Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

Lo stato di deformazione

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Processi Industriali Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzioni Dispense del corso Prof. Maria Gabriella Mulas Dipartimento di Ingegneria Strutturale Capitolo 5 Il continuo deformabile: Lo stato di deformazione Indice 1. Lo stato di deformazione: considerazioni introduttive ................................ ................................ .................. 1 2. Il tensore delle picco le deformazioni in 2D ................................ ................................ ................................ ... 4 2.1 Significato della matrice  ................................ ................................ ................................ ....................... 6 2.2 Significato della matrice  ................................ ................................ ................................ ...................... 9 2.3 Deformazione estensionale di un elemento unitario ................................ ................................ .............. 10 3. Il tensore delle piccole deformazioni in 3D ................................ ................................ ................................ . 12 3.1 Le proprietà del tensore delle piccole deformazioni ................................ ................................ .............. 14 4. Le equazioni di congruenza ................................ ................................ ................................ ......................... 16 4.1 Le equazioni di congruenz a sono condizioni necessarie ................................ ................................ ........ 17 5. Esercizi ................................ ................................ ................................ ................................ ........................ 20 Notazione utilizzata: nel seguito della trattazione vettori e matrici sono indicati in grassetto. Le component i del vettore spostamento s verranno indicate con i simboli sx sy ed sz . Referenze [1] AA.VV. , Lezioni di Scienza delle Costruzioni , a cura del Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Milano, Clup, 1977. Cap. 7, par. 6, 7, 8, 9. [2] L. Corradi Dell'Acqua. Mecca nica delle Strutture. Vol. I: Il comportamento dei mezzi continui . Mc - Graw Hill, 1992: par. 2.2.1, 2.2.2, 2.3.4, cap. 2.4. [3] L. Malvern , Introduction to the mechanics of a continuous medium, Prentice Hall, 1969. cap. 4 par 4.1, 4.2, 4.3 e 4.7 fino a pag. 189 . [4] F.P. Beer, E.R. Johnston jr., J.T. DeWolf, Meccanica dei solidi. Elementi di Scienza delle Costruzioni . 2° edizione. McGraw -Hill 2002: cap 7. par. 7.10 -13 ; 3° edizione cap. 7, par. 7.10 -11 . La 3° edizione contiene pochissimi esercizi sullo stato di defor mazione piano. [5] A. Castiglioni, V. Petrini, C. Urbano. Esercizi di Scienza delle Costruzioni . Masson 1993.Cap. 4. Può essere consultato per gli esercizi sugli stati di deformazione piana: Cap. IV, pag. 156 -161. [6] A. Luongo, A. Paolone, Scienza delle Costruzio ni. Vol. 1. Il continuo di Cauchy. Casa Editrice Ambrosiana, 2005. Cap. 1. La referenza [5] è un eserciziario. Il testo del Corradi [2] e quello del Malvern [3] sono anch’essi corredati di esercizi, svolti e/o da svolgere. I testi indicati sono tutti rep eribili nelle biblioteche di Ateneo. Qualche esercizio sullo stato di deformazione è proposto in fondo a questa dispensa. Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 1 17/12/2009 1. Lo stato di deformazione: considerazioni introduttive Lo studio dello stato di sforzo ha condotto alla posizione di un problema che è staticamente indeterminato: date le forze esterne agenti non si dispone infatti di un numero sufficiente di equazioni di equilibrio che consentano la determinazione univoca delle componenti del tensore degli sforzi. Nell’analisi del continuo si era r imossa l’ipotesi di rigidità che ha consentito di trattare come corpi rigidi le aste che compongono le strutture composte da elementi schematizzabili come monodimensionali. Viene quindi spontaneo chiedersi se le informazioni che mancano per rendere determi nato il problema dello stato di sforzo possano essere fornite dall’analisi dello stato di deformazione. Questa riveste la stessa importanza dell’analisi dello stato di sforzo; viene condotta in maniera del tutto indipendente, sulla base di sole considerazi oni di natura geometrica. Si prescinde quindi nell’analisi delle deformazioni dalle cause che hanno prodotto le deformazioni stesse: queste possono essere delle forze applicate al corpo, ma anche delle variazioni termiche o dei cedimenti vincolari. Nel def inire lo stato di deformazione si seguirà lo stesso approccio utilizzato per la definizione dello stato di sforzo, cioè si arriverà ad una definizione:  in un punto (o, con linguaggio più rigoroso, nell’intorno di un punto);  dipendente dalla giacitura della fibra che si considera nel punto assegnato. Diciamo che un corpo solido si è deformato quando la sua configurazione geometrica si è modificata, perché, a seguito di uno spostamento dei suoi punti, è variata la posizione, assoluta e/o relativa, dei punti a ppartenenti al corpo. Con il termine deformazione designiamo l’intero cambia - mento geometrico con cui i punti di un corpo in uno stato iniziale (che