par. 4.1-4.4; 4.12-4.14; 5.4. Problemi consigliati: 4.6, 12, 14; 73, 79, 97, 106, 110. • La torsione: 3.1-3.5 inclusi es. svolti 3.3, 3.4; (3.7). Problemi consigliati: 3.5, 8, 16, 27, 29, 42, (102, 104, 110, 113). • Il taglio: 6.1-6.7. Problemi consigliati: 6.7, 8, 11, 20, 25, (73). Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant 1. Il calcolo degli sforzi nelle aste 1.1. Posizione del problema L’obiettivo del corso di Scienza delle Costruzioni è quello di fornire le nozioni di base per analizzare e progettare elementi, di macchine e strutture portanti, che da un punto di vista geometrico abbiano una dimensione – la lunghezza – nettamente prevalente sulle altre due (le dimensioni della sezione trasversale). Nella parte del corso dedicata all’analisi delle strutture piane questi elementi sono stati quindi analizzati facendo uso di un modello mono-dimensionale, il modello di asta. L’elemento strutturale è schematizzato come una linea, priva di spessore, che coincide con l’asse geometrico dell’asta, luogo dei baricentri delle sezioni trasversali dell’asta. L’osservazione sperimentale del fatto che i materiali sollecitati all’interno del campo elastico presentano delle deformazioni e degli spostamenti molto piccoli se confrontati con le dimensioni totali del corpo stesso è alla base dell’ipotesi di piccoli spostamenti che consente di considerare l’asta come un corpo rigido, in cui le distanza mutue tra i punti restano invariate sotto l’azione dei carichi applicati. L’analisi delle strutture piane composte da elementi mono-dimensionali è stata inoltre limitata al caso delle strutture isostatiche, cioè a quella classe di strutture in cui il calcolo delle reazioni vincolari può essere effettuato in base a sole condizioni di equilibrio. In particolare, date: • La geometria della struttura, intesa come configurazione delle aste e vincoli, interni ed esterni, ad essa applicati; • L’entità, intesa come direzione, verso, modulo e punto di applicazione, delle forze esterne agenti; abbiamo imparato a determinare, in base a considerazioni di equilibrio: • Le reazioni dei vincoli a terra; • Le componenti di azione interna (azione assiale, taglio e momento flettente) presenti in ciascun punto della struttura schematizzata con la linea d’asse. Le azioni interne, definite come le forze trasmesse dalla continuità, vengono determinate in base a considerazione di equilibrio tramite un’operazione di sezione che divide in due parti la struttura. Le azioni interne rappresentano la risultante e il momento risultante del sistema di forze che precede il punto in cui si è sezionata la struttura; coerentemente con il modello mono-dimensionale di cui si fa uso, la risultante è da intendersi applicata nel baricentro della sezione dell’asta, e il momento risultante è il momento delle forze esterne rispetto allo stesso punto. Le azioni interne sono però anche la risultante e il momento risultante della distribuzione di forze elementari agenti sull’intera 1 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant area della sezione stessa. Queste forze elementari, più correttamente indicate con il nome di sforzi, sono ripartite sulla sezione in maniera a priori incognita; esse rappresentano la sollecitazione agente sul materiale di cui è composta l’asta, e devono quindi essere determinate se occorre eseguire un processo di progetto e/o di verifica della struttura in esame. Lo studio della ripartizione delle azioni interne ha quindi richiesto, in via preliminare, che venissero definite in maniera matematica rigorosa le quantità puntuali cui abbiamo dato il nome di sforzi e deformazioni. Lo studio di queste due grandezze è stato condotto in maniera separata: lo stato di sforzo è stato determinato in base a sole considerazioni di natura statica, cosi come lo stato di deformazione è stato analizzato su base puramente geometrica. In entrambi i casi si è visto che la definizione compiuta della quantità analizzata, sia essa lo stato di sforzo o quello di deformazione, richiede la conoscenza di sei funzioni distinte, che sono legate tra loro da tre equazioni differenziali alle derivate parziali: le equazioni indefinite di equilibrio per gli sforzi, le equazioni di congruenza per le deformazioni. Si è infine visto che per arrivare ad un bilancio formale tra le equazioni e le funzioni incognite è necessario mettere in relazione tra loro gli sforzi agenti con le deformazioni ad essi conseguenti; dopo avere illustrato le principali caratteristiche del comportamento meccanico dei materiali, si è studiato in dettaglio il caso dei materiali isotropi nel campo elastico-lineare. Abbiamo infine visto la formulazione del problema elastico, ossia del problema della determinazione degli sforzi p ij e delle deformazioni ε ij in un corpo continuo, deformabile, in equilibrio, per cui siano assegnate le forze di volume e sul cui contorno siano note o le forze di superficie, o gli spostamenti, o le forze in certe porzioni del contorno e gli spostamenti in altre, differenti porzioni. Si può dimostrare che sotto condizioni molto generali (materiale elastico lineare; piccoli spostamenti) la soluzione esiste ed è unica; tuttavia la formulazione del problema è tale da presentare complicazioni matematiche elevatissime. Il problema può essere risolto per via più semplice per una classe ridotta di elementi strutturali, quella delle aste elastiche. La soluzione del cosiddetto problema di De St. Venant consente la determinazione dello stato di sforzo nelle aste soggette ad azioni interne note. 1.2. Il solido di De Saint Venant Il nostro obiettivo è quindi la determinazione dello stato di sforzo e di deformazione nelle aste per effetto delle azioni interne N, T, M viste finora. Ad esse occorre aggiungere un’ulteriore possibile sollecitazione, costituita dal momento torcente M T. Questa sollecitazione non può esistere in strutture piane caricate nel loro piano, ma è d i primaria importanza in moltissimi comp onenti meccanici, quali ad esempio gli alberi di trasmissione dei motori. La determinazione dello stato di sforzo verrà condotta separatamente per ciascuna componente di azione interna presa in 2 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant considerazione; casi di più sollecitazioni agenti contemporaneamente potranno essere affrontati in base al principio di sovrapposizione degli effetti. Il problema viene affrontato attraverso l’analisi di un solido, detto solido di De St. Venant e illustrato in Fig. 1.1, che rappresenta