Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

Geometria delle aree

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzioni Dispense del corso A cura di Maria Gabriella Mulas Capitolo 1 La geometria delle aree Indice 1. Trasformazione del sistema di coordinate........................................................................\ ........... 1 2. Momenti statici e baricentro.........................................................................\ ............................... 1 3. Momenti d'inerzia........................................................................\ ................................................ 3 4. Figure dotate di simmetria........................................................................\ ................................... 7 5. Caratteristiche geometriche di figure elementari........................................................................\ 7 6. Proprietà dei momenti del 1° e del 2° ordine........................................................................\ ...... 9 7. Procedura per il calcolo delle proprietà geometriche................................................................ 10 8. Esempi........................................................................\ ............................................................... 12 Riferimenti bibliografici Questa dispensa illustra in maniera sintetica le nozioni base di geometria delle aree, a completamento di quanto presentato nei capitoli 5 e 9 del libro di testo di statica: F.P. Beer, E.R. Johnston jr., E.R. Eisenberg, Vector Mechanics for Engineers, Statics. 9 th Edition, McGraw-Hill 2009 (oppure 8 th edition, 2007). Si rimanda al libro di testo per lo studio approfondito dell’argomento, nonchè per gli esempi svolti e gli esercizi. Una raccolta di esercizi provenienti dai temi d’esame è in linea sul sito del corso on-line, nella pagina delle dispense. Un doveroso grazie all'Ing. Marzia De Lorenzis che ha curato l'aspetto editoriale di questi appunti. 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree 1. Trasformazione del sistema di coordinate Premettiamo alla trattazione della geometria delle aree le formule che governano la trasformazione delle coordinate di un punto rispettivamente per una traslazione ed una rotazione del sistema di riferimento. Nel caso che il sistema di riferimento x, y subisca una traslazione che lascia invariata la direzione degli assi (Fig. 1a) si ha: 0xxx −= 0yyy −= Nel caso in cui il sistema di riferimento subisca una rotazione che lascia inalterata la posizione dell'origine (Fig. 1b) si ha: θ θ sincos' yxx += θ θ cossin' yxy +−= θ (a) (b) Fig. 1 – Modifica del sistema di riferimento per: (a) Traslazione; (b) Rotazione. 2. Momenti statici e baricentro. Data una figura piana di area A (Fig. 2), e considerato un riferimento cartesiano ortogonale x, y con origine in un punto O arbitrario, appartenente al piano della figura, si definiscono momenti statici o momenti del 1° ordine, rispettivamente rispetto all’asse x e all’asse y, le grandezze: ∫ = A x ydAS ∫ = A y xdA S Fig. 2 – Il sistema di riferimento adottato. 