chiameremo configurazione indeformata) si spostano, portandosi in un’altra configurazione (che chiameremo d eformata). Facciamo riferimento a un corpo continuo che, nella configurazione indeformata, occupa nello spazio un volume V, delimitato da una superficie S. Come illustrato in Fig. 1.1, in un dato sistema di riferimento cartesiano ortogonale ( x, y, z ), la v ariazione di posizione di ciascun punto P può essere descritta dallo spostamento s che il punto subisce, definito come la differenza tra il vettore posizione di P nella posizione finale P’ e quello della posizione iniziale x(xp, y p, zp): (1.1) Il vettore posizione x’ è dato da una funzione , detta trasformazione, della posizione iniziale del punto: (1.2)  p p p z, y, x    x   x x s   x,y,z  x χ x  Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 2 17/12/2009 Fig. 1.1 – La configurazione deformata del volume V (tratta da [6]). Le propriet à del campo di spostamenti che considereremo discendono dalle proprietà della funzione . Questa funzione è del tutto arbitraria, ma ammettiamo, data la natura fisica del problema, che sia tale per cui il campo di spostamenti soddisfi delle condizioni di r egolarità, dette di congruenza , all’interno del volume V e sulla superficie di contorno S. Fig. 1.2 – Lacerazioni e compenetrazioni in campi di spostamenti descritti da funzioni non biunivoche [6].  In V (congruenza interna ):  il campo vettoriale di spost amento s stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti P della configurazione iniziale V e i punti P’ della configurazione finale V’ , in modo da non indurre nella materia lacerazioni o compenetrazioni, come illustrato in Fig. 1.2 (tratta dalla ref. [ 6]). Le prime si verificano se allo stesso punto P nella configurazione iniziale corrispondono due diversi punti P’ e Q’ nella configurazione deformata; le seconde si verificano se lo stesso punto P’ della configurazione deformata corrisponde a due diversi punti P e Q nella configurazioni iniziale. Da un punto di vista matematica questa condizione esprime il fatto che sono funzioni univocamente definite sia la trasformazione diretta (x) sia quella inversa -1(x’).  le componenti di s(x, y, z ) sono funzioni continue insieme alle loro derivate (non sono quindi possibili dei punti angolosi nelle configurazioni deformate). Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 3 17/12/2009  Sulla frazione Su della superficie esterna S (congruenza esterna ) in cui sono applicati i vincoli, sono verificate le condizioni geometriche imposte sul contorno del corpo dagli stessi vincoli:  su Su. Alle ipotesi di congruenza aggiungeremo l’ipotesi, già vista nello studio della statica dei sistemi di travi, di piccoli spostamenti . Questa ipotesi consta infatti di du e parti, una statica e una cinematica:  gli spostamenti e le deformazioni del corpo sono cosi piccoli da non influenzare il modi in cui l’equilibrio si instaura nel corpo, consentendo di scrivere le condizioni di equilibrio nella configurazione indeformata;  gli spostamenti e le deformazioni del corpo sono cosi piccoli che la cinematica della variazione di configurazione è quella di un atto di moto a partire dalla configurazione iniziale; pertanto è lecito confondere gli spostamenti con la loro parte del prim o ordine e trascurare i gradienti dello spostamento rispetto all’unità. Nell’esprimere la definizione delle deformazioni questa ipotesi inoltre implica che, come verrà chiarito nel seguito, nella misura della deformazione stessa si assuma come configurazio ne di riferi - mento quella iniziale indeformata, in maniera analoga a quanto viene fatto nel calcolo delle reazioni vincolari e delle azioni interne. Le deformazioni ricavate sotto questa ipotesi prendono il nome di piccole deformazioni . Gli spostamenti su biti dai punti del corpo possono provenire dai seguenti contributi:  Un moto rigido sia traslatorio, sia rotatorio;  Un contributo deformativo in senso stretto, che può essere distinto in una dilatazione , cambiamento di geometria associato con un cambiament o di volume, area o lunghezza, e in una distorsione , che modifica la forma dell’elemento senza modificarne l’estensione. Nella descrizione della configurazione deformata a partire dalle componenti del vettore sposta - mento e sotto l’ipotesi di piccoli spos tamenti, i contributi che gli spostamenti dei punti del corpo producono nella variazione della configurazione si combinano attraverso una semplice somma e lo stato di deformazione viene definito tramite un tensore del secondo ordine simmetrico. Il riconosc ere il carattere tensoriale dello stato di deformazione consentirà di estendere al caso delle deformazioni tutte le derivazioni già viste nella trattazione delle proprietà dello stato di sforzo.    