un modello matematico di un’asta: esso è costituito da un prisma a sezione costante, asse rettilineo, la cui lunghezza L è molto maggiore delle massime dimensioni trasversali. Il solido è soggetto all’azione di carichi esterni solo sulle basi di estremità, e non è soggetto né a forze di volume, quali la forza peso, né a forze di superficie sulle superfici laterali. Il materiale di cui è composto il solido è omogeneo, a comportamento elastico lineare, segue la legge di Hooke valida per i materiali isotropi. (a) (b) L x y z G y Fig. 1.1- Il solido di De Saint Venant: (a) vista longitudinale; (b) sezione trasversale. In quanto segue, la denominazione degli sforzi e la scelta del sistema di riferimento adottato sono quelli del testo Johnston & Beer. Il solido è riferito ad una terna cartesiana x, y, z; l’asse x coincide con l’asse geometrico del solido e gli assi y, z sono gli assi principali d’inerzia della sezione retta. La sezione retta dell’asta ha quindi come normale l’asse x; il vettore sforzo che agisce sul generico punto della sezione trasversale ha una componente normale al piano della sezione stessa, detta σx, e due componenti tangenziali, τxy e τxz, dirette rispettivamente come gli assi y e z, come indicato nella Fig. 1.2 (tratta dal Johnston & Beer). Fig. 1.2- Gli sforzi agenti sulla sezione trasversale del solido di De Saint Venant. Il sistema di forze di superficie agente sulle basi del prisma è caratterizzato compiutamente in termini di risultante e momento risultante. Le sue diverse componenti verranno analizzate 3 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant separatamente, dando luogo a quattro diversi casi di carico, come illustrato in Fig. 1.3. Nel primo, il caso dell’azione assiale illustrato in Fig. 1.3a, la risultante del sistema di forze di superficie su ciascuna base è pari a una forza diretta come l’asse dell’asta e applicata sul baricentro delle sezioni di estremità; le forze sulle due basi sono uguali e contrarie. Nel secondo, il caso del momento flettente illustrato in Fig. 1.3b, la risultante delle forze è nulla e il solido è caricato solo da due coppie uguali e contrarie; il relativo vettore momento giace sul piano delle sezioni di estremità e ha su questo direzione e verso qualunque. In questo caso non è necessario specificare un punto di applicazione, in quanto tutte le coppie di uguale momento giacenti nello stesso piano sono tra loro equivalenti; per comodità si può comunque dire che il vettore momento è spiccato dal baricentro delle sezioni di estremità. Anche nel terzo caso, quello del momento torcente illustrato in Fig. 1.3c, la risultante del sistema di forze è nulla e il solido è caricato solo da due coppie uguali e contrarie, agenti sulle basi di estremità e il cui vettore momento è diretto come l’asse dell’asta. Senza perdere di generalità, analogamente al caso del momento flettente, le due coppie possono essere pensate spiccate a partire dal baricentro. (a) (b) (c) (d) N N M M M T M T T T M=TL Fig. 1.3 - I casi di De Saint Venant: (a) azione a ssiale; (b) momento flettente; (c) torsione; (d) taglio. L’ultimo caso è quello del taglio , illustrato in Fig. 1.3d, in cui la risultante del sistema di forze sulle basi, diversa da zero, è perpendicolare all’asse dell’asta, ma ha direzione arbitraria sul piano della sezione. In questo caso l’equilibrio del solido non può essere garantito se, accanto alle due forze di taglio uguali e contrarie applicate alle due sezioni di estremità, non si considera anche un momento in grado di riequilibrare la coppia generata dalle due forze di taglio poste a distanza L. Pertanto, accanto alle forze di taglio, si applica su una delle due basi un momento flettente di entità TL , che 4 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant agisce ovviamente nello stesso piano delle forze di taglio. In maniera del tutto analoga al caso dell’azione assiale, anche per le forze di taglio esiste il problema del punto di applicazione della forza esterna. Questa viene considerata applicata in un punto particolare, detto centro di taglio , in modo tale che l’applicazione delle forze di taglio produca solo un’inflessione del solido, senza effetti torcenti aggiuntivi. L’effettiva distribuzione delle forze di superficie agenti sulle basi non viene tuttavia specificata; i diversi casi di carico sono distinti solo in base alla risultante e al momento risultante del sistema di forze agente sulle basi. Il problema dell’equilibrio elastico di questo solido può essere assegnato in forma diretta : note le forze sulle basi (ed eventuali vincoli) determinare le componenti di tensione, deformazione e spostamento in ogni punto del cilindro. Tale formulazione, che sarebbe quella più ragionevole, presenta però difficoltà matematiche insormontabili. Ad essa può essere sostituita la formulazione inversa : si assegnano a priori le componenti di spostamento in tutti i punti del corpo e si deducono le forze esterne di contorno (in generale anche quelle di volume) compatibili con tale determinazione. Questa forma del problema è accessibile in modo immediato, ma è poco utile sul piano applicativo perché la completa determinazione della soluzione le leva ogni generalità. Tra questi due modi di procedere è possibile una via di mezzo: ci si può avvalere di qualche ipotesi a priori sulla soluzione, senza però determinarla completamente, ed in modo analogo, lasciare parzialmente indeterminata la distribuzione delle forze superficiali, assegnandone a priori alcune proprietà, in modo da garantire alle soluzioni che si otterranno una certa generalità. Tale procedimento prende il nome di semi-inverso . Nella formulazione proposta da De St. Venant sono assegnate a priori: Per le sollecitazioni esterne : Per la soluzione : • F = 0 forze di volume nulle • f = 0 sulla superficie laterale • Caratteristiche di sollecitazione sulle basi (in termini di risultante e momento risultante). • σy = σz = τyz = 0 in tutti i punti del prisma. Tale posizione equivale all’ipotesi che tra le fibre longitudinali del prisma si esercitino azioni mutue solo nella direzione delle fibre stesse. Sono affidate alla effettiva soluzione del problema: Per le sollecitazioni esterne : Per la soluzione : • La distribuzione delle forze sulle basi. • τxy ; τxz ; σx • le componenti di spostamento. Si noti che l’ipotesi τyz = 0 , nel caso di materiale elastico isotropo considerato, equivale a dire γyz=0 e quindi che le sezioni trasversali del prisma restano indistorte nel loro piano. 