1 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree Se il sistema di riferimento x, y subisce una traslazione, i momenti statici rispetto ai nuovi assi x, y valgono rispettivamente: ∫∫∫ ∫ −=−=−== AAAx A x AySdAyydAdAyydAyS0 0 0 )( ∫∫∫ ∫ −=−=−== AAAy A y AxSdAxxdAdAxxdAxS0 0 0 )( I sistemi di riferimento per cui si annulla xS sono individuati dalla condizione: AyS0S0x x −== ⇒ y0=S x/A con x0 arbitrario I sistemi di riferimento per cui si annulla yS sono individuati dalla condizione: AxS0S0y y −== ⇒ x0=S y/A con y0 arbitrario Possiamo imporre contemporaneamente l'annullarsi di xS ed yS ; le due condizioni ora trovate sono compatibili ed individuano l'unico riferimento x, y, traslato rispetto al riferimento originario x, y, rispetto a cui entrambi i momenti statici sono nulli. L'origine G (coincidente con O ) di questo sistema è detta baricentro dell'area A; le sue coordinate nel sistema di riferimento di partenza sono: xG = S y/A ; y G = S x/A (1) La posizione del punto G è indipendente dalla scelta del sistema di riferimento x, y ed è pertanto una caratteristica dell'area A; dalle equazioni precedenti risulta che il momento statico di un'area rispetto ad una retta può essere calcolato immaginando di concentrare tutta l'area della figura nel punto G, e quindi semplicemente moltiplicando l'area per la distanza del baricentro dalla retta stessa. Studiamo ora la variazione subita dai momenti statici per effetto di una rotazione del sistema di riferimento: ∫∫∫ ∫ +−= + −= +−== AAA Ax y x SSydA xdA dAyxdAyS θθ θ θ θθ cos sin cos sin)cossin(' ' ∫∫∫ ∫ += + = + == AAA Ax y y SSydA xdA dAyxdAxS θθ θ θ θθ sin cos sin cos)sincos(' ' Le due relazioni ora trovate ci permettono di concludere che i momenti statici rispetto a qualunque coppia di assi passanti per il baricentro sono nulli. Inoltre, se l'origine O’ del 2 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree sistema di riferimento non coincide con il punto G, non esiste alcun valore dell'angolo θ per cui si annullano contemporaneamente Sx’ ed Sy’; infatti: θ θ cos sin ' x y xSS0S+−== ⇒ tg θ yxSS/ = θ θ sin cos ' x y ySS0S+== ⇒ tg θ yxSS/ −= Le due condizioni ora trovate per l'angolo θ sono incompatibili tra loro, dimostrando la validità dell'asserto. Il baricentro della figura piana così trovato coincide con il baricentro, nella sua usuale definizione data in fisica, della stessa figura, se dotata di densità uniforme. Dal punto di vista della fisica, infatti, dato un sistema di forze parallele a risultante diversa da zero è possibile determinare il punto C, detto centro, in cui può essere applicata la risultante delle forze e che resta invariato comunque si ruotino le forze, purchè rimangano sempre parallele, con uguale intensità ed applicate negli stessi punti. Il centro C è quindi indipendente dalla direzione del sistema di forze. I pesi dei singoli punti materiali di cui è formato un corpo costituiscono un sistema di forze parallele (alla verticale) applicate ai punti stessi. Il centro del sistema di forze peso si chiama baricentro; il peso del corpo è una forza che si immagina usualmente applicata nel baricentro anche se può essere applicata lungo qualunque altro punto della sua linea d’azione, che è la verticale passante per il baricentro. 3. Momenti d'inerzia Si definiscono momenti d'inerzia o momenti del 2° ordine le quantità: ∫ == A2 xxx dAyII (rispetto all'asse x) ∫ == A2 yyy dAxII (rispetto all'asse y) ∫ = A xy xydAI (momento d'inerzia centrifugo) Se il sistema di riferimento x, y subisce una traslazione, i momenti d'inerzia rispetto ai nuovi assi x, y valgono rispettivamente: 3 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ = −+=−+=−== AA AAA A x dAyydAydAydAyyyydAyydAyI0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 )2()( x0 2 0xSy2AyI −+= ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ = −+=−+=−== AA AAA A y dAxxdAxdAxdAxxxxdAxxdAxI0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 2 )2()( y0 2 0ySx2AxI −+= ∫∫ ∫ =+−−=−−== AAA xy dAyxyxxyxydAyyxxdAyxI) ())((0000 0 0 AyxSxSyI00x0y0xy +−−= Se l'origine