Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

L_analisi delle stutture isostatiche

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzioni Dispense del corso A cura di Maria Gabriella Mulas Capitolo 3 L’analisi delle strutture isostatiche Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e Indice 1. I vincoli e le aste: definizioni generali 1 1.1 I vincoli a ter ra 2 1.2 I vincoli i nterni 4 1.3 Bilancio tra gdl e gdv 5 2. L’ analisi dello sche ma st atico 6 2.1 Le strutture isostatiche di una sola asta 7 2.1.1 Il calcolo delle reazioni vincolari nelle st rutture di una sola asta 10 2.1.2 Il caso delle a ste iperstatich e 10 2.1.3 La clas sifica zione delle struttu re in base all’ equilibrio. 11 2.2 Le strutture isostatiche co mposte da più a ste 13 2.2.1 L’ arco a tre cerniere 13 2.2.2 Il circolo chiuso isostatico 18 2.2.3 L’appendice isostatica 20 3. La procedura per il calcolo delle reazioni vincolari 23 3.1 Strutture che contengono anelli chiusi 24 4. Il calcolo delle azioni interne: definizion i generali 25 4.1 Le equazioni indefinite di e quilibri o dell' elemento di tr ave rettilineo 25 4.2 Esem pio di calcolo delle azioni interne 31 5. L'anali si cinematica delle strutture piane 35 5.1 L'anali si cinematica delle strutture piane com poste da una sola asta 38 5.2 L'anali si cine matic a delle s trutture piane com poste da più aste 40 Riferimenti bibliografici Lo scop o d i qu esta dispensa è d i integ rare le no zion i su ll’an alisi d elle stru tture isostatich e fo rnite nel lib ro d i testo di Statica: F.P. Beer, E.R. Johnston jr ., E.R. Eisenberg, Vector Me chanics for Engine ers, Statics . 7 th Edition, McGraw-Hill 200 4 (op pur e 8 th edition, 2007). La dispensa no n so stitu isce il testo ma lo completa; la preparazi one dell’esa me rich ied e quindi lo stu dio in parallelo su i du e testi, in qu anto nella d ispensa non si ripetono i co ncetti già presen tati n el testo , co me ad es. nel caso del calcolo delle azioni interne. Esem pi di eserci zi svolti o da svolge re, sia sul calcolo delle reazioni vinc olari, sia sull’utilizzo del le equazi oni indefi nite di equi librio e il traccia mento dei diagramm i, sono reperi bili nel la pa gina de lle di spe nse s ul sito del co rso on -line. La parte s ull’a nalisi cinem atica in coda a questa dis pensa è stata lascia ta solo per c ompletezza di trattazione perc hé veni va svolta negli a nni passati e le raccolte di es ercizi svolti vi fanno riferi mento. Ricordo tut tavia che NON è in programma, non vi ene ric hiesta all’esam e, e la verifica del lo sc hem a stati co d eve esser e fat to seco ndo le p rocedure delin eate n el cap ito lo 2. Milano, 6. 12.200 8 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 1. I vincoli e le aste: definizio ni generali Le strutture studiate in questo co rso sono com poste da elem enti, dett i aste, in cui una dim ensione (la lunghezza) è nettam ente prev alen te sulle altre due (larghezza e altezza, di mensioni della sezio ne trasversale). Da un punto di vista geom etrico, l' asta è il solido che viene generato dalla traslazione di una figura piana lungo una trai ettoria aperta percorsa dal suo baricen tro. L’analis i di questo tipo di strutture si basa pertanto su un m odello, detto m onodim ensionale, in cui ciascuna asta è schem atizzata con una linea, che rappresenta la sua linea d’asse; su tale linea verranno applicati vincoli e carichi. Ci limitiam o al caso delle strutture pi ane, caricate nel loro piano, con l' ulteriore restrizione d i aste aventi linea d'asse rettilinea o circo lare. Nei proble mi analizza ti ne l s egu ito riterr emo valid a l' ipotesi di piccoli spostamenti : gli spostam enti subiti dai pun ti della struttura per effetto dell' applic azione dei carichi esterni sono così piccoli da poter ess ere considerati trascu rabili , se confrontati con le dim ensioni globali della struttur a ste ssa. Questa ipotes i cons ente di scr ivere le con dizion i di equilib rio della stru ttu ra con riferim ento alla sua configurazione indeformata ; sotto tale ipotesi pertan to le aste possono essere assim ilate a dei corp i rigidi , in cui le m utue distanze tra i punti che compongono il corpo restano inalterate. I risultati de lla statica del corpo rigid o preced ente mente ricavati po sson o quindi ess ere applicati allo studio delle condizioni di equilibrio delle stru tture che an alizzerem o. Poiché ci occupiam o solam ente di problem i statici , ha per noi interesse il solo caso delle strutture che non possiedono delle possibilità di m ovi mento, indipendentem ente dal sistem a di forz e a cui sono soggette. Ci occupiam o pertanto di strutture vincolate , ovvero non libere di m uoversi nel piano a cui appartengo no, m a dotate di d ispos itiv i, detti vincoli , in grado di opporsi alla libera mobilità d ella struttura stessa. Coe rentem ente c on il m odello adottato per le aste, i vinco li so no applicati sulla linea d’asse dell’asta, in un singolo punto della stessa; non vengono considerati vincoli “distribuiti” su più punti dell’asse. La configurazione di un corpo ri gido nel piano è determ inata da tre param etri indipendenti, che per le aste rettilin ee ogg etto di stud io possono essere assun ti, ad esem pio, com e le coordinate di un punto dell’asta e la sua in clinazione rispetto ad un sistem a di riferim ento fisso (Fig. 1.1). D' altro canto anche il più generico m ovimento dell' asta nel piano a cu i appartiene, ch e è la rotazio ne intorno ad un punto giacen te nel piano stesso, è noto quando sia definita la posizion e (due coordinate) del punto Ω intorno a cui avviene la rotazion e, detto cen tro di istantanea rotazione , e il valore della rota zione stessa. I tre param etri n ece ssari ad individuare la conf igu razione d ell'asta prendono il nom e di gra di di libe rtà (gdl ) dell' asta stessa ; qu esti p aram etri div entano sei qua lor a si consider i la posizion e de ll'asta ne llo spazio. 07/10/ 200 9 1 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e x y θ y0 x0 Fig. 1. 1 – I gradi di li bertà dell’asta ne l pian o. I vincoli app licati all' asta hanno lo scopo di elim inare le su e possibi lità di movi mento. Tutti i v inco li cui facciam o riferim ento in questa p arte d el co rso sono: • lisc i, ovvero privi di attrito; • bilateri , ovvero im pediscono gli spostam enti in qualunque verso; • perfetti , ovvero privi di cedim en ti in direz ione d egli spos tam enti im pediti. I vincoli possono essere esterni , se collegano l' asta ad un rife rim ento fi sso, convenzionalm ent e indicato com e terra, o interni , se collegano tra di loro due o più aste. Un a prim a classificazione d ei vincoli si basa sul num ero, detto grado di vincolo ( gdv ), di componenti di spostam ento indipendenti che il vincolo è in grado di levare. Po iché le tre com ponenti indipendenti di spostam ento possono anche essere espresse come la traslazione lungo due direzioni m utua ment e perpendicolari e la rotazione, ne consegue che vincoli aventi pari gdv posson o avere effetti geom etrici del tu tto d ifferenti. Pe r il pos tula to delle rea zioni vinco lari preceden temente illu strato, differenti condizioni di na tura geometrica si rifle ttono nelle reazioni vincol ari che il vincolo è in grado di trasm ettere all’asta. 1.1 I vincoli a terra Le condizioni di natura cinem atica e di natura st atica im poste dai vincoli verranno illustrate in quanto segue relativam ente ai vincoli a terra. • Vincolo tr iplo: è detto incastro (F ig. 1.2), elim ina qualsiasi possi bilità di m ovimento al punto dell' asta a cui è applicato, e quindi all' intera as ta. Fornisce all’asta un sistem a di reazioni vincolari di risultante e mo mento risultante qualunque: due co mponenti cartesiani indipendenti della risultante e il m omento risultante rispetto al punt o su cui il vincolo agisce. 07/10/ 200 9 2 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e M H V Fig. 1.2 – L’incastro: rappresentazione ge ometrica e reazioni vincolari trasmes se. • Vincoli doppi : e lim inano solo due delle tr e possibilità di movi mento. La cernier a (Fig. 1.3a) im pedisce la traslazione lungo qualunque direzi one (il che si gnifica che elim ina le due com ponenti indipendenti di traslazione) del punto cui è applicata, lascia ndo libera la rotazione dell' asta into rno al proprio perno (punto Ω, Fig. 1.3a). Ω Ω (b) (c) (a) Ω ∞ • Fig. 1.3 – I vincoli doppi, r app resentazione geometrica: (a) cernie ra; (b) pattino; (c) manicotto. • Vengono definiti com e cerniere im proprie il pa ttino (Fig. 1.3 b) ed il manicotto (Fig. 1.3c), che elim inano la rotaz ione e una com ponente di tra slazione, rispettivam ente in direzione dell'asse dell' asta ed in direzion e perpendicolare all' asse dell' asta. L' aggettivo im proprio sta a significare che la traslazione che viene la sciata libera può essere vista co me una rotazione intorno ad un perno Ω posto a distanza infinita, ovvero, intorno al punto improprio della retta che è perpendicolare alla direzione de lla trasla zione la scia ta libera. • Le com pone nti indipendenti di reazione vincolare trasm esse da un vincolo doppio sono soltanto due, com e illustrato in Fig. 1.4. Esse sono una fo rza di risu ltante qualunq ue, m a applicata in un punto fisso, il perno della cerniera, nel caso della cerniera (Fig. 1.4a); nel caso del pattino (orientato com e in figura 1.3) sono una fo rza orizzontale, di m odulo qualunque e punto di applicazione arbitrario, usualm ente rappresentata tram ite una for za e una coppia ne l punto in cui agisce il vincolo (F ig. 1.4b). Nel caso del manicotto sono una forza verticale di m odul o qualunque applicata in un punto arbitrario, usualm ente rappresentata tram ite una forza e una coppia nel punto in cui agis ce il vincolo (Fig. 1.4c). H V M H M V (a) (b) (c) Fig. 1.4 – I vincoli doppi, r eazioni vincolari: (a) cerniera ; (b) pattino; (c) manicotto. 07/10/ 200 9 3 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e • Vincoli semplic i: elim inano solo una delle tre com ponenti indipendenti di spostam ento. I più com uni sono il carr ello (Fig. 1.5a), che consente la rotazi one e la traslazione in direzione parallela al piano di scorrim ento, im pedendo solam ente la tras lazione in direzione perpen- dicolare al piano stesso, e la bie lla (Fig. 1.5b), as ta m unita alle sue due es trem ità di du e cerniere, di cui una collegata a te rra (o a un'altra asta) e l'altra colleg ata all'asta che sta vincolando. La biella si comporta com e un carr ello, in cui la direz ione d el pi ano di scorrim ento è individuata dalla norm ale alla congiungente i perni A e B delle due cerniere di estrem ità. (a) (b) A A B C Fig. 1.5– I vi ncoli semplici: (a) carrello; (b) biella. • La reazione trasm essa dal carre llo (Fig. 1.6a) è una forza app licata in un punto prefissato (il punto in cui agisce il carrello) e di direzion e uguale a quella della norm ale al piano di scorrim ento del carrello. La reazione che la biella AB esercita su ll’asta BC è una forza F applicata in B, diretta com e la congiungente AB. Se la biella è direttamente caricata lungo la sua linea d’asse da forze esterne, alla com pone nte F, diretta com e la congiungente AB, si aggiunge una seconda com ponente, ad essa ortogonale, ch e serve a soddisfare le condizioni di equilibrio lo cali d ella bie lla. Ques to a spetto verrà discusso in dettag lio ne l seguito. V F B (a) (b) Fig. 1. 6 – I vi ncoli semplici, reazioni vin colari: (a) ca rrello; (b) biella. 1.2 I vincoli interni Il prim o vincolo intern o da consid erare è la con tinuità , che consente alle dive rse porzioni di m ateria di cui è co stituita la gen erica asta di for mare il tutt’uno ch e noi analizziam o; essa costitu isce, come è facile vedere, un vincolo triplo. Infatti due as te s eparate poss iedono 6 gdl in totale; se im ponia mo la continu ità tra il secon do estrem o della pr im a asta e il pr im o estrem o della se cond a asta, otteniam o un’unica asta che possiede solo 3 gdl . Del v incolo costitu ito dalla contin uità si tiene conto, nel caso delle a ste a venti linea d’asse ape rta, soltan to ne lla f ase d i dete rm inazioni de lle solle citazion i 07/10/ 200 9 4 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e trasm esse da lla gene ric a sezione de ll’ asta (c alco lo delle az ioni intern e). Oc corre tu ttavia conside rare che un'asta avente linea d'asse ch iusa può essere pensata com e o ttenuta da un’asta a linea d’asse aperta in cui i due punti di estrem ità vengano for zati ad occupare la m ede sima posizione: essa risulta pe rta nto interna mente 3 volte più vincolata di un asta la cu i lin ea d' asse sia aperta. Un vincolo interno, doppio o sem plice, può essere pensato co me ottenuto per degrado della continuità. Un vincolo doppio che coll ega tra loro due aste fornisce 2 gdv : inf atti le due aste considerate separatam ente hanno 6 gdl in totale; se si co llega tram ite cerniera (ad esem pio) il secondo estrem o della prim a asta con il prim o estrem o della seconda asta, si vede che fissata la configurazione della prim a asta (3 gdl ) è sufficiente un solo pa ram etro per individuare la configurazio ne della seconda. Gen eralizzando, un vin colo doppio ch e collega tra lo ro n as te fornisce 2 n-2 gdv . In m aniera analoga a quanto f atto con la cerniera, si può m ostrare che un vincolo sem plice ch e collega du e aste fornis ce 1 gdv ; un vincolo semplice tra n aste fornis ce 2n-3 gdv . Una cerniera e u n carrello che collegan o n aste a terra forniscono n ed n-1 gdv rispettivam ente. Le reazioni vincolari fornite dai vincoli interni sono dirette come quelle dei vincoli a terra e soddisfano il princip io di azion e e reazione, essendo azi on i mutue scambiate tra aste adiacen ti. 1.3 Bilancio tra gdl e gdv Il bilancio tr a i gradi di vincolo f orniti a lla s truttur a dai vinc oli, ed i gra di di libe rtà, pari a tr e volte il num ero delle aste com ponenti la struttu ra, cons ente una p rim a classificazione delle strutture: • strutture ipo statiche : n° gdl > n° gdv ; • strutture iso statiche : n° gdl = n° gdv ; • strutture ipe rstat iche : n° gdl < n° gdv . Le strutture ipostatiche hanno la possibilità di uno o più m ovi menti rigidi; non saranno oggetto di studio in quanto esse possono stare in equilibrio (ovvero, in stato di quiet e) solo per particolari valor i de lle f orze es ter ne applica te. Le stru tture isostatiche possiedono i vincoli nel num ero stre ttam ente necessa rio ad elim inare i m oti rigid i, e quelle iper statiche han no un num ero sovrabbondante di vinco li rispetto al num ero m inim o necessario. Il pareggio tra gdl e gdv è un a condizion e necessaria p erché non siano possib ili