5 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant I risultati che si ottengono con il procedimento semi-inverso riescono ad inquadrare in una teoria unitaria i diversi casi di sollecitazione che agiscono sulle travi: azione assiale, flessione, taglio, torsione. Per questi casi di carico restano quindi da determinare le sole componenti dello stato di sforzo σx, τxy e τxz agenti sui piani delle sezioni rette del prisma che hanno come normale l’asse x. La distribuzione degli sforzi su ciascuna sezione deve essere in grado di equilibrare le componenti di azione interna; perché le condizioni di equilibrio siano soddisfatte, occorre che la risultante e il momento risultante del sistema di sforzi coincidano con le quantità analoghe del sistema di forze agente sulla stessa sezione. Ricordando che la forza di taglio T sul piano della sezione ha due componenti, Ty e Tz, e che, in maniera analoga, anche il momento flettente ha due componenti M y e M z, su ciascuna sezione del prisma devono essere verificate le seguenti condizioni: x AdA N σ = ∫ equilibrio alla traslazione in direzione x (1.1) xy AdA T τ = ∫ y equilibrio alla traslazione in direzione y (1.2) xz AdA T τ = ∫ z equilibrio alla traslazione in direzione z (1.3) ()xzxy x AyzdAMM ττ −== ∫ t equilibrio alla rotazione intorno all’asse x (1.4) x y A zdA M σ = ∫ equilibrio alla rotazione intorno all’asse y (1.5) x z A ydA M σ−=∫ equilibrio alla rotazione intorno all’asse z (1.6) Si vedrà come l’utilizzo delle equazioni di equilibrio (1.1)-(1.6), unito alle considerazioni sulla deformazione del prisma e all’utilizzo del legame elastico tra gli sforzi e le deformazioni, possa condurre alla soluzione del problema della determinazione degli sforzi in tutto il prisma nei quattro casi di carico in studio. In base al teorema di unicità della soluzione del problema elastico la soluzione trovata sarà effettivamente la reale soluzione del problema. Occorre infine osservare che non è sempre vero che le travi siano libere da forze sulla superficie laterale e non è detto che la reale distribuzione delle forze sulle basi sia quella dedotta al termine della risoluzione del problema di De St. Venant. Infatti, nelle sezioni sulle basi le equazioni dalla (1.1) alla (1.6) esprimono l’equilibrio solo in termini globali; perché l’equilibrio sia soddisfatto anche localmente occorrerà che la distribuzione delle forze di superficie esterne sulle basi soddisfi la condizione al contorno (2.18) del cap. 1 delle dispense: jjij inpf ∑= 3 1 i=1,2,3 (1.7) 6 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant Nel sistema di riferimento assunto, in cui l’asse x1 coincide con l’asse x, l’asse x2 con l’asse y e l’asse x3 con l’asse z, sulle basi risulta n1 = 1 , n2 = n 3 = 0 la (1.7) diventa: i1ipf = i=1, 2, 3 (1.8) e quindi: xx1 ff σ== xyy ff τ== 2 xzz3 ff τ= = (1.9) Questa limitazione potrebbe apparire troppo gravosa. Non è tuttavia necessario che la reale distribuzione delle forze sulle basi sia quella dedotta per gli sforzi al termine della risoluzione del problema; la soluzione trovata non perde infatti di generalità grazie a un principio che verrà introdotto nel prossimo paragrafo, il postulato di De St. Venant. 1.3. Il postulato di De St. Venant Il fondamento della teoria del solido di De St. Venant risiede nel seguente postulato: Se si sostituisce ad una distribuzione S qualunque di forze, agente su una porzione di superficie di un corpo, una distribuzione differente S 1 agente sulla stessa porzione, gli effetti delle due distribuzioni sulle parti del corpo sufficientemente lontane dalla regione di applicazione delle forze sono gli stessi, purché le due distribuzioni S ed S 1 siano staticamente equivalenti (abbiano cioè la stessa risultante e lo stesso momento risultante). La sostituzione di S con S1 equivale ad aggiungere ad S il sistema S1 ed il sistema – S, che annulla S . Perciò il mutamento di regime interno è dovuto ai due nuovi sistemi, S 1 e – S, che insieme costituiscono un sistema in equilibrio. Quindi il principio significa anche che un sistema di forze esterne in equilibrio agenti su una zona A sufficientemente piccola produce delle tensioni notevoli solo nelle immediate vicinanze di A e rapidamente decrescenti a distanze man mano crescenti. Tale postulato implica che, nei punti del solido che sono a sufficiente distanza dall’elemento superficiale che è sede di applicazione dei carichi esterni, lo stato di tensione non dipende dalla particolare distribuzione di tali carichi ma solo dalla loro risultante e dal loro momento risultante. Pertanto, se le dimensioni trasversali della trave sono sufficientemente piccole se comparate con la sua lunghezza, lo stato di tensione non dipende dalle modalità di applicazione del carico, se si eccet- tuano due brevi zone terminali, prossime alle basi estreme. In base al postulato di De St. Venant è pertanto sufficiente che la distribuzione degli sforzi interni sia tale da avere la stessa risultante delle forze esterne, come enunciato al paragrafo precedente nelle (1.1)-(1.6). Occorre sottolineare che la validità del postulato di De St. Venant è pero limitata al caso dei prismi la cui sezione trasversale è compatta , intendendosi con ciò una sezione in cui le dimensioni trasversali sono tutte dello stesso ordine di grandezza. Esempi di sezione compatta sono forniti dalla 7 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant sezione rettangolare, circolare, triangolare, trapezia, etc. Se invece la sezione è caratterizzata da elementi di ordine di grandezza diversi, come accade nelle cosiddette travi in parete sottile (quali sono tipicamente tutti i profilati metallici) la zona in cui lo stato tensionale risente delle modalità di applicazione del carico può estendersi notevolmente, e quindi i risultati ottenuti in base alla teoria di De St. Venant possono risultare molto più grossolani. Tipici esempi di sezioni non compatte sono forniti dalle travi aventi sezione a doppio T, a C, a Z, angolari a lati uguali o disuguali etc. 1.4. Formulazione matematica del problema di De St. Venant Si può passare adesso all’esame della formulazione matematica del problema di De St. Venant. Abbiamo ipotizzato l’assenza di forze di volume; ignoriamo pertanto l’effetto della forza peso e lavoriamo nell’ipotesi che sia F = 0. Le equazioni indefinite di equilibrio pertanto assumono la forma vettoriale: 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ zyx z y xp p p (1.10) Tenendo conto del fatto che