del sistema di riferimento x, y coincide con il punto G, si ha Sx=S y=0 ; in tal caso le relazioni ora trovate forniscono: 2 0x x AyII += (2) 2 0y y AxII += (3) 00 xy yxyAxII += (4) In queste relazioni x 0 ed y 0 sono le coordinate dell'origine del nuovo sistema di riferimento traslato, in un sistema di riferimento avente origine in G; esse costituiscono l'enunciato del teorema di Huygens, che fornisce le leggi di trasposizione dei momenti d'inerzia al traslare del sistema di riferimento. Infine, da tali relazioni si può osservare come il momento d'inerzia rispetto ad una retta passante per il baricentro sia il più piccolo tra quelli relativi ad una infinità di rette parallele alla retta data (qualunque altro momento d'inerzia si ottiene infatti sommando a quello baricentrico un contributo essenzialmente positivo). Studiamo ora la variazione subita dai momenti d'inerzia per effetto di una rotazione del sistema di riferimento: ∫∫ ∫ = − + = +−== AAA22 22 2 2 x dA xy2 yxdAyxdAyI)sincos cos sin()cossin(' ' θθ θ θ θθ θ θθ2III xy 2 y 2 xsin sin cos−+ = ∫∫ ∫ = + + = + == AAA22 22 2 2 y dA xy2y xdAyxdAxI)sincos sin cos()sincos(' ' θθ θ θ θθ θ θ θ2III xy 2 y 2 xsin cos sin+ += ∫∫ = +−+ = = A A yx dAyxyxdAyxI)cossin)(sincos('' '' θθθθ 4 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree ∫ = + + − −= A2 2 2 2 dA y xy xy x)sincos cos sin cossin(θθθ θθθ θ θ2I2 2II xy yxcos sin+ − = Riassumendo, si ha pertanto: θ θ θ2IIII xy 2 y 2 xxsin sin cos ' − += (5) θ θθ2IIII xy 2 y 2 xysin cos sin ' + += (6) θ θ2I2 2II I xy yx yxcos sin '' + − = (7) Da tali relazioni si può osservare che risulta costante la somma: =+=+yxyxIIII '' cost Tale somma, invariante al variare del sistema di riferimento, prende il nome di momento d'inerzia polare, in quanto rappresenta l'integrale del quadrato della distanza r dall'origine (polo) del sistema di riferimento: ∫∫ =+=+= AA2 22 yxp dArdAyxIII ) ( Si definiscono assi principali d'inerzia dell'area A le due rette ortogonali per cui risulta verificata la condizione Ix’y’ =0 ; i relativi momenti d'inerzia sono detti momenti principali. Si definiscono coniugati due assi s e t per cui risulta Ist=0 ; gli assi principali d'inerzia sono l'unica coppia di assi coniugati che siano tra di loro perpendicolari. Per ogni punto appartenente al piano su cui giace l'area A può essere definita una ed una sola coppia di assi principali d'inerzia; nelle applicazioni usuali della Scienza delle Costruzioni ha tuttavia interesse solo la coppia di assi passanti per il baricentro. La posizione degli assi principali d'inerzia viene individuata dal valore dell'angolo θ0 per cui risulta soddisfatta la relazione: 0 xy0 yx yx 2I2 2II 0Iθ θ cos sin '' + − == Da tale relazione si ricava: yx xyII I cossin tan − −==2 2 2 2 0 0 0θ θ θ (8) Questa equazione ammette due soluzioni, 2θ0 e 2θ0+π ;gli assi principali d'inerzia, tra loro 5 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree ortogonali, formano quindi con l'asse x un angolo che vale rispettivamente θ0 e θ0+π/2. Si può dimostrare che in corrispondenza del valore θ0 i momenti d'inerzia Ix’ ed Iy’ risultano stazionari, raggiungendo quindi i loro valori estremi. I valori dei momenti d'inerzia rispetto agli assi principali d'inerzia possono essere trovati attraverso la seguente procedura, che conduce alla determinazione del circolo di Mohr per i momenti d'inerzia. Ricordando che 221 2 θ θ cos cos+ = 221 2 θ θ cos sin− = il momento d’inerzia Ix’, in funzione dell’angolo 2θ, può essere scritto come: θ θ2 2 22 sinIcos IIII I xy yxyx 'x − − + + = Consideriamo ora le due equazioni: θ θ2 2 22 sinIcos IIII I xy yxyx 'x − − = + − θ θ2 2 2 cosIsin II Ixy yx 'y'x + − = Elevando al quadrato entrambe le equazioni e sommandole membro a membro si ottiene: 2 xy 2 yx 2 yx 2 yx xI 2II I 2II I+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛+ − '' ' Tale equazione rappresenta, nel piano Ix’, Ix’y’ , una circonferenza, detta circolo di Mohr, avente centro nel punto C(c,0) e raggio r, rispettivamente pari a: 2II c yx + = (9) 2 xy 2 yxI 2II r+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = (10) Tale circonferenza giace tutta sul semiasse positivo di Ix’, in quanto i momenti d'inerzia sono, per definizione, quantità positive. Il valore dei momenti principali può essere trovato ponendo Ix’y’ =0 nell'equazione della circonferenza; indicando con u, v gli assi principali d'inerzia si ottiene: 2 xy 2 yx yx vuI 2II 2II II+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− ± + = , (11) L'ambiguità di segno presente in questa equazione viene risolta considerando che l'ordine 6 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree dei momenti d'inerzia si conserva; pertanto, se Ix>I y risulterà Iu>I v, e viceversa. Nel caso in cui risulti Ix=I y (con Ixy diverso da zero) occorre fare riferimento alle equazioni (5) e (6) e sarà il segno del prodotto Ixy sin2 θ0 a determinare quale sia il maggiore tra Iu e Iv. 4. Figure dotate di simmetria Diciamo che un'area A è dotata di un asse s di simmetria retta se qualunque segmento congiungente due punti del perimetro della figura e perpendicolare alla retta s viene diviso in due parti uguali dalla retta s stessa. La simmetria si dice obliqua se la direzione dei segmenti bisecati dalla retta s non è quella della perpendicolare alla retta s. È facile vedere che il baricentro della figura giace sempre sull'asse di simmetria, sia essa retta o obliqua, e che il momento d'inerzia centrifugo Ist rispetto alla retta s ed a una retta t, avente origine in un qualunque punto di s e diretta come i segmenti bisecati dalla s, è sempre nullo. Pertanto s e t sono assi coniugati e, nel caso di simmetria retta, sono gli assi principali d'inerzia. 5. Caratteristiche geometriche di figure elementari Si consideri il rettangolo di base b ed altezza h riportato in Fig. 3; le sue mediane sono entrambe assi di simmetria retta e sono pertanto gli assi principali d'inerzia; il baricentro G, dovendo giacere, per quanto detto sopra, su entrambi gli assi di simmetria, è il punto d'intersezione delle mediane stesse. Assumendo un sistema di riferimento x, y con origine in G ed assi diretti come gli assi principali d'inerzia, si ha: 12 12 3 3hb I bh I y x= = 0I xy = Fig. 3 – Rettangolo. 7 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree Le due diagonali del rettangolo sono assi di simmetria obliqua; pertanto il momento d’inerzia centrifugo calcolato rispetto alle diagonali è nullo; pur non essendo le diagonali assi principali d’inerzia (non sono infatti ortogonali tra loro). Un caso particolare è costituito dalle lamine sottili, rettangoli di forma allungata in cui la larghezza b è molto maggiore dello spessore h. In questo caso è lecito considerare il rettangolo come equivalente ad una linea di densità pari allo spessore; di conseguenza il momento d’inerzia rispetto all’asse x può essere assunto pari a zero. Nel caso del quadrato l’uguaglianza dei lati b e h fa si che, assumendo ancora l’origine del sistema di riferimento nel baricentro e le mediane (assi principali d’inerzia) come assi coordinati, risulti Ix = Iy con Ixy = 0. Come conseguenza, dalle equazioni (5), (6) e (7) si ricava che al