né m oti rigidi della struttura nel suo insiem e rispetto ad un riferim ento fisso (terra) né m oti relativi tra le diverse parti che com pongono l a struttura stessa. Tale condizione no n è tuttavia sufficiente: una dis posizione di vinc oli non corretta può consentire l'esistenza di m oti ri gidi, anche in strutture in cui gdv >gdl . Occorre quindi riso lvere due problem i, correlati m a distinti: (a) deve essere ve rif icata la d ispo sizion e dei vincoli; (b ) se questa è corretta, occorre determ inare le reazioni vincolari. L e procedure relative verranno illustrate nel segu ito. 07/10/ 200 9 5 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 2. L’anal isi dello schema statico La disposizione dei vincoli può essere veri ficata sia per via cinem atica, attraverso l' analisi cinematica che consente di determ inare se la geom etria dei vincoli sia tale da garantire l'assenza di movi mento, sia per v ia statica, attraverso l' analisi dello schema statico, che esam ina il s istem a di forze fornito dalle reazioni vincolari. I due m odi di procedere sono del tutto equivalenti, tenendo conto che la sostituzione di un vi ncolo con la relativa re azio ne vinco lare viene effettuata su lla base del postu lato delle reazioni vinco lari. In quanto segue verranno illus trate in dettaglio le proced ure basate sull’analisi dello schem a statico, che fanno uso dei conce tti di statica ap profonditi nella prim a parte del co rso; s ulla b ase de i risu lta ti o ttenuti n ell’an alis i de llo s chem a statico si pas serà ad affrontare il problem a della determ inazione delle reazioni vincolari. Il problem a della determ inazion e delle reazion i v inc olari è governato dalle ECS per i corpi rig idi vincolati, in cui dis tingu iam o il contributo delle forze attiv e (n ote) e d i quelle reattiv e (incognite): 0 M M 0 R R = + = + )( )( )( )( rO aO r a (2.1) Le (2.1) vengono scritte pe r tutte le aste che com pongono la struttura, ciascuna soggetta alla parte di carico esterno e alle reazioni vinc olari, dei vincoli a terra o intern i, che le com petono. Globalm ente si o ttiene un sis tem a di gdl equazioni lineari nelle gdv inco gnite rea zioni vin cola ri. Questo sis tem a ha tante equazioni quante sono le incognite solo ne l caso delle strutture isos tatiche; tuttavia, se i vincoli consentono delle possibilità di m ovi mento, una o più equazioni del sistem a risulterà non soddisfatta, anche in dipendenza dei carichi esterni agenti sulla struttura. L’analisi del sistem a di equazioni ci consente quindi di tr ovare un criterio per verificare la co rre tta disposiz ione dei vincoli. Una prestazione indispensabile per qualunque costruzione, sia essa di carattere civile o industriale, è che poss a essere in equilib rio so tto qualunqu e set d i forze esterne ap plicate. Non è infatti poss ibile conoscere a priori, in form a de term inistica, i carich i che saranno effettivam ente agenti durante la vita utile della struttura. Le forz e esterne avranno qui ndi risultante R(a) e mo me nto risultan te M (a) di valore arbitrario. Perché le forze reattiv e siano in gr ado di equilibrare le forze attive, occo rre che an che esse abbian o le stesse cara tteristich e: occo rre q uindi che, asta per asta, le reazioni vincolari forniscano una fo rza di direzione e m odulo qualunque ( R(r) arbitra rio) applica ta in un punto qualunque del piano ( M (r) arbitrario). Se questo è vero i vincoli sono disposti in m anier a corretta; nel caso opposto l’asta si dice lab ile , ed è dotata di possibilità di m ovi mento, finite o infinitesim e. Nelle strutture di più aste la labilità di una si ngola asta può causare la labilità dell’intera s truttura o d i una sua parte; entram be le situ azioni sono tuttav ia in accettabili. Le 07/10/ 200 9 6 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e procedure per la verifica della corretta disposizione dei vincol i e il conseguente calcolo delle reazioni vincolari verran no presentate nel seguito. 2.1 Le struttu re isostati che di una sola asta La procedura per la verifica della corretta disposizione de i vincoli nelle struttur e p ian e costituite da una sola as ta of fre il v antaggio della sem plicità, senza lev are gen eralità a lla tratta zione. Da to il postula to d elle rea zion i vinco lari, le c aratte ristiche del sistem a delle re azioni vincolari sono determ inate dalla g eom etria dei v inc oli sulla s truttur a. Esam iniam o in dettaglio i ca si possibili. 1. L'asta è vincolata con un incastro (vincolo tr iplo) nel punto A, com e indicato in Fig. 2.1a. In base al po stulato delle reazion i vincolari il vincolo fornisce, ne l punto A dell’asta, u n m omento e una forza di direzione qualunque , individuata da due com ponenti cartesiane indipendenti (Fig. 2.1b). Quindi un’asta vincolata con un incastro non è m ai labile. (a) (b) MA HA VA A Fig. 2. 1 – L’ asta incastrata : (a) config urazione geometrica; (b) dia gramma di co rpo libero. 2. L’asta è vin colata con u n vincolo d oppio in A e uno sem plice in B, dis posti com e illustrato in Fig. 2.2a. Le reazioni v incolari, illus trate in Fi g. 2.2b, sono costitu ite da una forza verticale in B e da due componenti cartesiane indipendenti in A, qui rappresen tate con una com ponente oriz- zontale e una verticale. L’insiem e delle tre forze è in grado di fornire una risultante qualunque applicata in un punto qualunque, perc hé la forza in B, somm ata a quella in A, dà luogo a una risultante che non è più applicat a in A (lo è solo se la for za in B ha m odulo nullo). (a) (b) VB HA VA A B Fig. 2.2 – L’asta cerniera-c arrello: (a) configuraz ione geometrica; (b) diagramm a di corpo libero. (a) (b) HA VA A B HB Fig. 2.3 – L’asta cerniera-c arrello labile: (a) config urazione geometrica; (b) diagramma di corpo libero. Se il carrello è posizion ato com e indicato in Fig . 2. 3a, la sua reazion e passa per la cerniera in A, punto di ap plicazione d elle reazioni della cernie ra stessa (Fig. 2.3b). Le reazion i vincolari in 07/10/ 200 9 7 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e questo caso hanno risultante qualunque, m a applicat a nel punto A, e possono riequilibrare solo un sistem a di forze attive che abbia le stesse caratteristiche. Il ragi onam ento non cam bia se la cerniera è impropria (F ig. 2.4a). L e reazioni vincolari forniscono un si stem a con risultante e mom ento risultante qualunque in quanto il vincol o in B f ornisce la co mponente verticale del risultan te, m entre il v incolo in A fornisce la co mponente orizzontale e il m omento necessario a far si che la risultante sia applicata in un punt o qualunque (Fig. 2.4b). Se il carrello ha piano di scorrim ento verticale (F ig. 2.5a) il sistem a delle reazioni v incolari in Fig. 2.5b è applicato in un punto qualunque m a ha risultante orizzontale; l’asta cosi vincolata è quindi labile. (a) (b) VB HA A B MA Fig. 2.4 – L’asta pattin o-carrello: (a) configurazione geomet rica; ( b) diagramma di corpo libero. (a) (b) HA A B MA HB Fig. 2.5 – L’asta pattino- carrello labile: (a) configurazione geom etrica; (b) diagramma di corpo libero. Da quanto illustrato si può de durre la condizione di labilità dell’asta cerniera-carrello: Un’asta vincolata con un vincolo doppio e un vincolo semp lice è labile quando la retta che defin isce la direzion e de lla r eazi one vincolare del