è sempre σy=σz=τyz=0 la (1.10) è equivalente alle tre equazioni scalari: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂= ∂ ∂ ⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂= ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 0 00 0 0 x zyxx zyx zyx xz z yz xzxy zyy xyzx yx xτ σ τ ττ τστ τ τ σ (1.11a,b,c) Le ultime due equazioni attestano che gli sforzi tangenziali τzx e τzy non subiscono variazioni lungo l’asse del prisma. Per quel che concerne le condizioni al contorno sulla superficie esterna del prisma, occorre distinguere tra la superficie laterale e le basi. La superficie laterale, la cui normale n è caratterizzata dall’avere componente n x=0, è per ipotesi libera da forze f di superficie. La condizione al contorno pertanto diventa: zzyynn ppf +== 0 (1.12) La (1.12) è equivalente alle tre equazioni scalari: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+=+=+ 000 zzyyzzzyyyzzxyyxnn nnnn στ τσ ττ (1.13a,b,c) Le (1.13b,c), corrispondenti alle proiezioni sugli assi y e z, sono delle identità; l’unica equazione significativa è la (1.13a), che impone agli sforzi tangenziali agenti sulla sezione trasversale di essere 8 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant tangenti al contorno sulla superficie laterale. Sulle basi la normale è caratterizzata dall’avere n y = n z = 0 ed n x = 1; la condizione al contorno è espressa dalla (1.9) che richiederebbe un’uguaglianza puntuale tra sforzi interni e forze di superficie esterne f x, f y, f z. Tuttavia, per il postulato di De St. Venant è sufficiente che f x, f y, f z siano tali da fornire globalmente una risultante ed un momento risultante pari a quelli delle forze esterne agenti sulle basi stesse. Le deformazioni, espresse dal tensore simmetrico ε ij, devono essere tali da soddisfare le equazioni di congruenza: ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 1 ijj jii ji ijxx xx ε ε ε i, j = 1, 2, 3 (sono tre equazioni) (1.14a) o in alternativa ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂∂ = ∂∂ ∂j ki i jk kij ikj iixxxxxx ε εε ε 2 i, j = 1, 2, 3 (sono tre equazioni) (1.14b) In ultimo, il materiale di cui è costituito il prisma, isotropo, deve avere comportamento elastico- lineare descritto dalla legge di Hooke generalizzata. Verranno considerati solo i quattro distinti casi di carico illustrati nel paragrafo precedente; casi di carico combinati possono essere facilmente risolti utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, valido perché siamo nel campo dell’elasticità lineare e dei piccoli spostamenti. Pur con le ipotesi semplificative adottate sui carichi e sulla geometria del corpo, il problema presenta ancora notevoli difficoltà matematiche. Queste vengono aggirate sulla base della considerazione che la soluzione del problema elastico è unica. Infatti, se si è in grado, in base a considerazione intuitive o basate sull’osservazione sperimentale, di fornire un’espressione per le pij ed una per le εij, tale che: • le pij e le εij siano legate tra loro dalla legge di Hooke generalizzata; • le pij soddisfino le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno sulla superficie laterale e sulle basi; • le εij soddisfino le equazioni di congruenza; si può dedurre che le pij e le εij ipotizzate sono una soluzione del problema, che, per il teorema di Kirchhoff, è anche l’unica soluzione del problema. 9 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant 2. I casi dell’azione assiale e della flessione Questi due casi verranno trattati insieme perché entrambi producono sull’asta solo degli sforzi normali, costanti su tutta la sezione nel primo caso e variabili con legge lineare nel secondo caso. 2.1. L’azione assiale In questo caso la risultante delle forze esterne agenti sulle basi si riduce ad una forza avente la direzione dell’asse della trave (e quindi normale all’asse della sezione trasversale) e passante per il baricentro della sezione. La forza normale N viene assunta positiva se di trazione, in maniera concorde con le convenzioni assunte nel calcolo delle azioni interne. La determinazione degli sforzi si basa sulle seguenti due ipotesi: • le tensioni tangenziali, che non sono necessarie per l’equilibrio del solido, sono nulle: 0 == xzxyτ τ (2.1) • La risultante delle forze agenti sulla generica ascissa x è indipendente da x: possiamo ragionevolmente ipotizzare che anche gli sforzi normali siano indipendenti da x. Poiché la risultante degli sforzi deve passare per il baricentro per riequilibrare la forza N, si può inoltre ipotizzare che gli sforzi assumano sul piano della sezione un valore costante k, a priori incognito. Questa ipotesi è anche coerente con l’osservazione delle deformazioni delle aste soggette ad azione assiale. Pertanto: kp xx== σ (2.2) Tale distribuzione di sforzi soddisfa le equazioni indefinite di equilibrio: le (1.1b, c) sono delle identità; la (1.1a) diventa 0 x x= ∂ ∂ σ e risulta verificata perché σx=k . Le condizioni al contorno sulla superficie laterale sono sicuramente verificate, essendo nulli tutti gli sforzi eccetto la σ x. Le deformazioni valgono Ek E x x== σ ε Ek E x zy ν νσ εε −=−== Gli scorrimenti angolari sono ovviamente tutti nulli: 0 yz xy xzγ γγ=== Essendo le deformazioni nulle o pari a termini costanti le equazioni di congruenza (1.14a,b), in cui compaiono solo derivate seconde, sono sicuramente soddisfatte. Infine, le condizioni al contorno sulle basi ci forniscono 10 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant xxxx pf σ== 0= = xyy f τ 0== xzz f τ Ma, per il postulato di de St.Venant, sappiamo che è sufficiente che risultante e momento risultante di tale distribuzione siano staticamente equivalenti alla forza esterna N. La (1.1) fornisce: ∫⋅ = ∫=== A Ax x AkkdAdAfNR (2.3) La (2.3) fornisce il valore incognito della costante k: A N k= (2.4) Le (1.2), (1.3) e (1.4) nel caso in esame sono delle identità perché le tensioni tangenziali sono tutte nulle: 0 0= ∫ == Ayz y dA R τ ∫===Axz z dA R0 0 τ ( ) 0 0= ∫−== dAzy M Axyxz x τ τ Le (1.5) e (1.6) forniscono: 0= ⋅ ∫ = ⋅⋅ ∫= ⋅ ⋅= ∫⋅⋅= y A A AxySkdAzkdAzkdAz M σ 0= ⋅ ∫ = ⋅⋅ ∫= ⋅ ⋅= ∫⋅⋅= z A A AxzSkdAykdAykdAy M σ entrambe verificate essendo Sy e Sz i momenti statici dell’intera sezione rispetto agli assi y e z passanti per il baricentro G. La soluzione ipotizzata soddisfa pertanto tutte le equazioni che governano il problema, ed è pertanto la vera soluzione del problema. Si ha quindi: x N A σ = (2.4) x N EA ε = EAN E x zy ν νσ εε −=−== (2.5a,b) La deformazione del prisma