z,y,x z,y,x s s  Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 4 17/12/2009 2. Il tensore delle piccole deformazioni in 2D Consideriam o per ora uno stato di deformazione piana, cioè una configurazione deformata in cui gli spostamenti in esame appar tengano ad un piano xy e non presentino variazioni lungo l’asse z, come illustrato in Fig. 2.1. Fissiamo l’attenzione su un intorno del gener ico punto P, costituito da un fascio di fibre materiali uscenti da P. Sulla generica fibra orientata nella direzione individuata dal versore n consideriamo il punto Q, situato a una distanza infinitesima dL dal punto P. Il vettore posizione di Q rispetto a P è quindi dato da d x=n dL essendo: (2.1) Le componenti di n (coseni direttori della direzione orientata da P a Q) sono definite da: (2.2) Figura 2.1 – Spostamento relativo dei pun ti P e Q. Per effetto degli spostamenti subiti dal corpo, il punto P si porta in p e il punto Q si porta in q. Lo spostamento relativo ds tra P e Q è definito da: (2.3) Si osservi che la quantità ds è zero nel caso di una traslazion e rigida, in cui i vettori spostamento di tutti i punti sono uguali e paralleli tra loro. Ai fini della misura dell’impegno richiesto al corpo in termini deformativi la quantità ds non è però sufficiente e occorre determinare lo spostamento relativo unitar io, che si ottiene dividendo lo spostamento relativo ds per la lunghezza, misurata nella configurazione indeformata del corpo, del segmento dL . Il rapporto tra le due quantità infinitesime ds e dL fornisce semplicemente la derivata direzionale s,n del vett ore spostamento nel punto P, in direzione del versore n:              P Q P Q y y x x dy dx dx                 2 1 n n dL dy dL dx n Xx Xy S sq S sp XP XQ X n X dL X q X p S ds         y x Q ds ds d Ps s s Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 5 17/12/2009 (2.4) Facendo uso della regola di derivazione delle funzioni composte e valutando nel punto P le derivate parziali della funzione spostamento, indipendenti da dx/dL e dy/dL , risulta: (2.5a) (2.5b) Le (2.5) possono essere convenientemente espresse in forma matriciale: ovvero: (2.6) La matrice  rappresenta la matrice gradiente di spostamento 1. Nella sua trasposta in (2.6) ciascuna riga contiene le compo nenti del gradiente di una componente di spostamento e ciascuna colonna contiene le derivate rispetto a una stessa variabile delle componenti del vettore spostamento. Il generico t ermine della matrice è definito come: i, j = x, y (2.7) La matrice costituisce l’operatore che, applicato su ciascun versore n, fornisce lo spostamento relativo unitario per un elemento infinitesimo PQ , inizialmente diretto come n. Si può già osservare che la relazione appena definita è del tutto analoga alla relazione di Cauchy ricavata per lo stato di sforzo. Infatti, se indichiamo con 1 e 2 i vettori colonna che contengono rispettivamente le derivate rispetto agli assi x e y delle componenti del vettore spostamento e che costituiscono le due colonne della matrice T, e con n la derivata del vettore spostamento rispetto alla direzione definita dal versore n, possiamo scrivere: (2.8) 1Si può osservare che la relazione (2.6) definisce un tensore, perché il gradiente di un campo vettoriale è dato da un tensore; la matrice  è la matrice Jacobiana, definita come la matrice che raccoglie tutte le derivate parziali del primo ordine di una funzione differenziabile che ha dominio e codominio in un campo vettoriale. La sua import anza risiede nel fatto che è la migliore approssimazione del primo ordine della funzione nell’intorno di un punto. n P s s s s , dL ds dL ds dL dL d y x Q                 dL dy y s dL dx x s dL ds x x x     dL dy y s dL dx x s dL ds y y y                                                   dL dy dL dx y s x s y s x s dL ds dL ds y y x x y x n Ψ s s    T n, dL d j i ji x s     2 2 1 1 n n dL d n      ψ ψ ψ s Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 6 17/12/2009 Diversamente però da lla matrice che definisce il tensore degli sforzi, la matrice  non è simmetrica. Inoltre, se si vuole attribuire alla misura della deformazione il significato di spostamento relativo non rigido, occorre ricordare che la misura (2.6) non si annulla nel cas o di una rotazione rigida, a meno che i due punti P e Q non siano allineati sull’asse di rotazione. Vogliamo ora mostrare come la decompo sizione della matrice , nelle due componenti simmetrica ed emisimmetrica, conduca alla definizione di due ulteriori m atrici  e , che rappresentano nell’intorno di P rispettivamente le deformazioni e gli spostamenti prodotti dalla rotazione rigida locale, che non sono stati conteggiati nella differenza sQ-sP. La decomposizione di  porta a scrivere: Pertanto: (2.9) Le due matrici (e i relativi tensori)  ed  vengono rispettivamente definite matrice di deformazione e matrice di rotazione; in termini simbolici risulta: (2.10) (2.11) Le matrice T e T seguono quindi una convenzione analoga a quella adottata nella definizione del tensore degli sforzi TT, in cui ciascuna colonna descrive le componenti di un vettore. Si mostrerà in quanto seg ue che effettivamente le deformazioni dell’elemento sono tutte dovute alla matrice T mentre la rotazione rigida nell’intorno del punto è descritta compiutamente dalla matrice T. 2.1 Significato della matrice  Consideriamo ora un campo di spostamenti p er cui la matrice  sia identicamente nulla. In ciascun punto del campo gli sposta menti relativi sono forniti interamente dalla matrice , e producono la deformazione descritta in Fig. 2.2: i punti B, C e D, di coordinate ( dX, 0 ), ( dX , dY ) e ( 0, dY ), a de formazione avvenuta si sono portati rispettivamente in b, c e d. Gli spostamenti relativi del punto B, definiti dalle (2.5 a,b), saranno dati da:  ji ij ij Ψ Ψ  2 1   ji ij ij Ψ Ψ    2 1                                                                                               