ruotare del sistema di riferimento risulta sempre Ix’ = Iy’ = Ix = Iy e Ix’y’ = 0. Questo significa che per questa figura piana tutti gli assi passanti per il baricentro sono assi principali d’inerzia, e che la figura possiede lo stesso momento d’inerzia rispetto a qualunque asse passante per il baricentro. Diversamente dal rettangolo, nel quadrato le diagonali (tra loro perpendicolari) sono quindi anch’esse assi principali d’inerzia. La stessa situazione si presenta anche per il cerchio, che è una figura dotata di simmetria polare rispetto al suo centro. Consideriamo ora il triangolo rettangolo AOB , di cateti b ed h, indicato in Fig. 4. Il baricentro G giace nel punto di incontro delle tre mediane; se si assume un sistema di riferimento x, y avente origine in G ed assi paralleli ai cateti si ha: 36 36 3 3hb I bh I y x= = 72hb I 22 xy −= Figura 4 – Triangolo rettangolo. 8 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree Il segno del momento d'inerzia centrifugo dipende dall'orientamento del triangolo rispetto al sistema di riferimento assunto; tale segno va modificato opportunamente, coerentemente con la definizione di momento d'inerzia centrifugo, nel caso che l'ipotenusa AB giaccia nel 2° quadrante del sistema di riferimento x, y (Ixy>0 ), nel 3° ( Ixy0 ), essendo i cateti OA e OB sempre distesi lungo gli assi x, y ed il sistema di riferimento x, y semplicemente traslato in modo che la sua origine sia sempre coincidente con il baricentro della figura. 6. Proprietà dei momenti del 1° e del 2° ordine I momenti statici e d'inerzia vengono definiti tramite un'operazione di integrazione sull'area della figura. Pertanto, se una figura piana di area A può essere scomposta in una serie di n aree di grandezza finita Ai, in modo che si possa scrivere: ∑= = n 1ii AA (12) il momento statico della figura ri spetto ad una generica retta r vale: ∑= = n 1iir r SS , (13) essendo Sr,i il momento statico della i-esima area Ai rispetto alla retta r. In maniera analoga, con ovvio significato dei termini Ir,i, It,i ed Irt,i, si potrà scrivere per i momenti d'inerzia rispetto ad una coppia di rette perpendicolari r e t: ∑= = n 1iir r II, (14) ∑= = n 1iit t II, (15) ∑= = n 1iirt rt II , (16) Le caratteristiche geometriche di figure complesse possono perciò essere calcolate scomponendo l'area in figure elementari di caratteristiche note, e poi sommando i contributi dati da ciascuna di esse. In particolare si può osservare che nelle figure piane che contengono delle cavità, le proprietà geometriche possono essere ottenute per differenza tra le proprietà della figura considerata piena e le proprietà della sola cavità. 9 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree A1 A2 Fig. 5 – Figura piana contenente una cavità. A titolo di esempio si faccia riferimento alla Fig. 5; sia A1 l’area del rettangolo esterno e A2 l’area della sola cavità. Le posizioni dei baricentri dei due rettangoli di area A1 e A2 sono facilmente determinabili in base a quanto illustrato al paragrafo 5; le proprietà geometriche della intera figura possono essere ottenute come differenza tra le proprietà del rettangolo esterno A1 e quelle della cavità A2. Questo significa che l'area A2 viene assunta di segno negativo nei conti relativi alla determinazione dell’area totale della figura, dei momenti statici e dei momenti d'inerzia. Il generico momento d’inerzia può infatti essere espresso come: 12 2h bhI x= Nel caso del rettangolo A2 il fattore bh diventa negativo, e conseguentemente diventa tale anche il momento d’inerzia. 