è caratterizzata dal fatto che tutte le fibre longitudinali parallele all’asse dell’asta hanno pari deformazione estensionale e quindi pari allungamento. L’allungamento totale subito dal prisma può essere calcolato come l’integrale delle deformazioni subite dall’asta lungo una qualunque fibra longitudinale: 00 LL x NN Ldx dx EA EA ε Δ= = = ∫∫ L (2.6) La (2.6) è valida anche nel caso che l’azione assiale o l’area della sezione varino lungo l’asse dell’asta; se la variazione è continua si valuterà l’integrale nella (2.6), se i termini sono costanti su 11 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant tratti di lunghezza Li l’integrale sarà sostituito da una sommatoria: ∑ =Δi iiiEA LN L (2.7) Il lavoro di deformazione immagazzinato nell’asta per effetto dell’azione assiale può essere determinato facendo uso del teorema di Clapeyron. Il lavoro di deformazione specifico vale: xx W εσ 2 1= (2.8) Sul tratto di asta di lunghezza dx si ottiene: dL dLN EA Ndx NA EAN A N dxdAdx Axx 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = ∫ = εσ (2.9) 2.2. La flessione semplice Il caso della flessione semplice si ha tutte le volte che il solido di De St. Venant è caricato sulle due basi da due coppie uguali e contrarie, agenti in un piano perpendicolare a quello della sezione retta del prisma, come indicato in Fig. 1.3b. Il piano che contiene la coppia è a sua volta perpendicolare al vettore momento, che giace nel piano della sezione; l’inclinazione del vettore momento deve essere specificata, perché momenti flettenti di uguale modulo, ma che inflettono la trave in piani diversi, producono degli sforzi diversi. Come vettore, il momento flettente è completamente definito dal suo modulo M f, dal suo verso e dalla sua direzione. Viste le proprietà sull’equivalenza delle coppie, senza perdere di generalità si considera il piano contenente la coppia come passante per il baricentro, e si definisce asse di sollecitazione la retta intersezione tra il piano che contiene la coppia e il piano della sezione stessa. La direzione dell’asse di sollecitazione è un dato del problema; la flessione si dice retta (simmetrica, nel libro di testo) se l'asse di sollecitazione coincide con un'asse principale d'inerzia della sezione, e si dice deviata (non simmetrica, nel libro di testo) in caso contrario. Vedremo in quanto segue le ragioni di questa denominazione. 2.2.1. Flessione retta Come primo caso si può esaminare una trave la cui sezione trasversale possegga un asse di simmetria retta e che sia caricata in maniera tale che l’asse di sollecitazione coincida con l’asse di simmetria stesso. Si assuma l’asse y coincidente con l’asse di simmetria; il vettore momento avrà pertanto Mz = M f come unica componente non nulla. Per effetto del momento flettente la trave si inflette, e l’entità della deformazione è costante lungo l’asse della trave, per la costanza del momento flettente. L’asse geometrico della trave si trasforma quindi in una curva (detta linea 12 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant elastica) di curvatura costante, cioè in un arco circolare di centro C, come indicato in Fig. 2.1. Tale arco è contenuto in un piano, detto piano di flessione, che coincide col piano di sollecitazione, per la simmetria della sezione. Infatti, per il rispetto della condizione di simmetria geometrica e di carico, i punti sull’asse di simmetria non possono muoversi che in direzione x o y. Tutte le fibre longitudinali della trave si deformano in maniera simile; poichè complessivamente la trave non è ne tesa né compressa dalla coppia M, avremmo che talune fibre si allungheranno, mentre altre si accorceranno. Esisteranno dunque delle fibre”neutre” che non si allungano né si accorciano. Fig. 2.1 – Le deformazioni del prisma di De St. Venant per effetto della flessione retta [1]. A partire da considerazioni basate sulla simmetria del problema 1 e supportate dall’evidenza sperimentale, si può osservare che la deformazione della trave soddisfa con ottima approssimazione la cosiddetta ipotesi di Bernoulli-Navier o di conservazione delle sezioni piane, secondo cui le sezioni rette della trave rimangono piane, e normali alle fibre deformate . Il punto C è quindi il centro degli archi circolari secondo cui si atteggiano tutte le fibre longitudinali contenute nel piano di flessione. Se le sezioni si mantengono piane, a deformazione avvenuta esisterà una retta, intersezione del piano che contiene la sezione indeformata con il piano che contiene la sezione deformata. Tale retta, luogo dei punti che non subiscono deformazione, prende il nome di asse neutro ; la sua posizione (definita da due parametri, ad es. la sua inclinazione rispetto all’asse z e l’intersezione con l’asse y) è un’incognita del problema. Si può ora osservare che gli spostamenti in direzione x dei punti della sezione che appartengono allo stesso segmento normale all’asse y, devono soddisfare contemporaneamente la condizione di planarità e quella di simmetria e non possono che essere costanti. Quindi il centro di curvatura delle varie fibre longitudinali, poste a differenti valori della coordinata z, è su una medesima retta c perpendicolare al piano di flessione (coincidente con il piano di sollecitazione) e di traccia C su tale piano. Poiché il luogo delle fibre della sezione che non si deformano è una retta, ne discende che l’asse neutro è normale all’asse di sollecitazione, e ha quindi la direzione dell’asse z. Resta però, incognita la sua posizione, intesa 1 Una descrizione dettagliata è presentata nel libro di testo. 