0 2 1 2 1 0 2 1 2 1 y s x s x s y s y s y s x s x s y s x s y s x s y s x s x y y x y x y y x x y y x x yx xy y xy yx x T con               ε yx xy xy yx T con            0 0 Ω Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 7 17/12/2009 I coseni direttori della direzione AB sono ovvi amente dati da: ; L’applicazione della (2.6), in cui la sola parte  è diversa da zero porta a scrivere: (2.12a,b) Figura 2.2 – Spostamenti relativi generati dalla sola matrice  Gli spostamenti relativi del punto D possono essere determinati in maniera del tutto analoga: (2.13a,b) Le colonne della matrice di deformazione pertanto rappresentano gli spostamenti relativi unitari per un elemento originariamente diretto come X e Y rispettivamente; ad esempio i due termini x ed xy sono rispettivamente lo spostamento relativo unitario in direzione X e Y di un segmento inizialmente disteso come X. I termini x ed y hanno un significato geometrico analogo: sono gli spostamenti del punto di estremità del segmento considerato (rispett ivamente disteso lungo l’asse x e lungo l’asse y), in direzione del segmento stesso, divisi per la lunghezza del segmento stesso. Rappresentano quindi lo spostamento del punto di estremità di un segmento di lunghezza unitaria disteso come gli assi coordina ti: sono quindi una misura della variazione di lunghezza (allungamento o accorciamento) subita dal segmento stesso. Per questo motivo i due termini vengono definiti deformazioni dX ds dL ds x x dX ds dL ds y y 1 dX dX dL dX 0 dX dY dL dY              dL ds dL ds y x           0 1 y xy yx x      dX ds dL ds dX ds dL ds xy y xy y x x x x           X X X Y X A X B X C X D X d X c X b X dX X dY X θ2 X θ1 dY ds yx x   dX ds x x   dX ds xy y   dY ds y y       1 0 n  dY ds dL ds dX ds dL ds y y y y yx x yx x           Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 8 17/12/2009 estensionali ; discende dalla trattazione che le deformazioni estensionali sono positive quando implicano un allungamento del segmento. I due termini a indici diversi rappresentano lo spostamento trasversale del punto di estremità del segmento disteso come l’asse. Ad esempio, il termine xy è lo sposta mento trasversale di B rispett o ad A, diviso per la lunghezza AB ; misura pertanto la tangente dell’angolo di cui si inclina il segmento che era disteso originariamente lungo l’asse. Data l’ipotesi di piccoli spostamenti la tangente può essere confusa con l’angolo e pertanto si può scri vere: e analogamente Si osservi che, poiché xy = yx risulta 1 = 2 e quindi la rotazione netta dell’elemento ABCD è nulla; le due deformazioni vengono dette deformazioni tangenziali o scorrimenti angolari. Nella pratica ingegneristica ha interesse determinare la variazione dell’angolo tra due segmenti AB e AD inizialmente perpendicolari più che misurare l’inclinazione di ciascun segmento. La misura ingegneristica dello scorrimento angolare, indicata con la lettera , è data dalla somma delle due componenti tensoriali xy = yx: (2.14) La misura tensoriale delle deformazioni tangenziali presenta il vantaggio di godere di tutte le proprietà dei tensori, di utilizzo agevole dal punto di vista matematico. Le deformazioni tangenziali, sia nella misura tensoriale, sia nella misura ingegneristica, sono positive quando determinano una diminuzione dell’angolo tra gli assi coordinati, inizialmente retto. Infine, si può definire con n la frazio ne della derivata dello spostamento in direzione n dovuta al solo contributo della matrice . Come conseguenza della (2.6) è pertanto possibile scrivere la seguente relazione, del tutto analoga alla relazione di Cauchy ricavata per gli stati di sforzo: (2.15) Il vettore n rappresenta lo spostamento, relativo al punto P, di un punto posto a distanza unitaria da P lungo la direzione definita dal versore n, di coseni direttori n1 e n2. I vettori 1 ed 2 sono la prima e la seconda colo nna della trasposta della matrice n, il cui significato geometrico è stato appena presentato. 1 1 y y xy tg dX ds dL ds        2 2 yx tg      x s y s y x yx xy        2 1 n n T 2 1 n ε ε n ε ε     Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 9 17/12/2009 2.2 Significato della matrice  Il significato della matrice  può essere chiarito quando si considerino gli spostamenti di un punto Q appartenente al piano xy , prodotti da un moto rotatorio intorno ad un asse Z perpen dicolare al piano e passante per il punto P, come illustrato in Figura 2.3. Sia dL la lunghezza del segmento PQ , di componenti dx e dy ,  l’angolo di cui il segmento dL è inclinato sull’asse x, e z il valore dell’angolo di rotazione intorno all’asse z. Le due componenti ds x e ds y dello spostamento ds del punto Q valgono rispettivamente: (2.16a) (2.16b) Gli spostamenti relativi pertanto valgono: ovvero: Se z è piccolo, risulta e per cui: (2.17) Ponendo z = yx = -xy si ottiene esattam ente la matrice di rotazione precedentemente derivata. Figura 2.3 - Spostamenti generati da un moto di rotazione rigida. A riprova di quanto detto si possono determinare gli spostamenti dei punti B e D (Fig. 2.4) conseguenti ad un campo di spostamenti in cui la matrice  sia nulla e gli spostamenti relativi siano costituiti solo dalla matrice . Risulta rispettivamente per i versori delle direzioni orientate per il punto B e per il punto