7. Procedura per il calcolo delle proprietà geometriche La procedura per il calcolo delle proprietà geometriche di una figura piana, come verrà mostrato negli esempi al prossimo paragrafo, può essere schematizzata nei seguenti punti: 1. Scomposizione della figura in aree elementari di cui sono note le proprietà geometriche (posizione del baricentro e momenti d’inerzia rispetto ad una coppia di assi passanti per il baricentro). 2. Scelta di un opportuno sistema di riferimento da utilizzare nella determinazione della posizione del baricentro dell’intera figura, e determinazione delle coordinate dei baricentri delle aree elementari in cui è stata scomposta la figura nel sistema di riferimento adottato. 10 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree 3. Calcolo del momento statico della figura rispetto agli assi del sistema di riferimento facendo uso delle equazioni (17) e (18), e determinazione del baricentro di tutta la figura tramite l’equazione (1). 4. Calcolo, tramite le equazione (14), (15) e (16), dei momenti d’inerzia della figura rispetto ad un sistema di riferimento che, parallelo a quello di partenza, abbia origine nel baricentro dell’intera figura. Ciascun termine che compare nelle equazioni (14), (15), (16), in linea di principio, è fornito dalle relazioni del teorema di Huygens (2), (3) e (4). 5. Se il punto 4 ha fornito un momento d’inerzia centrifugo pari a zero, il sistema di riferimento adottato è già quello principale; in caso contrario occorre effettuare una rotazione del sistema di riferimento, come richiesto dall’equazione (8), e procedere al calcolo dei momenti d’inerzia principali, secondo le equazioni (9), (10) e (11). 11 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree 8. Esempi Si vogliano ora calcolare le caratteristiche geometriche della figura piana riportata in fig. 7. L'area ABCDEF può essere scomposta in due rettangoli, tracciando la retta orizzontale per D, rispettivamente AHEF (rettangolo 1) e HBCD (rettangolo 2), essendo H l'intersezione tra il segmento AB e la retta orizzontale per D. Risulta: A1 = 34 ⋅15 = 510 cm 2 A2 = 12 ⋅17 = 204 cm 2 Pertanto: A = A 1 + A 2 = 714 cm 2 2 1 Fig. 6 – Figura piana in studio (quote in cm). La posizione del baricentro G rispetto ad un dato sistema di riferimento si determina facendo uso della proprietà distributiva e ricordando che il momento statico di una figura rispetto ad una retta è dato dal prodotto dell'area della figura per la distanza del baricentro della figura stessa dalla retta; pertanto si ha, rispetto ad un qualunque sistema di riferimento x, y: Sx = A ⋅ yG = S x,1 + S x,2 = A 1 ⋅ yG1 + A 2 ⋅ yG2 (17) Sy = A ⋅ xG = S y,1 + S y,2 = A 1 ⋅ xG1 + A 2 ⋅ xG2 (18) Nel caso in esame si è assunto un sistema di riferimento con origine nel punto A ed assi x ed y diretti rispettivamente come AF e AB . I punti G1 e G2, rispettivamente baricentro dei rettangoli 1 e 2, sono nel punto di intersezione delle diagonali dei rettangoli stessi ed hanno coordinate, nel sistema di riferimento assunto: 12 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree xG1 = 17 cm yG1 = 7.5 cm xG2 = 6 cm yG2 = 23.5 cm Pertanto: Sx = 510 ⋅ 7.5 + 204 ⋅ 23.5 = 8619 cm 3 ⇒ yG = S x/A = 12.07 cm Sy = 510 ⋅ 17 + 204 ⋅ 6 = 9894 cm 3 ⇒ xG = S y/A = 13.86 cm Vogliamo ora determinare gli assi principali d'inerzia, rispetto al baricentro, della figura data. A tal fine utilizziamo una coppia di assi x, y aventi origine in G e paralleli agli assi x, y; tale scelta risulta particolarmente conveniente in quanto gli assi x, y sono paralleli agli assi principali d'inerzia dei due rettangoli 1 e 2. Indicando con b ed h