13 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant come intersezione con l’asse di sollecitazione. Possiamo indicare con y* la coordinata (misurata in direzione y) della generica fibra rispetto all’asse neutro. Indicando con k una costante di proporzionalità a priori incognita, la geometria della deformazione implica che: *yk x ⋅= ε (2.10a) 0== zxzyγ γ (2.10b) Lo stato di sforzo ha quindi componenti: *ykEE x x ⋅⋅=⋅= εσ (2.11a) 0== zxzyτ τ (2.11b) Le tensioni tangenziali (non necessarie per l’equilibrio) sono necessariamente nulle perché l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane esclude la presenza di deformazioni angolari. Ovviamente, accanto alla εx ci saranno anche x y Eσ ν ε −= x z Eσ ν ε −= (2.12) Possiamo ora controllare se sono soddisfatte le equazioni del problema elastico. Delle equazioni indefinite di equilibrio contiene termini non identicamente nulli solo la (1.1a): 0 x x= ∂ ∂ σ che risulta sicuramente veri ficata perché lo sforzo σx non è funzione di x. Le equazioni di congruenza sono identicamente soddisfatte, perchè le deformazioni sono espresse da funzioni lineari. Le condizioni al contorno sulla superficie laterale ( nx = 0) sono identicamente soddisfatte. Restano da imporre le condizioni sulle basi ( nz = ny =0; nx = 1): * xxykEf ⋅⋅== σ 0== xyy f τ 0= = xzz f τ La risultante e il momento risultante di fx, fy ed fz devono fornirci le forze esterne: 0R = (coppia applicata) f MM = Per quel che concerne la risultante si ha: 0 0=⇒ ∫=⋅⋅⋅ ∫=⋅= n A* AxxS dAykEdAfR (2.13) Si può osservare che la quantità è il momento statico S ∫⋅A dAy * n della sezione rispetto all’asse neutro. Il suo annullarsi ci dice che l’asse neutro deve passare per il baricentro; poiché esso è ortogonale ad y*, si ricava che l’asse neutro coincide con l’asse z e l’asse y* con y. Le altre due componenti della risultante Ry ed Rz sono identicamente nulle, essendo nulli gli sforzi tangenziali. Le componenti del momento fornite dal carico esterno sono: 14 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant 0M x= 0=y M fz MM = Il momento torcente Mx fornito dagli sforzi interni è sicuramente nullo, perché non ci sono tensioni tangenziali. Per quel che concerne le componenti del momento flettente si ha: 0 0= ⋅ ⋅ ∫ = ⋅⋅ ∫⋅ ⋅ =⋅⋅== yz A Ax yIEkdAzyEkdAz M σ (2.14) Il momento d’inerzia centrifugo Iyz è infatti nullo perché y e z sono gli assi principali di inerzia della sezione, essendo y un asse di simmetria retta e z una retta ad esso perpendicolare. In ultimo si ha: ⇒= fz MM fz A Ax z MIEkdAyEkdAy M=⋅⋅− ∫=⋅ ∫⋅⋅−=⋅⋅−= 2 σ (2.15) E’ facile riconoscere che la quantità sotto il segno di integrale è il momento d’inerzia Iz della sezione rispetto all’asse neutro. La (2.15) consente la determinazione della costante k incognita: EI M k zz⋅ −= (2.16) Gli sforzi σx e le deformazioni εx nella sezione trasversali sono quindi dati dalle relazioni: z z zz xIyM y EI M EykE⋅ −=⋅ ⋅ ⋅−=⋅⋅= σ (2.17a) z z x EIyM ⋅ −= ε (2.17b) Le σx e le εx hanno quindi un andamento lineare sulla sezione; sono nulle in corrispondenza della fibra baricentrica e massime sulle fibre poste a distanza maggiore dall’asse neutro. Si può osservare quindi che l’asse neutro nella flessione semplice ha un duplice significato: è il luogo dei punti in cui lo sforzo è nullo (significato statico) ed è la retta intorno a cui la sezione ruota durante la deformazione (significato cinematico). Detta c la distanza dall’asse neutro del punto più lontano dalla sezione, risulta in valore assoluto: z z max zz max EIcM ; IcM = = ε σ (2.18a,b) Si osservi infine che se l’asse di simmetria coincidente con l’asse di sollecitazione fosse stato l’asse z, l’unica componente diversa da zero del momento sarebbe stata My e si sarebbe ricavata per la distribuzione degli sforzi normali una formula del tutto analoga alla (2.17a): y y xIzM ⋅ = σ (2.19) La differenza nel segno tra la (2.17a) e la (2.19) è una diretta conseguenza del differente segno con cui vengono scritte le due equazioni (1.5) e (1.6). La (2.17a) – o la sua equivalente (2.19) – \ è nota in letteratura come formula di Navier. 15 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant 2.2.2. La flessione deviata Consideriamo ora il caso più generale di una trave avente sezione di forma qualsiasi, priva di assi di simmetria; supponiamo inoltre che il piano di sollecitazione, pur contenendo l’asse della trave, sia orientato in modo qualunque. L’asse di sollecitazione è quindi un asse qualunque nel piano della sezione e non coincide neanche con un asse principale di inerzia. Per mantenere un parallelismo con la trattazione precedente riferiamo ancora la sezione ad una coppia di assi y, z avendo assunto y coincidente con l’asse di sollecitazione. L’unica componente del momento esterno che agisce sulla sezione diversa da zero è quindi Mz, come illustrato in Fig. 2.2. z M z n-n y≡s-s φ y η G Fig. 2.2 – Il problema della flessione deviata: configurazione geometrica. Anche in questo caso, all’incurvarsi della trave, esistono delle fibre che conservano la loro lunghezza: tali fibre costituiscono uno strato neutro nella direzione longitudinale dell’asta. Sono ancora valide le condizioni già illustrate sulle deformazioni della trave, cioè: • esistenza di un piano di flessione che contiene la curva secondo cui si atteggia la configurazione deformata dell’asse dell’asta, anche se in generale, vista la mancanza della condizione di simmetria, esso non coincide più con il piano di sollecitazione; • conservazione delle sezioni piane. Si può concludere anche in questo caso che lo strato neutro incontrerà ogni sezione lungo una retta, detta asse neutro, che sarà in generale obliqua rispetto all’asse di sollecitazione; le deformazioni tangenziali sono ancora identicamente nulle. Con riferimento alla Fig. 2.2, indichiamo con η la distanza (misurata lungo una normale e dotata di segno) dall’asse neutro, di posizione ed orientamento incogniti; l’ipotesi di conservazione delle sezioni piani implica che la deformazione εx della generica fibra longitudinale è proporzionale ad η attraverso una costante k incognita: η ε ⋅= k x (2.20) Lo stato di sforzo è formalmente analogo a quello della flessione retta: η ε σ ⋅⋅=⋅= kEE x x (2.21) 16 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant Le deformazioni normali valgono: x x yz E εν σ νεε ⋅−=⋅−== (2.22) Tale stato di deformazione soddisfa le equazioni di congruenza; lo stato di sforzo soddisfa le equazioni indefinite di equilibrio e le condizioni al contorno sulla superficie laterale. Per quel che concerne le condizioni al contorno sulle basi, le uniche equazioni significative sono le (1.1), (1.5) e (1.6). Queste sono in numero pari alle tre incognite del problema, la costante k e la posizione dell’asse neutro (due parametri). Le condizioni che coinvolgono le tensioni tangenziali sono infatti tutte identicamente soddisfatte. La (1.1) fornisce: 0 ∫∫ =⋅⋅== A Axx dAkEdA Rη σ (2.23) da cui: 0 = ∫= n ASdA η (2.24) L’asse neutro passa quindi per il baricentro anche in questo caso. Per quel che concerne le equazioni di equilibrio dei momenti, la (1.5) che esprime l’eguaglianza dei momenti rispetto all’asse y fornisce: ==0 y M 0 ∫=⋅⋅⋅ ⋅ ∫=⋅⋅ A Ax dAzkEdAz η σ (2.25) da cui: 0 = ∫=⋅⋅ sn AJdAy η (2.26) La quantità Jsn è il momento d’inerzia centrifugo rispetto all’asse neutro n-n e all’asse di sollecitazione s-s (coincidente con y). Questa condizione ci dice dunque che l’asse