D:                cos sin sin cos cos cos cos dL dL dL dL ds z z z x             sin cos sin sin cos sin sin dL dL dL dL ds z z z y                   cos sin sin 1 cos dL ds sin sin cos 1 cos dL ds z z y z z x                                   sin cos 1 cos sin sin 1 cos dL ds dL ds z z z z y x 1 cos  z z z   sin              dL ds dL ds y x       0 0 z z           dL dy dL dx X P X X X dX X dY X θ X ωz X ds y X ds x X q X Q Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 10 17/12/2009 Pertanto gli sp ostamenti relativi unitari in B sono: Gli spostamenti relativi unitari in D sono: I segmenti dx e dy restano pertanto di lunghezza inalterata, ma subiscono una rotazione che vale: e analogamente Figura 2.4 - Spostamenti relati vi generati dalla sola matrice . Per l’emisimmetria del tensore di rotazione le due rotazioni 1 e 2 sono uguali in modulo ma risultano essere di segno opposto, coerentemente con il segno degli spostamenti che le hanno prodotte. Questo significa che sul piano fisico i versi di rotazione degli angoli 1 e 2 sono gli stessi, come illustrato in Fig. 2.4. L’elemento subisce una rotazione rigida non accompagnata da alcun tipo di deformazione: la lunghezza dei segmenti dx e dy non è cambiata, cosi come l’angol o tra le loro direzioni orientate. 2.3 Deformazione estensionale di un elemento unitario In uno stato di deformazione piana si voglia ora determinare la deformazione estensionale nn di un segmento di lunghezza unitaria, avente origine nel punto P in cui è definito lo stato di deformazione, e la cui orientazione, del tutto arbitraria, sia individuata dall’anomalia  rispetto           1 0 0 1 D B n n              dL ds dL ds y x             0 1 0 0 xy yx  dx ds dL ds ds dL ds xy y xy y x x       0 0              dL ds dL ds y x             1 0 0 0 xy yx  0 0        y y xy yx x yx x ds dL ds dy dy ds dL ds 1 1      tg dx ds xy y 2 2      tg dy ds yx x X X X Y X A X B X C X D X dX X dY X θ2 X θ1 dX ds xy y   dY ds yx x   dY ds yx x   Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 11 17/12/2009 all’asse x. La quantità cercata può essere ricavata in maniera del tutto analoga a quanto si è fatto nello studio degli stati di sfor zo piani, quando si sono derivate le componenti normali e tangenziali dello sforzo su una giacitura arbitrariamente orientata. Ricordando che n1, n 2 sono i coseni direttori della direzione orientata PQ , e applicando la relazione di Cauchy per determinare i l vettore n, spostamento unitario relativo lungo la direzione n, si ricava: (2.15 ripetuta ) In forma scalare l’equazione (2.15) può essere scritta come: (2.18 a,b) Ricordando che le componenti del tensore di deformazione sono spostamenti unitari, la componente (scalare) di deformazione nn può essere trovata proiettando il vettore n sulla direzione n, attraverso il prodotto scalare dei due vettori: (2.19) La relazione ora trovata è de l tutto analoga a quella che fornisce la componente normale di sforzo al variare della giacitura in uno stato di sforzo piano. Da questa relazione si deduce che, affinché sia nn=0, qualunque sia la giacitura individuata dall’angolo , occorre che sia x = y = xy = 0 . Questo risultato contribuisce a chiarire il senso del termine matrice di deformazione : la deformazione estensionale di qualunque segmento è completamente definita dai termini di questa matrice, ed è nulla, se tutti i suoi termini sono zero. Sull’utilizzo della (2.19) si basa la misura sperimentale del tensore delle piccole deformazioni negli stati piani di deformazione: si può infatti osservare che la conoscenza del termine nn lungo tre direzioni non coincidenti consente di scrivere tre diff erenti equazioni (2.19) che forniscono un sistema di tre equazioni nelle tre incognite x, y, xy. Tale modo di procedere è adottato nelle cosiddette rosette estensimetriche (cfr. Johnston & Beer, 2° edizione). Il procedimento seguito per determinare la d eformazione nn consente di determinare anche la componente di deformazione tangenziale nt relativa a due direzioni ortogonali, individuate dai versori n e t. Con considerazioni del tutto analoghe a quelle svolte per il cerchio di Mohr relativo agli stati di sforzo piani, conviene assumere t (n2, -n1) e scrivere: (2.20) La (2.19) e la (2.20) definiscono le equazioni del cerchio di Mohr per gli stati piani di deformazione. 2 1 n n 2 1 n ε ε ε   2 1 2 22 1 12 2 2 1 2 21 1 11 1 n n n n n n n n y xy n yx x n                   2 1 22 21 2 2 1 1 2 n n n n n n xy y x n n nn                    n εn ) n n( nn) ( n n t t xy y x n n n n nt 22 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1                      t εn Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 12 17/12/2009 3. Il tensore delle piccole deformazioni in 3D La derivazion e del tensore completo delle piccole deformazioni è del tutto analoga a quanto si è visto nel caso piano. La situazione geometrica di riferimento è quindi quella della Figura 2.1: tuttavia, il segmento PQ è orientato in maniera qualunque nello spazio e tut te le componenti di spostamento, nonché le loro derivate, sono diverse da zero nella terna cartesiana ortogonale adottata come sistema di riferimento. Anche in questo caso si cerca un’espressione dello spostamento unitario relativo alla lunghezza iniziale del segmento, tenendo conto delle tre componenti dello spostamento e