Chemical Engineering - Mechanics of Solids and Structures II

Lo stato di sforzo

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Politecnico di Milano Facoltà di Ingegneria dei Pro cessi Industriali Corso di Laure a in Ingegneria Chimica Scienza delle Costruzio ni Dispe nse del c orso Prof. Maria Gabriella Mulas Dipartimento di Ingegneria Strutturale Capitolo 4 Il continuo de formabile: Lo stato di sfo rzo Indic e 1. Statica dei co ntinui deformabili: considerazioni introduttive ................................................................. 1 2. Definizione di sforzo nell’i ntorno di un punto ........................................................................\ ......... ...... 2 2.1. Le condi zioni di equili brio per i cor pi deform abili ....................................................................... .......... 5 2.2. La relazione di Cauchy ........................................................................\ ............................ ....................... 6 2.2.1 I tensori del secondo ordine co me funzioni vettor iali lineari ............................................................ 8 2.3. Le equaz ioni indefinit e di equilibri o........................................................................\ ............. .................. 9 3. Proprietà dello stato di sfor zo: te nsioni e direzioni principali .............................................................. 13 4. Il caso dello stato di sforzo piano ........................................................................\ .................... ............. 17 4.1. Costruzi one grafica del circolo di Mohr ........................................................................\ ........... ............ 21 5. Appendice: le com ponenti idrostatica e de viatorica del tensore degli sforzi ........................................ 23 6. Esercizi ........................................................................\ ............................................... .......................... 24 Notazione utilizzata: nel seguito della tr attazione vettori e matrici so no indicati in grassett o nel testo e con un sopra ssegno nelle figure fatte a mano. Refer enze [1] AA.VV ., Lezioni di Scien za delle Costruzioni , a cura del Dipartim ento di Ingegneria Strutturale, Milano, Clup , 197 7. Cap. 7, par. 1, 2, 3, 4. [2] L. Corradi Dell'Acqua . Meccanica delle Strutture . Vol. I: Il co mportamento dei mezzi continui. Mc- Graw Hill, 1992. Cap. 2.1. [3] L. Malvern , Introduction to the mech anics of a continu ous medium , Prentice Hall, 1969. Cap. 3 escluso 3.6; sul solo cerchio di Mohr. [4] F.P. Beer, E.R. Johnston jr., J.T. DeWolf , Meccanica dei solidi. Ele menti di Scienza delle Costruzioni . 3° edizione. McGraw-Hill 200 6. E ’ da c onsulta re per il circolo di Mohr: Cap. 7 , par. 1-6. [5] Castiglioni, V.Petrini, C. Urbano. Esercizi di Scienza delle Costruzioni . Masson 19 93.Cap. 4. Il testo del C orradi [ 2] e quello del Mal vern [ 3] sono corre dati di e sercizi, svolti e/o da svolge re. La referen za [5] è un eserciziario, può e ssere consultata per gli eser cizi sullo stato di sforzo. Tutti i libri c itati sono reperibili nelle biblioteche di At eneo, in particolare in quella del Dipartim ento di Ingegneria Strutturale, situata al piano terra del corr idoio che conduce dalle aule CG alle aule Sud. La biblioteca del DIS è dotata di una sala lettura aperta a t utti gli studenti. Nota della docente : la trat tazione degli stati di sforzo com prende anche le costruzioni grafiche sul cerchio di Mohr e la s ua applicazione agli stati di sforzo più generali in 3D. Questi argom enti sono sviluppati in maniera più c he esauriente nella referenz a [4 ] e pe rtant o non vengono trattati in questa dispensa. Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 1. Statica dei continui defor m abil i: considerazioni introduttive Nella prim a parte del corso abbiam o visto come, ai fini del calcolo delle reazion i vincolari e delle azioni in terne dei siste mi di aste piane isos tatiche, è lec ito f are us o dell’ ipote si dei pic coli spostam enti. Questa con sente d i tr ascurar e la d eform abilità d elle aste e q uindi di con sidera rle come corpi rigidi; le condizioni di equilibrio vengono pertanto sem pre s critte con riferim ento alla configurazione indeformata della struttura. Il ca lcolo delle azioni interne nelle aste conduce a determ inare, su ciascuna sezione della generica asta , la risultante e il m omento risultante, riferito al baricentro della sezione stessa, de lle forze che l’asta trasm ette in quella particolare sezione. Le forze considerate (azione assiale, taglio e momento flettente) a loro volta però sono la risultante di un sistem a di f orze elem entari distribuito con continu ità sul piano della sezione . Tuttav ia le s truttu re reali non sono realm ente rigide: le defor mazioni, che possono essere trascurate nella scrittura delle condizioni di equilibrio, di ventano importanti se è necessario valuta re le condizioni di resistenza dei materiali di cui sono composte le st rutture stesse, in fase di progett o e/o di verifica della struttura stessa. Occorre prem ettere alle nostre trattazioni il co ncetto di continuo deform abile: tolto il vincolo dell’indeform abilità, il generico co rpo oggetto di studio v iene trattato com e un m ezzo continuo, modello m atem atico no n corrispon dente alla realtà molecolare nella m ateri a. Tale idealizzazione, che suppone la m ateria da cui è for mato il corpo dist ribuita con continuità nello spazio che occupa, trova la sua giustificazio