neutro è diretto in maniera tale che il momento d’inerzia centrifugo rispetto ad n-n ed s-s è zero. Questa informazione, unita al fatto che l’asse neutro è baricentrico, consente di determinare completamente la posizione dell’asse neutro. L’ultima condizione da applicare deve consentire di calcolare il valore della costante k. L’equilibrio alla rotazione in questo caso viene imposto rispetto all’asse neutro, che per ipotesi forma un angolo φ con l’asse z, come illustrato in Fig. 2.2. La somma dei momenti degli sforzi rispetto all’asse n-n deve essere pari al momento esterno rispetto all’asse stesso: n A Ax zIkEdAkEdA cosM⋅⋅ ∫−=⋅⋅⋅− ∫=⋅⋅−= 2η ησφ (2.27) Nella (2.27) In è il momento d’inerzia della sezione rispetto all’asse neutro. Si ottiene quindi: 17 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant n zIE cosM k ⋅ −= φ (2.28) da cui: n z xIcosM kE φη η σ ⋅⋅ −=⋅⋅= (2.29) Introduciamo ora le distanze y dall’asse neutro, misurate parallelamente all’asse s-s : φ η cosy ⋅= (2.30) Indicando con J il momento d’inerzia dell’area A rispetto all’asse neutro, con distanze y misurate parallelamente all’asse s-s , si ha: φ φ η φ2 2 2 2 2 1 cosJI cosI dA cos dAyJ n An A ⋅=⇒ ∫=⋅⋅ ∫=⋅= L’espressione di σx può quindi essere scritta in maniera analoga alla (2.17a) della flessione retta: JyM cosJcoscosyM z z x⋅ −= ⋅⋅⋅ −= φ φ φ σ 2 (2.31) Osserviamo che in generale la condizione Isn=0, che individua compiutamente l’asse neutro, fornisce una coppia di assi non ortogonali tra loro, per cui in generale l’asse neutro non è ortogonale all’asse di sollecitazione. L’asse neutro n-n è ortogonale all’asse di sollecitazione s-s solo se quest’ultimo coincide con un asse principale d’inerzia, in quanto gli assi principali sono gli unici per cui risulti contemporaneamente Isn = 0 e s-s ortogonale ad n-n. Possiamo allora concludere che: • Tutte le volte che l’asse di sollecitazione coincide con un asse principale d’inerzia (e quindi come caso particolare con un asse di simmetria retta), l’asse neutro risulta ortogonale all’asse di sollecitazione e la flessione si dice RETTA. La generica sezione retta della trave ruota intorno a un asse che è coassiale rispetto alla direzione del vettore momento; la trave si inflette nel piano in cui è sollecitata. • Se l’asse di sollecitazione non coincide con un asse principale d’inerzia, l’asse neutro non è ortogonale all’asse di sollecitazione e la flessione si dice DEVIATA. La generica sezione retta della trave ruota intorno a un asse che forma un angolo φ non nullo con l’asse del vettore momento; la trave si inflette in un piano che è diverso dal piano in cui è sollecitata. La condizione J sn= 0 fornisce l’inclinazione dell’asse neutro rispetto ad una retta ortogonale all’asse di sollecitazione (ovvero, la misura dell’angolo φ). Tuttavia, i conti che conducono a tale deter- minazione, sono, a parte alcuni casi (es. asse di sollecitazione che coincide con un asse di simmetria obliquo, quale la diagonale del rettangolo) piuttosto laboriosi. Nella pratica si preferisce seguire una via alternativa, basata sul principio di sovrapposizione degli effetti, scomponendo la flessione deviata in due flessioni rette. I relativi procedimenti di calcolo verranno illustrati nel cap. 3. 18 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant 2.3. La deformazione del prisma dovuta alla flessione. Come fatto nel caso dell’azione assiale, anche per nel caso del momento flettente è di interesse la descrizione della deformazione globale subita dal prisma. Sebbene l’argomento sia trattato nel libro di testo, per completezza viene qui riportata la trattazione che consente il calcolo del raggio di curvatura della deformata dell’asta e dell’angolo di rotazione relativo tra due sezioni trasversali poste a distanza qualunque. Questi due parametri, infatti, caratterizzano la deformata dell’asta cosi come l’allungamento dell’asse dell’asta caratterizza la deformata dovuta all’azione assiale. Fig. 2.3 – Flessione retta: la configurazione deformata dell’asta nel piano di sollecitazione. La configurazione deformata dell’asta per il caso della sezione retta è illustrata in dettaglio in Fig. 2.3, che descrive la deformazione dell’asta nel piano x, y . L’asta si è atteggiata secondo un arco di circonferenza che ha raggio ρ per le fibre che sono nello strato neutro; sappiamo già che questo contiene l’asse dell’asta. La lunghezza L delle fibre neutre resta inalterata anche a deformazione avvenuta; l’angolo che sottende la lunghezza della generica fibra nella configurazione deformata ha valore pari a θ. La coordinata y misura la distanza (dotata di segno) della generica fibra dall’asse neutro. La deformazione estensionale εx della generica fibra a distanza y dall’asse neutro può essere calcolata (definizione elementare) come rapporto tra la variazione di lunghezza subita dalla generica fibra divisa per la lunghezza iniziale. La lunghezza finale L’ della fibra vale: ( )θ ρ y'L −= (2.32) La variazione di lunghezza della fibra è quindi () θ ρθ θ ρ δ y yL'L− = −−=−= (2.33) La corrispondente deformazione estensionale vale: ρρθ θ ε yy x −=−= (2.34) La deformazione raggiunge il suo massimo in valore assoluto εm alla massima distanza c dall’asse neutro: 19 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant ρ ε c m= da cui m c ε ρ= (2.35) L’eliminazione del raggio di curvat ura dalla (2.34) conduce a una relazione analoga alla (2.10a), in cui il rapporta εm/c rappresenta la costante k adottata nel paragrafo 2.1: m x cyεε −= (2.36) Il vantaggio di questa descrizione geometrica è che consente il calcolo immediato della curvatura della superficie neutra dell’asta, a partire dall’espressione (2.17b) che fornisce le deformazioni in funzione del momento esterno: z z zz m EIM IcM Ecc=⋅== 11 ε ρ (2.37) L’angolo di rotazione relativo θ tra le due sezioni di estremità, a livello dello strato neutro e quindi dell’asse dell’asta, sottende la lunghezza iniziale L dell’asta. Risulta: z EIMLL == ρ θ (2.38) Anche per la flessione semplice è possibile calc olare il lavoro di deformazione specifico facendo uso del teorema di Clapeyron secondo la (2.8). Si ottiene per il tratto di lunghezza dx : dL θ εσdM EI Mdx MdAy EI Mdx I M dA EIMy I My dxdAdx z A zz A zz Axx 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 = = ∫ = ∫ = ∫ = (2.39) 3. Procedure per il calcolo degli sforzi nella flessione semplice 3.1. Convenzioni di segno nel calcolo degli sforzi Si consideri come sistema di riferimento quello riportato in Fig. 