del segmento dL : ; (3.1a,b) (3.2) Utilizzando nuovamente la regola della catena nella derivazione parzial e si ha: (3.3) In analogia con il caso piano, potremo scrivere: (3.4) La matrice  , ancora definita come matrice gradiente di spostamento, è non simmetrica; come in 2D può essere decomposta in una parte simm etrica ed in una emi -simmetrica:  =  +  (3.5) essendo: = (3.6)              z y x Q ds ds ds d Ps s s P Q P Q P Q z z dz y y dy x x dx       T z y x dL ds dL ds dL ds dL d    s                                                                      dL dz dL dy dL dx z s y s x s z s y s x s z s y s x s dL ds dL ds dL ds z z z y y y x x x z y x n Ψ s s    T n, dL d                                                                                         z s z s y s z s x s y s z s y s x s y s x s z s x s y s x s z y z x z z y y y x z x y x x T 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ε           z yz xz zy y xy zx yx x          Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 13 17/12/2009 = (3.7) Nella definizione della matrice  si sono utilizzate le uguaglianze: x = -yz y = -xz z = -yx Analogamente al caso piano, la parte simmetrica della matrice  assume il significato di matrice di deformazione e la parte emi -simmetrica quello di matrice di rotazione; valgono quindi anche in 3D tutte le considerazioni svolte nei paragrafi 2 .1, 2.2 e 2.3. In particolare, le colonne della matrice T sono i tre vettori 1, 2 ed 3 che rappresentano gli spostamenti di tre punti, appartenenti agli assi del sistema di riferimento con origine in P e posti a distanza unitaria da esso, come illustra to in Fig. 3.1a (tratta da [6]) in cui il simbolo  è stato sostituito dal simbolo e. Il vettore n (en) associato alla generica direzione n viene dato dalla relazione di Cauchy (3.4) relativa alla sola componente emi - sim metrica del tensore . La figura 3 .1b, seppure con una diversa convenzione nella numerazione degli indici delle componenti tangenziali, illustra il significato geometrico delle nove componenti del tensore delle piccole deformazioni, proiezioni dei vettori 1, 2 ed 3 sui tre assi. Figura 3.1 – Il tensore delle piccole deformazioni in 3D: (a) componenti vettoriali; (b) componenti scalari [6].                                                                                    0 2 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 z s y s z s x s y s z s y s x s x s z s x s y s y z x z z y x y z x y x T                 0 0 0 x y x z y z εn ε1 ε3 ε2 ε22 ε32 ε12 ε11 ε13 ε33 ε23 (a) (b) ε31 ε21 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 14 17/12/2009 3.1 Le proprietà del tensore delle piccole deformazioni Come abbiamo visto, le componenti di deformazione defini scono un tensore del secondo ordine: (3.8) Anche per questo tensore è possibile formulare il problema della determinazione delle direzioni lungo cui lo spostamento relativo è orientato come la direzione stessa, come illustrato nella Fig. 3.2a (tratta da [6]), ovvero determinare gli autovalori e autovettori della matrice . Data la simmetria della matrice i tre autovalori, detti deformazioni principali I, II, III, sono dei numeri reali, radici dell’equazione caratteristica: (3.9) I coefficienti dell’equazione (3.10) sono gli invarianti I1 I2 e I3 del tensore, dati da: (3.10) (3.11) (3.12) Per la simmetria della matrice gli autovettori rappresentano (nel caso di radici distinte) tre direzioni tra di loro perpendicolari. Queste sono le direzioni lungo cui si verificano solo deformazioni estensionali, e sono assenti scorrimenti angolari. Pertanto queste tre direzioni restano tra loro mutua mente ortogonali anche a deformazione avvenuta, e l’elemento infinitesimo i cui spigoli sono distesi lungo le direzioni principali si deforma come indicato nella Fig. 3.2b (tratta da [6]). Figura 3.2 – Deformazioni principali: (a) posizione del problema; (b) deformazione del volume elementare [6].                  z yz xz zy y xy zx yx x          2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ε 0 3 2 2 1 3             I I I z y x I        1  2 2 2 2 4 1 yz xz xy x z z y y x I                 ε det I 3 ε13 ε23 ε21 (a) (b) ε12 ε32 ε31 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 15 17/12/2009 Possono essere estese al tensore delle piccole deformazioni anche le altre proprietà che concernono il tensore degli sforzi studiate nel Cap.4, e quindi l’utilizzo del cerchio di Mohr in modo del tutto analogo a quanto fatto per lo stato di sforzo. La conoscenza delle deformazioni principali consente il calcolo della variazione di volume di un parallelepipedo elementare in cui gli spigoli, di lunghezza dx I, dx II e dx III sono parallel i agli assi principali, come in Fig. 3.2b. Risulta: Volume iniziale: Volume finale: La variazione unitaria di volume è data dal rapporto: (3.13) L’invariante del primo ordine o lineare rappresenta quindi la variazione di volume nell’intorno del punto. III II I dx dx dx Vd         III III II II I I dx dx dx dV       1 1 1            , , , , III II I I I I I Vd Vd dV 1 3 2 1 1 1 1 1             Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 16 17/12/2009 4. Le equazioni di congruenza Abbiamo visto nei paragrafi precedenti come in un punto P (avente vettore posizione x) l’esistenza di un campo di spostamenti s(x), le cui compone nti sx(x), s