vincolo semplice (normale al piano di scorri- mento del carrello o congiungente i perni delle due cerniere di estr emità per la biella) contiene il punto, proprio o improprio, su cui è applicato il vincolo doppio. Il movi mento reso possibile dalla labilità è la rotazione intorno al punto su cui è applicato il vincolo doppi o: se si tratta di un punto improprio il movimento possibile è una traslazione in direzi one perpendicolare a quella identificata dalla direzione della retta cui appartiene il punto improprio. Un’asta isostatica labile ha una possibilità di movim ento. Da questo punto di vista esiste una differenza tra la labilità dell’asta in Fig. 2.3 e que lla in Fig. 2.1. Nella situazione di F ig. 2.3 l’asta può ruotare intorno al punto A, pern o della cerniera, e il m oto di B è descritto da un arco di cir- conferenza. Poiché il vincolo in B non consente spostam enti orizzontali, è possibile solo una rotazione d i am piezza infinitesim a, in m odo c he lo spostam ento del punto B possa essere confuso con la tangente all’arco di circonferenza nel punto B ste sso. “Moto infinitesimo” va qui inteso com e moto di am piezza m olto piccola risp etto alle dim ensioni long itudinali dell’asta. Se il sistem a delle forze esterne possiede m omento dive rso da zero rispetto al punto A, l’equilibrio sarebbe possibile nella configur azione deform ata, in cu i la reazio ne orizzontale in B h a 07/10/ 200 9 8 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e acquis tato u n braccio m olto piccolo rispetto al p unt o A. Nel secondo cas o, illus trato in Fig. 2.5, il moto dell’as ta è una traslazione (vettori spos tamento di tutti i pun ti ug uali tra loro in m odulo, direzione e verso) d i ampiezza fi nita e non è possibile l’instaura rsi di una config urazion e di equilibrio. Dal nostro punto di vi sta i due casi sono equivalenti, pe rché la soluzione equilibrata nella config urazion e deform ata è in accettabile: l’equilibrio si inst au rereb be a spes e d i un valo re del m odulo della reazione m olto m aggiore del cari co esterno (alm eno un ordine di grandezza). 3. L’asta è vincolata con tre vincoli semplici (tre carrelli o tre bielle o una com binazione delle due) ciascuno dei quali offre una reazione vincolare di direzione nota, coin cidente con la retta norm ale al piano di scorrim ento per i carrelli o co n la congiungente i perni delle due cerniere di estrem ità per le bielle. Nel caso in esam e in fig. 2.6a le tre rette sono indicate con le lettere r,s,t . L'analisi dello schem a statico dell'asta vincol ata con tre carrelli può es sere ricondotta a quella dell' asta vin colata con u n vincolo d oppio ed un vincolo semplice; infatti, due v incoli s emplici applicati alla stessa asta possono sempre esse re com posti in m odo da dar luogo ad un vincolo doppio, idealm ente applicato nel punto di intersezione delle due rette che individuano la linea d’azion e delle reazion i trasm esse dai vincoli sem plici. In figur a 2.6 l'intersezione di due qualunque delle tre rette (ad es. le rette r ed s) determ ina un punto R del piano che rappresenta il punto di applicazione della ri sultante delle reazioni vinc olari dei due vincoli che hanno determ inato le re tte r ed s. L' asta r isulta non la bile se la re tta t non passa per R (Fig. 2.6a), e labile nel caso contrario (Fig. 2.6b). Questo risultat o è del tutto generale: Un’asta vincolata con tre vinco li semplici è labile quando le tre re tte r, s, t che rappresentano la linea d’azione delle tre reazioni vincolar i ammettono un punto di intersezione comune S; non è labile in caso contrario. Il punto di intersezione può essere pr\ oprio o improprio, come avviene nel caso in cui tutti e tre i vincoli sem plici impe discono la traslazione nell a medesima direzione. Il movimento reso possibile dalla labilità è una rotazione intorno al punto di in tersezione delle tre r ette; se il pun to d i interse zione è un punto improprio il moto possib ile è una tra slazione in direzione perpendicolare alla direzione della retta cui appartiene il punto improprio. (a) (b) Fig. 2. 6– L’a sta con tre vincoli semplici: (a) no n lab ile; (b) labile. 07/10/ 200 9 9 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e Il caso dell’asta vincolat a con tre carrelli che elim inano la st essa com ponente d i spo stam ento è illus trato in Fig. 2.7a. E’ im mediato ver ifica re che l’asta è libe ra di tra slare in direz ione orizzon tale; questa pos sibilità di m ovim ento si r iflette nel sistem a di rea zioni v incolari illu str ato in Fig. 2.7b, costituito da sole forze verticali. (a) (b) VC A B C VA VB Fig. 2. 7– L’asta con tre carrelli uguali: (a) configur azione geometrica; (b) diagramma di corpo libero. 2.1.1 Il calcol o delle r eazion i vincolar i nelle s tru ttu re di una s ola asta Dopo aver verificato la correttezza della d isposizione dei v incoli, la pro cedura per il calco lo delle reaz ioni vin colar i si può articola re n ei seguen ti p unti: 1. Si costruisce il diagram ma di corpo libero, so stituendo i vincoli con le opportune componenti di reazione vincolare. Se ci sono fo rze esterne e/o reazioni vincolar i inclinate rispetto all’usuale riferim ento (asse x orizzontale, ass e y verticale) conviene ridurle in componenti orizzontali e verticali, prestando attenzione al fatto che la risultante sia effettivam ente inclinata com e la forza di partenza. Le forze distribuite possono essere so stituite con la loro risultante applicate nel baricentro della distribuzione. Al fine di evitare possibili errori, un a stesa di carico continua su due o più aste dovrebbe essere sostituita con le risultanti parziali ag enti sulle diverse aste. 2. Si scrivono le ECS, estendendo tu tte le somm atorie sia alle forze esterne che alle reazioni. Nelle strutture isostatiche di una sola as ta si ha sem pre il pareggio tra le equazioni a disposizione e le reazioni incognite. L’adoz ione di u na delle form e alternativ e delle equ azioni d ella statica può aiutare a scrivere tre equazioni disa ccoppiate, in una sola incognita 2.1.2 Il caso delle aste iperstatiche Vengono dette iperstatiche le stru tture che possiedono un num ero di gdv superiore al num ero di gdl e hanno quindi vincoli in num ero sovrabbondante risp etto a quanto sareb be n ecessario per elim inare i m oti rigidi. Si definisce grado di iperstaticità la di fferenza gdv-gdl . Le stru ttu re d i una sola as ta sono iperstatiche quando gdv >3. Tu ttav ia, anch e in una s truttura ipers tatica occo rre v erificare ch e i vincoli sian o disposti correttam ente, e che siano in grado di fornire risultan te e m omento risultante del tu tto arb itr ari. A tito lo di esem pio si analizz i la struttura di Fig. 2.8a; si tratta di una m ensola, com e quella illus trata in Fig. 2.1a, cui è stato app licato un ulteriore carrello nel punto B. La struttu ra pertanto possiede 4 gdv ; le reazioni vincolari, illustrate in Fig. 2.8b, sono un sistem a di forze a risultan te e mom ento risultan te del tutto arb itrari. Si tratta infa tti delle reazion i vincolari d ella 07/10/ 200 9 10 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e mensola cui è stata agg iunta un ulteriore reazione verticale. Le reazio ni vincolari non possono essere determ inate in base a sole co nsiderazion i di equilib rio: dati i carichi esterni, s i può assegn are un valore arbitrario ad es. alla V B e trovare le rim ane nti reazioni a terra utilizzando le ECS. L’insiem e delle reazioni soddisfa le condizioni di equilibrio, m a resta indeterm inato a causa del valore arbitr ario as se gnato a una reazione. (a) (b) VB HA A B MA VA Fig. 2. 