le dimensioni dei rettangoli in direzione x ed y rispettivamente, e facendo uso del teorema di Huygens si ha: () () =−++−+=2 GG2 3 22 2 GG1 3 11 x yyA 12hb yyA 12hb I 2 1 () () 51778 07.125.23204 121712 07.125.7510 121534 2 3 2 3=− + ⋅ +−+ ⋅ = cm 4 () () =−++−+=2 GG2 2 3 2 2 GG1 1 3 1 y xxA 12hb xxA 12hb I 2 1 () () 69209 86.136204 121712 86.1317510 121534 2 3 2 3=−+ ⋅ +−+ ⋅ = cm 4 ( )( ) ( )( )= − − + − −= GGGG2GGGG1 yxyyxxAyyxxAI 2 2 1 1 ()( ) ( )( ) 25646 07.125.2386.13620407.125.786.1317510−= − − +− −= cm 4 Poichè ≠yx I 0 gli assi x, y non sono gli assi principali d'inerzia della figura; gli assi principali d'inerzia, che denoteremo con le lettere u, v sono quella particolare coppia di assi per cui è nullo il momento d'inerzia centrifugo. Imponendo la condizione Iuv=0 si ottiene: 02I2sin 2II I 0 yx0 yx uv= + − = θ θ cos da cui si ricava: tg = − − = yx yxII I 2 2 0θ ( ) 94.2 69209 51778256462 −= − − − ⇒ θ0 = − 0.6216 rad Il valore negativo di θ0 significa semplicemente che l'asse u si ottiene per rotazione dell'asse x in senso orario. I momenti d'inerzia principali rispetto agli assi u e v si ricavano 13 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree facendo uso delle relazioni del cerchio di Mohr; indicando con c l'ascissa del centro del cerchio e con r il suo raggio si ottiene: = + =2II cy x 60493.5 cm 4 =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 2 yx yxI II r 27086.48 cm 4 Poiché è yxII < deve risultare ; pertanto: vuII < Iu = c − r = 33408 cm 4 Iv = c + r = 87580 cm 4 Come secondo caso si consideri la sezione di forma trapezia mostrata in Fig. 7. Essa può essere considerata composta dal rettangolo 1, ABCE, e dal triangolo 2, ECD. 20 1 G1 30 G2 2 35 Fig. 7 – Area piana di forma trapezia (quote in cm). Nel sistema di riferimento che ha origine nel punto A, con asse x diretto come AD e asse y diretto come AB, a le coordinate dei baricentri delle due aree sono rispettivamente: xG1 = 10 cm y G1 = 15 cm xG2 = 25 cm y G2 = 10 cm L‘area, i momenti statici rispetto agli assi x ed y e le coordinate del baricentro G dell‘intera figura valgono rispettivamente: A = A 1 + A 2 = 2 8252256001530 2 1 3020cm =+=⋅+⋅ 3 11250 3 30 225 2 30 600cm S x =⋅+⋅= y ⇒ G = cm A S x 64.13 = 14 27/10/2010 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas La geometria delle aree 3 11625) 3 15 20(225 2 60 600cm S y =+⋅+⋅= x ⇒ G = cm A S y 09.14 = Si determinano ora i momenti d’inerzia delle due aree rispetto ad una coppia di assi x, y aventi origine in G e paralleli agli assi di partenza x, y: 4 2 3 1, 8.461098.1109 45000)64.1315(6003020 121 cm I x =+=−⋅+⋅= 4 2 3 2, 2.142312.2981 11250)64.1310(2253015 361 cm I x =+=−⋅+⋅= 4 2 3 1, 9.300369.10036 20000)09.1410(6003020 121 cm I y =+=−⋅+⋅= 4 2 3 2, 8.295933.267815.2812)09.1425(2253015 361 cm I y =+=−⋅+⋅= Per ciò: 4 60341 cm I x= 4 7.59630cm I y= Il momento d‘inerzia centrifugo è: 4 1, 4.3337)09.1410()64.1315(6000cm I y x −=−⋅−⋅+= 4 22 2, 8.11747)09.1425()64.1310(225 723015 cm I y x −=−⋅−⋅+ ⋅ −= 4 2.15085cm I y x −= Gli assi x, y non sono pertanto gli assi principali d' inerzia della figura; questi sono ruotati rispetto al riferimento x, y di un angolo θ0 tale per cui: rad II I tg yx yx 5472.1243.42 2 2 0 0≅⇒ = − − = θ θ Per ricavare i momenti d’inerzia rispetto agli assi principali d’inerzia calcoliamo l’ascissa c del centro del cerchio di Mohr dei momenti d’inerzia e il suo raggio r: = + = 12 y xII c 59986 cm 4 =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 2 2 yx yxI II r 15089 cm 4 Poiché è yxII > risulta : vuII > Iu = c + r = 75075.2 cm 4 Iv = 44896.8 cm 15 27/10/2010