y(x) e sz(x) siano funzioni del posto continue insieme alle loro derivate ed univocamente definite, consenta di ricavare per derivazione le sei componenti dello stato di deformazione ij(x). Queste sono state dedotte dall’analisi della deformaz ione in un intorno infinitesimo del punto P, e stabiliscono un legame di natura differen - ziale tra il vettore spostamento s(x) e il tensore delle piccole deformazioni (x). Si consideri ora un corpo di volume V su cui siano definiti un campo tensoriale (x) e un campo vettoriale s(x). Affinché i due campi rappresentino gli spostamenti dei punti del corpo e le deformazioni ad esso congruenti (e conseguenti) occorre che siano verificate le due condizioni (espresse in notazione indiciale), rispettivamente sul volume V occupato dal corpo e sulla frazione Su della superficie esterna su cui sono applicati i vincoli esterni: in V i, j =1,2,3 (4.1) su Su i =1,2,3 (4.2) Le e quazioni (4.1) e (4.2) possono essere utilizzate in due modi diversi a seconda che siano noti gli spostamenti e si vogliano ricavare le deformazioni o che invece siano note le deformazioni e si vogliano ricavare gli spostamenti. In analogia con quanto vist o per lo stato di sforzo, due diversi problemi possono quindi essere affrontati:  Problema cinematico inverso: assegnato un campo di spostamenti s(x) sufficientemente regolare, determinare il campo di deformazioni (x) con esso congruente;  Problema cinemati co diretto: assegnato un campo di deformazioni (x) e le condizioni al contorno sulla superficie Su ricavare il campo di spostamenti s(x). Il problema inverso è sempre risolvibile, date le condizioni di regolarità cui soddisfa il campo di spostamenti (è su fficiente effettuare un’operazione di derivazione). Il problema diretto invece, è in generale impossibile, visto il bilancio di sei equazioni differenziali con tre sole funzioni incognite; le condizioni al contorno non alterano questa situazione. Questa im possibilità di soluzione significa semplicemente che sei funzioni sufficientemente regolari e rappresentative di quantità infinitesime, ma per il resto totalmente arbitrarie, in generale non rappresentano un possibile modo di deformarsi del continuo. Il co ntinuo di Cauchy viene pertanto detto cinematicamente impossibile ; il motivo di questa impossibilità è da ricercarsi nella sovrabbondanza del vincolo di continuità tra elementi adiacenti, in maniera del tutto analoga con quanto avveniva per lo stato di sfo rzo.            i j j i ij x s x s 2 1  i i s s  Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 17 17/12/2009 Affinché il problema diretto ammetta soluzione, e quindi sia possibile ricavare per integrazione, a partire dallo stato di deformazione, il campo di spostamenti che lo ha generato, occorre che esistano delle ulteriori relazioni tra le componenti del t ensore delle piccole deformazioni. Poiché il campo di spostamenti è individuato da tre funzioni indipendenti, è evidente che non è possibile che le sei componenti di deformazione che da esso discendono siano descritte da funzioni tutte tra loro indipendent i: occorrerà quindi che esistano tre relazioni che legano tra loro le componenti del tensore di deformazione. Queste equazioni, che risultano essere equazioni differenziali alle derivate parziali e vengono indicate con il nome di equazioni di congruenza , c ostituiscono le condizioni necessarie e sufficienti per l’integrabilità del campo di deformazione, perché cioè da esso possa essere ricavato il campo di spostamenti, note ovviamente le condizioni al contorno imposte dai vincoli. Si osservi che nell’operazi one di integrazione occorre anche riprodurre l’effetto del campo di rotazioni rigide infinitesime locali, che non è noto. L’esistenza delle equazioni di congruenza pone il problema della determinazione per via geome - trica dello stato di deformazione in man iera del tutto analoga al problema della determinazione, in base a sole condizioni statiche di equilibrio, dello stato di sforzo: anche in questo caso abbiamo sei funzioni incognite, legate tra loro da tre equazioni differenziali alle derivate parziali. 4.1 Le equazioni di congruenza sono condizioni necessarie Abbiamo visto che la variazione di configurazione subita dal corpo è pienamente definita quando siano note le tre funzioni di spostamento sx(x,y,z), s y(x,y,z) e sz(x,y,z), da cui discen dono per der ivazione le sei componenti del tensore (x). Nel ricavare le equazioni di congruenza faremo riferimento alla notazione ingegneristica dello scorrimento angolare, già definita nella ( 2.14 ) : Le tre relazioni che costituiscono le equazioni di congruenza possono essere ricavate postulando l’esistenza di un campo di spostamenti descritto da funzioni univocamente defin ite e continue, in modo che le derivate parziali delle componenti di spostamento restino inalterate se si varia l’ordine di derivazione degli spostamenti. Per ricavare le equazioni di congruenza si può procedere come segue: Deriviamo xy rispetto ad x e y: x sx x    y sy y    z sz z    x s y s y x yx xy        x s z s z x zx xz        z s y s y z zy yz        y x s y x s y x y x xy            2 3 2 3 2 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 18 17/12/2009 Deriviamo due volte x rispetto ad y: Deriviamo due volte y rispetto ad x: Conseguentemente risulta: (4.3a) insieme