8 – L’ asta incastro-carrello: (a) confi gurazi one geometrica; (b) reazioni vincolari. La stru ttu ra in Fig. 2.9 a ha anch’ess a 4 gdv ; tu ttavia, com e illustra to in Fig. 2.9b, il sis tem a delle reazioni vincolari non contiene fo rze orizzontali ed è equivalente ad una forza verticale di m odul o arbitrario applicata in un punto arbitrario. La struttura, pur esse ndo iperstatica, è quindi labile. (a) (b) VC A B C VA VB M A Fig. 2.9 – Asta 1 volta iperstatica e labile: (a) c onfigurazione geometrica; (b) re azioni vincolari. 2.1.3 La classificazione delle st rutture in base all’eq uilibr io. L’analisi dello schem a statico viene effettuata su lla base delle condizioni geom etriche im poste dai vincoli, senza tenere in conto l’effettiva disposizi one dei carichi sulla str uttur a stessa . Questo f atto è reso m olto evidente d alla term inologia ing lese, che par la di strutture partia lly constrained , improperly constrained o properly constrained per ind ica re r ispettivam ente le s truttur e ipos tatiche , quelle labili (indif ferentem ente isostatiche e ip erst atiche), e le strutture correttamente vin colate (ancora indifferentem ent e isostatiche e ipers tatich e). La disposizione dei carichi tuttav ia influenza la possibilità che una struttura, pur dotata di possi- bilità di m ovim ento, possa stare in eq uilib rio. Da questo punto di vista di vidiam o le strutture in: • Struttu re a equilib rio im possibile (le ECS non s ono soddisfatte). Il s istem a di equazioni che ha le reazion i vinco lari com e incognite non ammette soluzion e. • Strutture ad equilibrio possibi le (le ECS sono soddisfatte). Di stinguiam o ulteriorm ente in: � Struttu re s taticam ente d eterm inate : le ECS, considerate co me un sistem a di equazioni aventi le reazioni vincolari com e in cognite, ammettono una sola soluzione. � Struttu re s tatic am ente indete rm inate: le ECS con le re azioni v inc olar i incog nite ammettono infinito alla n soluzioni, essendo n il grado di iperstaticità pari a gdv - gdl . 07/10/ 200 9 11 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e Vale al rigu ardo la s egu ente class ificazione: • Le stru ttu re ipostatiche sono ad equ ilib rio im possibile se le fo rze esterne non han no la s tessa caratteristica (com e punto di app licazione o com e direzione) de lle reazioni vincolari (Fig. 2.10a). In caso contrario sono ad equilib rio po ssi bile perchè una delle ECS è soddisfatta dalle forze esterne senza contributo delle reazioni vincol ari (Fig. 2.10b). L’equ azione di equilibrio soddisfatta corrisponde a un vincol o in più: la struttura divent a staticam ente determ inata. (a) (b) F F Fig. 2. 10 – St ruttura iposta tica: (a) equil ibrio impossibile; (b) equil ibrio possibil e. • Le stru ttur e isosta tiche n on labili son o sem pre staticam ente de term inate. • Le strutture isostatiche labili possono, com e le strutture ipos tatiche, essere ad equilibrio im possibile (Fig. 2.11a) o possibile (Fig. 2.11b). Nel secondo caso un\ a delle ECS è soddisfatta dalle reazioni vincoari senza c ontributo delle forze esterne; pe r effetto del vincolo aggiuntivo introdo tto d a questa equ azione d i eq uilib rio, la struttu ra div enta staticam ente ind eterminata, (a) (b) F F Fig. 2.11 – St ruttura isostatica labile: (a) e quilibrio i mpossibile; (b) equilibrio possibile. • Le strutture iperstatiche non labili sono sem pre sta ticam ente indeterm inate. • Le struttu re ipers tatiche labili (F ig. 2.12) possono essere ad equili brio impossibile o a equilibri o possibile. Nel secondo caso sono staticam ente indeterm inate, e il grado di iperstaticità sale di 1. (a) (b) F F (a) (b) Fig. 2.12 – Struttura iperstatica labile: (a) e quilibrio impossibile; (b ) equilibrio possibile. 07/10/ 200 9 12 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 2.2 Le struttu re isostati che composte da più aste Le strutture isostati che com poste da più aste possono essere ulteriorm ente suddivise tra quelle in cui la linea costruita con le linee d’ asse delle varie aste è aperta (il primo e l’ultimo estrem o non coincidono) e quelle in cui è chiu sa (il prim o e l’ultim o e strem o coincidono); solo il prim o c aso verrà trattato in m aniera approf ondita. Tra le strutture a linea d’asse aperta rivestono notevole im portanza quelle f orm ate da due sole aste. Si conside rino due aste colleg ate tr a loro da u na cerniera, in cui la con tin uità ne l punto di co llegam ento sia co stitu ita da u n vinco lo do ppio e non dal vincolo trip lo che garan tisce ch e le d ue aste insi em e for mino un unico corpo rigido. L’insiem e delle due aste possiede un gdl inte rno, la rotaz ione re lativa tra le due aste. Il pareggio gdl -gdv rich iede che ne l com plesso la str uttur a posse gga 4 gdv a terra. Se ciascuna parte della struttura deve essere sufficientemente vincolata, i vincol i a terra possono e ssere disposti solo in due m odi: vincolando a terra ciascuna asta con un vincol o doppio, o vincolandone una con un vincolo triplo e l’altra con un vincolo semplice. E sam inerem o nel dettaglio entram bi i casi; il prim o, che dà luogo allo schem a statico de tto arco a tre cerniere , è largam ente utilizzato nelle costruzioni civili e industriali. 2.2.1 L’arco a tre cerniere Definiam o c ome arco a tre cerniere una stru ttu ra com posta da due aste a e b, ciascun a vincolata a terra con un vincolo doppio e m utuam ente collegate tra di loro tram ite un vincolo doppio. I due vincoli a terra im pongono ai pern i delle due cern iere a terra, Ωa ed Ωb, di essere in un punto pref issato del piano ; il vincolo interno fissa la posizione del perno ωa,b della cern iera che co lleg a le aste (Fig. 2. 13a). La str uttur a prese nta una m obili tà intern a, quella co nsentita dal vincolo in terno doppio; l'assenza di m obilità si av rebbe in presenza di un vincolo tr iplo, ovvero della continuità tra le due as te, che di f atto le rend erebb e un unico corpo rig ido . Tale m obilità inte rna è com pensata dalla presenza a terra di quattro vi ncoli, uno in più di quelli (tre) ch e sarebbero necessari nel caso di un corpo rigido. Ω a ω a,b Ω b b a (b) (a) Fig. 2.13 – L’arco a tre cer niere: (a) per ni delle cerniere; (b) sche ma cerniera- carrello. 