3.1, e si assuma che tale riferimento coincida con quello principale; con riferimento alla trattazione della flessione simmetrica del libro di testo l’asse u coincide con l’asse y e l’asse v coincide con l’asse z. Si denotano con il simbolo M u, M v i momenti flettenti il cui vettore è diretto rispettivamente come gli assi u e v. Il momento M u ha l’asse v come asse di sollecitazione e asse u come asse neutro; il momento Mv ha l'asse u come asse di sollecitazione e l'asse v come asse neutro; entrambi danno perciò origine a flessioni rette. I momenti M u ed M v sono positivi quando il loro vettore ha la stessa direzione degli assi coordinati. Se si adotta la regola della vite per specificare il verso di rotazione dei momenti flettenti, si osserva che il momento M u positivo genera trazione ( σx(M u)>0) nella parte di piano in cui v>0 e 20 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant compressione nella restante parte, mentre il momento M v positivo genera compressione ( σx(M v)0 e trazione nella restante parte. Fig. 3.1 – Convenzioni di segno nel riferimento principale. Pertanto, la formula di Navier per il calcolo degli sforzi σx in direzione dell'asse del prisma produce un risultato dotato di segno e rispettoso della convenzione per cui σx>0 denota uno sforzo di trazione, quando gli sforzi normali generati rispettivamente dai due momenti, coerentemente con la (2.17a) e la (2.19), sono: v I M )M( uu ux = σ (3.1) u I M )M( vv vx −= σ (3.2) Se i momenti Mu ed M v agiscono contemporaneamente, lo sforzo normale prodotto può essere ricavato applicando il principio di sovrapposizione degli effetti: )M()M(vxuxx σ σ σ + = = u I M v I M vv uu ⋅−⋅ (3.3) Nelle equazioni (3.1), (3.2), (3.3) Iu e Iv sono i momenti d'inerzia risp etto agli assi principali d'inerzia u, v della sezione; u e v sono le coordinate del punto in cui si vogliono determinare gli sforzi nel riferimento principale che ha origine nel baricentro. 3.2. Azione Assiale Eccentrica agente in un piano di simmetria In questo caso l’azione assiale non è applicata nel baricentro, ma in un punto C che appartiene all’asse di simmetria della sezione (Fig. 3.2a) o, più in generale, a un asse principale d’inerzia della sezione stessa. L’azione assiale può essere applicata sul baricentro, a condizione che ad essa venga aggiunto un momento di trasporto M , di modulo, direzione e verso opportuni. Il sistema di forze costituito dall’azione assiale in C risulta pertanto equivalente a quello costituito dall’azione assiale in G e dal momento di trasporto, come indicato in Fig. 3.2b. L’asse di sollecitazione del momento 21 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant di trasporto è la retta congiungente il punto C con il punto G; nel caso in esame sulla sezione agiscono un’azione assiale centrata e una flessione retta. Il valore del momento di trasporto può essere determinato, in modulo e segno, come prodotto del modulo dell’azione assiale per il valore della coordinata del punto C su cui è applicata la forza. Ricordando che l’azione assiale è positiva quando la forza applicata induce trazione nell’elemento, si può osservare che un’azione assiale di trazione, applicata in un punto avente yC positiva, genera un momento di trasporto che, nelle convenzioni adottate, è negativo, come indicato chiaramente in Fig. 3.2b. Il valore del momento flettente per il caso illustrato in figura è dato da: C zyNM −= (3.4) Il segno meno nella (3.4), analogamente a quanto visto nell’equazione (3.2), produce un risultato coerente anche in termini di segno. y z G C x N N M z (a) (b) Fig. 3.2 – Azione assiale eccentrica: (a) sezione trasversale; (b) vista longitudinale. Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti, gli sforzi prodotti dalla forza N applicata in C saranno dati dalla relazione: )M()N(zx xx σ σ σ += = y I M A N zz − (3.5) In maniera analoga si può ragionare nel caso il punto C stia sull’asse z. E’ facile verificare che in questo caso il momento di trasporto è M y, dato dalla relazione: C yzNM = (3.6) Conseguentemente gli sforzi normali sono dati da: )M()N(yx xx σ σ σ += = z I M A N yy + (3.7) La (3.5) e la (3.7) indicano chiaramente che gli sf orzi normali a livello della fibra baricentrica sono diversi da zero e pari al valore generato dall’azione assiale. Uguagliando a zero le espressioni contenute nella (3.5) e nella (3.7) si trova il luogo dei punti (ne\ l piano y, z ) in cui gli sforzi normali 22 20/01/2011 Scienza delle Costruzioni M.G. Mulas De Saint Venant sono nulli; questo luogo dei punti è chiaramente una retta cui possiamo ancora dare il nome di asse neutro. Se l’effetto dell’azione assiale prevale su quello della flessione, la distribuzione lineare di sforzi generata dall’azione assiale eccentrica è tutta dello stesso segno; l’asse neutro è esterno alla sezione e ha solo il significato cinematico di retta intorno a cui ruota la sezione, ma non quello statico di luogo dei punti aventi sforzo pari a zero. Se invece l’effetto della flessione prevale su quello dell’azione assiale, il diagramma degli sforzi passerà per lo zero in una retta che appartiene alla sezione. Questa retta mantiene quindi sia il significato cinematico sia quello statico dell’asse neutro. Al crescere dell’eccentricità, l’asse neutro (che può essere pensato posizionato a distanza infinita dalla sezione nel caso dell’azione assiale centrata) tende ad avvicinarsi alla posizione baricentrica che assume nel caso della sola flessione. 3.3. Calcolo degli sforzi dovuti alla flessione deviata (non simmetrica) 3.3.1. Posizione del vettore momento definita nel riferimento principale Il caso più semplice da trattare è quello in cui, in una sezione dotata di un asse di simmetria, l’asse di sollecitazione forma con esso un angolo θ diverso da zero. Nella figura 3.3 l’asse y è l’asse di simmetria della sezione, coincidente con l’asse principale u; l’asse z, perpendicolare all’asse di simmetria, coincide con il secondo asse principale v. L’asse di sollecitazione forma con l’asse y un angolo θ, misurato positivamente nel verso che porta y a sovrapporsi su z. L’angolo θ rappresenta l’inclinazione dell’asse di sollecitazione e non è un angolo tra due direzioni orientate; il suo valore è perciò compreso tra –90° e +90°. Il vettore del momento flettente è perpendicolare all’asse di sollecitazione; la sua direzione forma lo stesso angolo θ con l’asse z. Il vettore M ha modulo positivo se l’angolo tra le direzioni orientate di M e dell’asse z è minore di 90