alle equazioni analoghe che si ottengono per rotazione degli indici: (4.3b) (4.3c) Esiste una formulazione alternativa delle equazioni di congruenza, che si ottiene nel seguente modo: Deriviamo x rispetto ad y e z: Deriviamo xy rispetto ad x e z: Deriviamo xz rispetto ad x e y: Deriviamo due volte yz rispetto ad x: Conseguentemente risulta: (4.4a) insieme alle equ azioni analoghe che si ottengono per rotazione degli indici: (4.4b) (4.4c) Il fattore 2 nelle (4.4) scompare se anziché la definizione ingegneristica degli scorrimenti angolari si utilizza la definizione tens oriale. Le equazioni (4.3) e (4.4) sono linearmente indipendenti, ma non lo sono differenzialmente, perché esistono tre identità, messe in evidenza da ulteriori operazioni di 2 3 2 2 y x s y x x        2 3 2 2 x y s x y y        2 2 2 2 2 x y y x y x xy           2 2 2 2 2 x z z x z x xz           2 2 2 2 2 y z z y z y yz           z y x s z y x x         3 2 z x s z y x s z x y x xy             2 3 3 2 y x s z y x s y x z x xz             2 3 3 2 y x s z x s x z y yz           2 3 2 3 2 2                           x y z x x y x z x z y yz xz xy yz xz xy x        2 2 2 2 2 2                   x y z y z x yz xz xy y    2 2                   x y z z y x yz xz xy z    2 2 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 19 17/12/2009 derivazione e note in letteratura come formule di Bianchi, che stabiliscono un le game tra le (4.3) e le (4.4). Queste condizioni, di natura differenziale, possono essere ricavate derivando ulteriormente le deformazioni. Si osservi che poiché le equazioni di congruenza sono equazioni differenziali alle derivate seconde, sono sempre sodd isfatte dai campi di deformazione costanti e/o lineari. Le equazioni (4.3) e (4.4), che stabiliscono un legame tra le sei componenti di deformazione, vengono anche chiamate equazioni di congruenza interna , per distinguerle dalle ( 4.1), dette equaz ioni di congruenza esterna , perché stabiliscono un legame tra le componenti di spostamento e quelle di deformazione. E’ importante sottolineare che queste equazioni sono condizioni neces sarie e sufficienti per la congruenza solo su domini monoconnessi (ov vero, tutti delimitati all’interno di una singola linea di frontiera), ma non sono sufficienti nel caso di domini pluriconnessi. Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 20 17/12/2009 5. Esercizi Esercizio n. 1 Per ciascuna delle seguenti matrici, rappresentative di tensori gradiente di spostamento, si diseg ni la configurazione deformata di un elemento che nella configurazione indeformata era un quadrato nel piano x y con lati paralleli agli assi. Esercizio n. 2 Per la seguente matric e, rappresentativa del tensore gradiente di spostamento in un punto, si determini il tensore delle piccole deformazioni, il tensore di rotazione, la deformazione volumetrica ed il deviatore delle deformazioni. Si ricavi inoltre la deformazione estensionale di un segmento i cui coseni direttori nella configurazione indeformata valgono (2/3, -2/3, 1/3) Esercizio n. 3 Una rosetta di estensimetri misura allungamenti unitari di 0.6, -1.1, -1.8 millesimi di centimetro per centimetro lungo direzioni che formano un angolo con l'asse x1 rispettivamente di 0°, 45° e 90°. Si trovino le direzioni principali di deformazione nel piano di misura e si mostri in un disegno l'inclinazione delle direzioni principali sull'asse x. Esercizio n. 4 Se in u n punto risulta: x = -0.005 y = -0.001 z = 0.001 xy = xz = yz = 0 facendo uso della costruzione del cerchio di Mohr in 3D si trovino:  Le massime deformazioni tangenziali  nel punto stesso,  La deformazione estensionale di un segmento nella direzio ne normale al piano della massima deformazione tangenziale Esercizio n. 5 Un campo di spostamenti è dato dalle equazioni: s1 = k x 1 x2 s2 = k x 1 x2 s3 = 2k(x 1+ x2) x 3 in cui k è una costante sufficientemente piccola da rendere possibile l'ipotesi di pic coli spostamenti. Si ricavino le matrici rappresentative del tensore delle piccole deformazioni e del tensore di rotazione. Si determinino, nel punto di coordinate (1, 1, 0), le deformazioni principali e le direzioni principali per la matrice delle piccole deformazioni.           0 0 0 0 0 01.0 0 01.0 0            0 0 0 0 0 01.0 0 01.0 0           0 0 0 0 0 02.0 0 0 0                  27 18 14 18 18 10 4 10 9 10 4 Scienza delle Costruzioni M.G.Mulas Lo stato di deformazione 21 17/12/2009 Esercizio n. 6 La rosetta estensimetrica mostrata in figura è stata usata per determinare le deformazioni in un punto sulla superficie di un elemento in acciaio (E=200 GPa ; G=77 GPa ) in uno stato di sforzo piano. Le def ormazioni misurate sono le seguenti: 1 = -50x 10 -6 mm/mm; 2 = 360 x 10 -6 mm/mm ; 3 = 315 x 10 -6 mm/mm Si determinino:  le massime deformazioni estensionali nel piano di misura;  la deformazione estensionale in direzione perpendicolare al piano di misura;  la massima de formazione tangenziale dello stato di deformazione (utilizzare la notazione tensoriale), specificando se agisce nel piano di misura o in un altro piano. Esercizi sullo stato di deformazione dal Johnston & Beer : 7.129 e 7.134 (sono sullo stato piano d i deformazione e non di tensione come erroneamente indicato nel testo); 7.143, 7.144. Nota: l’esercizio 6 può essere svolto solo dopo lo studio del legame elastico.