07/10/ 200 9 13 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e I vincoli a terra quindi devono eliminare i m oti rigidi della stru ttura nel suo insiem e e i m ovi menti relativi tra le parti che la com pongono. Perciò o ccorre verificare non solo che la struttura nel suo com plesso non presenti possibilità di m ovi mento risp etto ad un dato riferim ento, m a anche che non esistano possibilità di movim ento relativo tra le aste che com pongono l a struttura. Un pri mo modo di affrontare il problem a può ess ere di ricondurre l'analisi dello schem a statico dell'arco a tre cerniere a q uello dell' asta vincolata a terra con un vincolo doppio ed un vinc olo sem plice. Fissando l’ attenzion e ad e sem pio sull' asta a os serviam o ch e a è collegata a terra tram ite un vincolo doppio, il cui perno è un punto X pref issato del piano, e tram ite l' asta b che può essere con siderata com e una biella. La linea d’azion e dell a re azione f ornita dall' asta b, nel caso che questa non sia direttam ente caricata sulla sua linea d’a sse, è definita d alla retta x congiungente i due pern i delle cerniere di estrem ità, ωa,b e Ωb: se x non contiene il punto X, determinato dal vincolo doppio di a, si può concludere che l’as ta a è correttam ente vincolata e la stru ttura è non labile (Fig.2.13b). La dim ostrazione non cambia se si co ncentra l'attenzione sull'asta b anziché sulla a; si può pertanto concludere che l'arco a tre cerniere è non labile se le tre cerniere ( Ωa, Ωb, ωa,b) non sono allin ea te, e labile nel caso contrario (Fig. 2.14). a b Ω a Ω b ω a,b Fig. 2.14 – Condizione di l abilità dell’arco a tre cern iere. La conclusione cui siamo giunti non cam bia s e si analizza il sistem a delle reazioni vincolari dell’arco a tre ce rnie re. Si consid eri innanzitutto il ca so in cui il car ico agisca solo sulla cern iera centrale. Ciascuna delle due aste (AB e BC) è un two-force body , biella non soggett a a carichi lungo la sua linea d’asse. Le reazioni fornite dai vincoli in A e B sono quindi dirette rispettivam ente come la cong iung ente AB e BC. Senza alte rar e l’eq uilib rio della struttura le due rea zioni vin cola ri possono essere fatte scorrere lungo la loro linea d’azione e portate in B. (b) P B A C P B A C RA RB (a) Fig. 2.15 – Arco a tre cern iere cari ca to sulla cerniera centrale: (a) con figurazione; (b) reazioni vincolari. 07/10/ 200 9 14 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e L’equilibrio del punto B è possibile se la forza P, cam biata di segno, può essere scom posta lungo le rette AB e BC. Il problem a a mmette soluzione se le rette AB e BC non sono coincidenti (Fig. 2.15b) e non la amm ette se i due segm enti AB e BC sono allineati sulla m edesi ma retta (F ig. 2.16). E’ imm edia to osservare che nel caso labile le reazioni vincolari forniscono un sistem a privo di com ponente verticale. L’equilibri o alla rotazione dell’intera struttura intorno al punto A richiederebbe infatti la presenza di una reazione verticale in B, che però non può essere diversa da zero perché BC è un two-force body . Le condizion i di eq uilib rio della singola as ta e dell’intera struttura sono quindi incom patibili tra loro, dando orig ine alla labilità. Il movi mento concesso dalla labilità è, per ciascun a asta, la ro taz ione intorno al suo perno a terra, rispettivam ente i punti A e B. Lo spostam ento del punto C è infinitesim o, verticale, e com patib ile con il m oto di entram be le aste. P RA RB Fig. 2.16 – Reazioni vincolari dell’arco a tre cernier e labile. Si arriva allo stesso risu ltato se si co nsidera il c aso in cui il c arico agisca in un pun to interm edio di un’asta, com e indicato in Fi g. 2.17a. L’asta AB resta un two-force-body , e la reazione R A è dire tta com e la cong iun gente A C. L’asta BC è un three-force body , e il suo equilib rio è possib ile solo se le tre forze sono applicate nel m edesi mo punto. La reazione in B p uò essere scom posta nella forza RB, analoga a quella del caso p receden te e diretta com e la congiung ente BC, e in una forza TB ad essa perpendicolare. Si può osservare che: (a) la forza RB e la reazio ne incognita in C passano entram be pe r il pun to C; (b) è po ssib ile fare tra slare le f orze P e TB lung o le loro lin ee d’ azione in modo che abbiano com une punto di applicaz ione e determ inare il m odulo di T B in m odo che l a risultan te F di P e TB pa ssi anch’essa per il punto C. La verifi ca della labilità della struttura caricata sull’asta si riconduce quindi a quella della st ruttura caricata solo sul nodo centrale. (b) P B A C RA RB (a) P A C TB P F TB Fig. 2.17 – Arco a tre cern iere con caric o sull’asta: (a) config urazione; (b) di ag ramma di corpo libero. 07/10/ 200 9 15 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e Si osserv i che la reazio ne TB serve a soddisfare la condizione ch e le forze agenti lungo l’asta BC abbiano m omento nullo rispetto al punto C ed è com pletam ente dete rm inata da questa condizione. La forza TB non può quindi essere “spesa” ne lle condizioni di equilibrio gl obali dell’intera struttura; questo risu ltato g iustif ica il f atto che la b iella venga sem pre considerata com e un vincolo sem plice, in quanto en tra nelle ECS scritte per l’intera stru ttur a con un unico term ine incognito , la f orza R B diretta com e la congiung ente i perni delle due cerniere. La forza TB può inf atti esse re dete rm inata, prim a della scrittura delle ECS, dalla condi zione di equilibrio de lla biella stessa. Quanto ora detto consente di affrontare in m aniera ag evole il prob lema della determ inazion e delle rea zioni vinco lari dell’arco a tre ce rnie re; le reazion i incognite so no quattro, due per cias cun vincolo doppio che collega a terra le aste c omponenti l' arco stesso . Le tre ECS sono in questo caso necessarie m a non sufficienti perché la struttura, priva dei vincoli a terra, non è un corpo rigido m a presenta la m obilità rela tiva con sentita dalla ce rniera inte rm edia. G li app rocci poss ibili sono due. Il prim o, seguito dal libro di testo di Statica, prevede che oltre alle reazion i vincolari a terra vengano m esse in ev idenza anche le reazioni m utue de l v inc olo interno, inte rrom pendo la contin uità che lega le due aste. In tal m odo si hanno due corp i rigidi, per ciascuno de i quali possono essere scritte le 3 ECS; le incognite sono anch’esse nel num ero di sei, in quanto pe r il principio di azione e reazione le f orze scam biatesi attrav erso la cerniera interm edia sono ug uali ed opposte sulle due aste. Il secondo approccio m ira invece alla determ inazi one delle sole reazioni vincolari a terra, senza l’agg iunta di ulter iori in cognite, anc he perch é le forze trasm esse da lla c ernie ra inte rmedia possono essere de ter minate agevolm ente durante il c alco lo delle a zioni inte rne. A lle tre equ azioni ca rdinali, scritte per l’intera stru ttura, si può aggiungere un’u lteriore equazione che espr im a una condizione di equilibrio di una singola asta, scritta in m aniera tale che le reazioni del vincolo interm edio non offrano alcun contributo e quindi non accrescano il num ero delle incognite. (b) (a) P B A C Q P Q Ax Ay Bx By P Ax Ay Cx Cy (c) Fig. 2. 18 – Calcolo delle reazioni vi ncol ari: (a) confi gurazione; (b ) reaz ioni a te rra; (c) forze sull’asta AC. Si faccia riferim ento al sem plice arco a tre cerni ere non labile di Fig. 2.18a; esso è sicuram ente in equilibrio. Le quattro reazioni a terra, illustrate in Fig. 2.18b, so ddisfano quindi le tre ECS. Con un’operazione di sezione si può stac care l’a sta A C dal res to della st ruttura, m ettend o in ev idenz a le 07/10/ 200 9 16 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e forze incog nite trasm esse attravers o la cern iera in C (Fig. 2.18c). Per il postu lato delle reazioni vincolari questa operazione non altera l’equilibrio de ll’asta AC e per essa po ssono essere scritte le ECS. E’ i mmediato constatare che l’annullarsi del m omento risultan te ris petto al punto C f ornisce la 4° equazione cercata tra le reazi oni vincolari a terra, portando cosi al pareggio tra equazioni e incognite. L’equazione aggiuntiva elim ina la mob ilità interna m essa in evidenza dall'elim inazione dei vinco li a terr a ( la ro tazione relativa delle due aste intorno alla cern iera inte rm edia, Fig. 2.18b). La procedura può essere generalizzata nel m odo seguente: indichiam o con Ωa, Ωb i punto su cui agiscono le risultanti delle reazi oni vincolari dovute ai vincoli doppi applicati rispettivam ente alle aste a e b. Se il vincolo doppio agente su ll'asta è una cerniera questo punto coincide con il suo perno; se il vincolo doppio è ottenuto com e somma di due vincoli sem plici, Ω è l' intersezion e delle linee d'azione delle reazioni (note com e direzione e punto di applicazi one) dei due vincoli sem plici. Le due reazioni a terra fornite sull’asta a dal vincolo doppio che determ ina Ωa possono essere calco late attraverso il s eguente s istem a di due equazioni in due incognite: 0= ∑ Ωb M annullarsi del m omento risultante per l’intera struttura (2.2) () 0= ∑ a M b,aω annullarsi del momento risultante sulla sola asta a (2.3) Si osse rvi c he l’equaz ione (2.2 ) può esse re scritta in m aniera corretta anche rispetto a un altro punt o qualunque del piano, a spese di u na m aggiore co mplicazione nei calcoli; nell’eq uazione (2. 3), viceversa, la scelta di un punto diverso com porta l’aggiunta del contributo delle reazioni incognite in C e conduce a un’equazione errata se questo c ontributo non è conteggiato. Nel caso che i punti Ωb e/ o ωa,b siano punti im propri le equazion i di equilibr io alla ro taz ione diven tan o equaz ioni di equilibrio alla tras lazion e in d irezion e perpend icolare a que lla dete rm inata dal pun to im proprio. Le reaz ioni a terra fornite dal res tante vincolo (nel nostro esempio Ωb) p ossono esse re dete rm inate sfruttando le due equ azioni cardinali della s tatic a che non so no state u tilizzate nella d eterm inazio ne delle rea zioni in Ωa; s e Ωb è un punto proprio del piano, tali equazioni sono le equazioni di equilibrio alla traslazion e di tu tta la s truttura. 07/10/ 200 9 17 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 2.2.2 Il circolo chiuso isosta tico Un'altra stru ttur a su cu i è im portante fissare la nostra attenzione è quella che si ottiene da un arco a tre c erniere, qualora le aste a e b, anziché es sere co lleg ate a terra, s iano entrambe collegate, ciascuna m ediante un vincolo doppio, ad una terza asta c (Fig. 2.19a). La stru ttu ra così o ttenu ta, detta circo lo chiuso isos tatico , non presenta vincoli a terra, m a, se non labile, costituisce un corpo rigido in cui non esiston o possibilità di m ovi mento relativo tra le aste c he la com pongono. Infatti, l'asta a e l' asta b sono collegate tra di loro tram ite un vincol o doppio, il cui perno ωa,b è in un punto R pref issato del piano, e tram ite l' asta c, equiv alente ad un a biella e quindi a un vincolo sem plice. Le azioni mutue scam biate tra le due aste sono quindi in parte applicate nel punto R per ef fetto della cerniera ωa,b e in parte dire tte lungo la retta r congiungente ωa,c (perno della cern iera tra a e c) con ωc,b (perno della cerniera tra c e b). Com e nel caso dell’asta vincol ata con un vincolo doppio e un vincolo sem plice, se r non contiene il punto R l’equilibrio è possibile pe r qualunque sistem a di for ze agenti e le aste a e b non hanno possibilità di movim ento rela tivo (Fig. 2.19b). Il ragionam ento è analogo se si concentra l'attenz ione sulla coppia di aste b e c, o a e c; s i può con cluder e che il circolo chiuso è non labile se le tre cerniere ( ωa,b, ωb,c, ωa,c) non sono allineate, ritrovando così la stessa condizione che impone la non labilità dell'arco a tre cernie re, da cui il circolo chiuso isosta tico de riva. Il c ircolo chiuso isostatico non labile necessi ta poi, o vviam ente, di tr e vinco li a terra, dei quali occorre com unque controllare la corretta disposiz ione; tuttavia, diversam ente da quanto accade nel caso dell'arco a tre cerniere, i v inco li a terra no n concorron o ad elim inare mobilità in terne, ed il contro llo de lla d ispos izi one dei v incoli a terr a è totalm ente disgiun to d al contro llo de lla dispos izione dei vin coli in tern i. a c b ω a,b ω b,c a,c ω (b) (a) Fig. 2. 19 – Il circolo chiuso isostatico: ( a) perni delle cerniere intermedie; (b) analisi dello sc hema statico. Abbiam o vi sto che un'asta il cui asse sia una lin ea chius a (anello ch iuso ) è tre volte ipers tatica internam ente : il circolo chiuso isostatico può essere pens ato ottenuto per elim inazione di tre gradi di vincolo da una ta le asta, sostituendo in tre p unti la continuità (vincolo triplo) con una cerniera 07/10/ 200 9 18 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e (vincolo doppio). Tuttavia è isostatico qualunque an ello ch iuso otte nuto dall' anello ipers tatico per elim inazion e di tre g rad i di vinco lo, ad esem pio quello ottenuto collegando la m ede sim a coppia di aste m ediante cern iera e carrello (Fig . 2.20a). Viceve rsa, un a nello ch iuso in cui s iano stati e lim inati meno di tre gradi di vincolo è in ternam ente iperstatico (Fig. 2.20b) , e non può che dar luogo ad una struttura ipe rsta tic a: infatti, il num ero dei vin coli a terra no n può m ai essere inferio re a tre se s i vuole garantire l'assenza di m ovi menti rispetto al riferim ento per qualunque sistem a di carico. a b a b (a) (b) Fig. 2. 20– A nello chiuso: ( a) isostatico; (b) iperstatico. Un anello c hiuso in cu i siano s tati elim inati più di tr e grad i di vinco lo è inte rnam ente ipo statico (Fig. 2.21), m a può da r luogo ad una struttura isos tatica se i vincoli a terra sono in num ero e disposiz ione tale da com pensare le m obilità in ter ne. Tale situ azione è an aloga al caso dell' arco a tre cerniere in cui la m obilità inte rna è com pensata da quattr o vincoli a terr a, uno in più di quelli necessari per vinco lare a terra in maniera isostatica un corpo rigido. a b a b Fig. 2.21 – E sempi di anelli ipostatici. Il c irco lo ch iuso isosta tico costitu isc e la stru ttu ra di bas e in tutte le trav atur e r eticola ri e trova la rga applicazione anche al di fuori dell e costruzioni civili o i ndu striali (s i pe nsi ad es. al tela io di un a bicicletta). Nelle travature reticol ari possono anche essere presenti an elli ipostatici, a condizione che i vincoli a terra siano in num ero m aggiore di 3. In questo co rso le travature retico lari costituisco no l’unico esempio di applicazione de lle stru ttu re a linea d ’ass e chiusa. 07/10/ 200 9 19 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 2.2.3 L’appendice isosta tica Il secondo modo di vincolare a terra due aste collegate da un vincolo do ppio è quello di distribuire i vincoli in num ero diverso tra le due aste, com e indi cato in Fig. 2.22a. L’as ta AC, incastrata in A, è dotata di tre vincoli a terra; l’as ta BC è vincolata a terra con un vincolo sem plice, un carrello a piano di sco rrim ento orizzontale in B. A questi vincoli corrispondono le reazion i vin colari illustrate in Fig. 2.22b: tre com ponenti indipendenti su ll’asta AC e una sola sull’asta BC. (a) (b) HA A B C VA VB MA C Fig. 2. 22 – St ruttura di due aste: (a) conf iguraz ione ge ometrica; (b) diagramma d i corpo libero . In questo caso l’asta BC non è una biella, perché il vincolo in B è un carrello e non una cerniera, e non costituis ce un vincolo per l’asta AC. Infatti la bi ella è un vincolo sem plice p er l’asta che co llega a terra; se si riducono i gradi di vincolo alle es trem ità della biella (sostituendo la cerniera con un carrello, anche su un solo estrem o) la biella cessa di essere tale e quindi non è più un vincolo per l’asta che collega a terra. D’altro canto si può o sservare che l’asta AC è isostatica e correttam ente vincolata rispetto al riferim ento: pertanto non ha possibilità di m oti rigidi e tutti i suoi punti non com piono alcun m ovi mento. In particolare il punto C è fer mo: per l’asta BC la cerniera in C, nella situazione di vincolo di Fig. 2.22a, è equivalente a un vincolo a terra, per cui l’asta BC è nello schem a statico isostatico cerniera-carrello. Confrontando questo risultato con quanto ricavato sull’arco a tr e cerniere all’inizio del cap. 2.2.1, si ricava che lo schem a statico di Fig. 2.22a è profondam ente diverso da quello dell’arco a tre cerniere, in cui le aste concorrono con pari “peso” a dar luogo a una schem a statico isostatico, in quanto ciascuna delle due costituisc e un vincolo per l’altra. Nello sc hem a ora esam inato: (a) le due aste sono entram be isostatiche; (b) l’asta BC non costituisce alcun vincolo per la AC; (c) la AC fornisce alla BC un vincolo “a terra”, strettam ente necessario per im pedirne i m oti rigidi. In questa situa zione si dice che l’ asta BC cos titu isce un’ appendice is ostatica dell’asta AC. Generalizzando, possiam o dare la seguente definizione: Si definisce con il termine appendice isostatica un’ asta, o un insiem e di più aste, che sono in configurazione isostatica, present ando un pareggio tra gradi di libert à e gradi di vinc olo, ma in cui alcuni (o tutti) vincoli, anziché essere a terra, sono appoggiati su altre strutture. L’analisi de lla labilità dello s chem a sta tico o ra esam inato si svolge in m aniera coerente con quanto trovato. Nella struttura in Fig. 2.23a l’appe ndice isostatica cerniera-car rello è labile, perché la norm ale al piano di scorrim ento del carrello in B passa per la ce rnier a in C. Tu ttavia l’a sta AC, 07/10/ 200 9 20 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e incastrata a terra, è correttam ente vincolata e in grado di portare i carichi che dovessero gravare s u di essa. Nel caso in F ig. 2.23b i vi ncoli dell’appendice isostatica sono disposti in m aniera corretta; tuttavia l’asta AC, ora vincolata con un sistem a cerniera-carrello che ha ancora 3 gdv a ter ra, è lab ile perché la norm ale al piano di scorrim ento del carre llo in A passa pe r la cerni era in D. L’asta AC è quindi labile, e può m uoversi; il vi ncolo in C cessa di essere a te rra per l’asta BC e la labilità coinvolge o ra l’intera struttu ra. Infatti l’as ta BC non dispone di vincoli sufficienti p er im pedire il moto del punto C. (a) (b) A B C A B C D Fig. 2.23 – A nalisi della l abilità: (a) appendice is ostatica labile; ( b) intera strut tura labile. La distribuz ione dei v incoli s i riflette nella sc rittura delle co ndizion i di e quilib rio de lle due as te, considerate ciascun a so ggetta alle reazion i a terra e del vincolo in terno (Fig. 2.24 ). Il sistem a di reaz ioni vin colari dell’a sta BC è in grado di eq uilib rare qu alunque sistem a di forze este rne so lo se com prende anche le fo rze trasm esse dal v incolo in terno in C; vicev ersa, il s istem a di reazioni vincolari a terra di AC è in gra do di equilibrare qualunque sistem a di forze esterne anche in assenza delle reaz ioni in C. Questa osse rvaz ione è coerente con quanto appena discusso. MA HA VA Cy Cx VB Cy Cx Fig. 2. 24 – Le reazioni vincolari, a terra e dei vincol i interni, nell’ appendice iso statica. Poiché i vin coli sull’asta BC sono n el num ero strett am ente necessario (tre) il valore delle forze C x, Cy e V B è determ inato dalle condizioni di equilibrio della sola asta BC e dipende quindi solo dai carichi direttam ente agenti sull’asta B C stessa, co erentem ente con l’osservazione che l’as ta BC non è un vincolo per la AC; in partic olare, se sull’asta BC non agiscono carichi esterni, com e in Fig. 2.25a, la reazione V B (fig. 2.25b) e le azioni interne sull’asta sono identicam ente nulle. (a) (b) HA VA VB MA q q Fig. 2. 25 – Il caso dell’app endice isostatica scarica: (a) config urazione; (b) di ag ramma di corpo libero. Se invece il carico ag isce sull’ast a BC (fig. 2.26a) la reazione V B è diversa da zero, cosi come le azioni intern e su BC, le forze trasm esse dal v incolo in C e le reazion i in A . 07/10/ 200 9 21 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e (a) (b) HA VA VB MA q q L L L L Fig. 2. 26 – Il caso dell’app endice isostatica carica: (a ) configurazi one; (b) di ag ramma di corpo libero. Nel calcolo delle reazioni vincol ari, com e già fatto per l’arco a tre cerniere, si può scrivere un sistem a di equazioni che ha com e incognite le sole reazioni vincolar i a terra. O ccorre quindi scrivere un sistem a di 4 equazion i in 4 incognite: 3 equazioni sono le E CS per l’intera struttura, la 4° equazione è una delle ECS per una sola delle due aste che com pongono la struttura, scritta in maniera tale che le reazioni de l vincolo interno non offrano al cun contributo. La scelta più convenien te è quella di calco lare prim a la reazio ne dell’appendice isostatica, che dip ende solo dai carichi direttam ente agenti su di essa, e poi riso lvere le ECS per l’intera struttura. Valgono qui le stesse considerazioni svolte a pr oposito della equazione (2.3) ricavata per l’arco a tre cerniere. Il concetto di appendice isosta tica può essere estese a strutture più com plesse, quali l’arco a tre cerniere che appoggia una delle sue cerniera anziché a terra su un’altra asta is ostatica (Fig. 2.27). Anche nel caso illustrato in figur a le reazioni della cerniera a terra possono essere determ inate attraverso la procedura standard dell’arco a tre cerniere presentata al par. 2.2.1.e dipendono solo dai carichi direttam ente agenti sull’a rco a tre c erniere stesso. Fig. 2.27 – Esempio di appendice isostatica: un ar co a tre cerniere appoggiato su una mensola. 07/10/ 200 9 22 Scien za delle Co stru zioni M.G. Mu las L’ana lisi delle stru ttu re iso statich e 3. La procedura per il calcolo delle reazioni vinc olari Seguendo quanto esposto al cap. 2, il calcolo dell e reazioni vincolari a terra per le strutture isostatiche aventi linea d’asse aperta viene effettuato sec ondo la seguente procedura: 1) Costruzion e del d iagra mma di cor po libe ro: s ostitu zione dei vin coli a te rra con le rela tive com ponenti di reazione vincolare che ciascun vincolo è in grado di trasm ettere alla struttura (postulato delle reazioni vincol ari), preferibilm ente già in com ponenti orizzontali e verticali. 2) Scrittura delle tre ECS per la struttura, cons iderata com e un corpo rigido libero nel piano, caricata dalle forze esterne note e dalle reazioni vincolari incogn ite. Se dopo la scrittura delle ECS si è raggiunto il pareggi o tra equazioni e incognite, si riso lve il sistem a di equazioni e si procede al calcolo delle azioni inte rne (vedi p aragrafo succes sivo). 3) Se dopo il punto 2 non si è raggiunto il pareggio, questo significa che la struttura priva dei vincoli a terra presenta delle m obil ità interne, ovvero delle possibili tà di m oto rela tiv e tra le as te c