ne nel fatto che il com portam ento “su scala m acroscopica” dei co rpi v iene predetto bene con le teorie ch e si basano su tale concetto. Il m odello di continuo trova però ovviam ente applicazione solo quando le dim ensioni del corpo in studio s ono m olto m aggiori della scala a cu i la com posizione m olecolare della m ateria diventa im portante; la m eccanica del continuo quindi non è idonea a s tudiare p roblem i definiti alla nano -scala. La definizione di continuo si basa su quella del più generale sistem a di forze ag enti sul co rpo in studio. Si consideri a tal fine un corpo di form a qualunque; le forze esterne che agiscono sul corpo, che occupa nello spazio un certo volum e V delim itato da una superfic ie S, possono essere class ificate in: • Forze di vo lume : agiscono sull’elem ento di volum e all’interno del corpo. Sono forze che derivano da “un’azione a dist anza”; vengono m isurate per unità di m assa o di volum e (es. forza peso; forze derivanti da cam pi magnetici) . • Forze di superficie : sono “forze di contatto” che agiscono nella superficie S del corpo; vengono misurate per unità d i sup erficie. Si considerino ora un volum e ∆V, piccolo m a finito, a ll’in terno d el vo lum e V del corpo, e una 1 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo superficie ∆S, anch’es sa piccola m a finita, app artenen te alla superficie estern a S. S e con ∆Rv si indica la ris ultan te de lle forze di vo lum e sul volum e f inito ∆V e con ∆Rs la r isultante delle forze di superficie su ∆S, l’ipotes i di con tinuità della m ateria porta a d ire che esis tono e sono finiti i lim iti: F Rv= ∆ ∆ → ∆ V V lim 0 (1.1) f Rs= ∆ ∆ → ∆ S S lim 0 (1.2) Il lim ite es iste per un a par tico lare sequenz a di volum i concentrici, m a è indipendente dalla particolare form a (es. sfere, cubi etc.) dei volum i e delle superf ici s celte per la sequenza. Le equazion i (1 .1) e (1.2) i ndicano che forze di superf icie e forze di volum e, in un corpo continuo, possono essere descritte da funzioni continue de l posto, cosicché qualunque sia il punto del corpo che si considera, s ia es so interno al volum e o a ppar tenen te a lla supe rficie este rna, è poss ibile associare ad esso un particolare valo re della forza di volum e o di superficie. 2. Definizione di sfo rzo nell’intorno di un punto Consideriamo un corpo continuo in equilibrio, soggetto a forze este rne note, di superficie e di volum e, ed immaginiamo di dividerlo in due con una superficie piana d i norm ale n. Ciascuna delle due parti, pr im a dell’operazion e di sezione, ese rcitav a sull’a ltr a delle az ioni attr aver so la superf icie di sez ionam ento; le due parti sepa rate res teranno in equilib rio se sos titu iam o alla co ntinuità le f orze che essa trasm etteva. Isoliam o or a nella faccia sezionata un ’areo la ∆S, centrata intorno a un punto Q; consider iam o la norm ale n a ∆S positiv am ente orienta ta se uscente dalla f acc ia. Sia ∆F la forza risultan te ch e agisce sull’areo la ∆S (Fig. 2.1). Supponiam o ora di considerare una sequenza di aree ∆S1, ∆S2, ∆S3, tutte centrate nel punto Q e via via più piccole. Per ogni ∆Si troverem o un ∆Fi differente, in generale non solo in m odulo, ma anche in direzione. T uttavia, coerentem ente con l’ipo tesi di continuo g ià introdotta, amme ttiamo che al tendere a zero dell’area ∆S, e quindi al ridursi dell’area al punto Q, nonostante sia ∆F sia ∆S tendano a zero, assum a un valore finito il lim ite: n S S lim p F = ∆ ∆ → ∆ 0 (2.1) Il ve tto re pn rappresenta lo sforzo nel punto Q sulla g iac itur a di norm ale n. Esso non dipende dalla particolare s uccession e di aree che abbiam o scelto in torno a Q, purché tali aree abbiano tutte la stessa norm ale. In generale possi am o quindi dire che lo sforzo pn dipende dalla pos izione del punto Q e dalla direzione della norm ale alla supe rficie passante su Q. Postulia mo inoltre che il m omento 2 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo risultan te delle forze scam biate attraverso la su perficie ∆S tenda a zero al tendere a zero della superf icie: 0 M = ∆ ∆ → ∆ S S lim 0 (2.2) -n n x1 x2 x3 ∆F ∆S Q Figura 2. 1- L a definizione dello sforzo n el’intorno di un p unto. Risulte ranno partico larm ente utili nel seguito i ve tto ri rappresentativi dello stato di sforzo su tre piani ortogonali che possono essere assunti come piani coordinati. A tal fine, com e ra ppresentato in Fig. 2.1, consideriam o un parallelepipedo elem entare dx 1dx 2dx 3, centrato nel punto Q, le cui facce siano rispettivam ente perpendicolari ai tre assi coordinati. Per definizione p1 rappresenta lo sforzo agente sulla giacitura in cui la norm ale uscente ha direzione x1. In m aniera analoga p2 e p3 sono gli sforzi agenti sulle giaciture in cui le norm ali uscenti hanno rispettiv am ente com e direzione gli assi x2 e x3. Per esigenze di chiarezza g rafica, i tre vetto ri p1, p2, p3 in F igura 2.2 sono rappresentati agenti su tre punti diversi, perché il volum e dV , pur infinitesimo, non è nullo. Tuttavia noi possiamo imm aginare il volum e dim inuire fino a ridursi al punto Q: i tre v etto ri p1, p2, p3 sono quindi gli sforzi in Q agenti su piani norm ali agli assi coordinati, e non occorre tenere conto di alcuna varia- zione dello stato di sforzo le gata alla posizione del punto su cui gli sforzi agiscono. Lo sforzo che agisce sulla faccia che ha com e norm ale un vettore diretto in senso opposto ad x1 vale -p1; inf atti se il volum e elem entare si riduce al punto Q i due sforzi devono essere uguali e contra ri pe r il princip io di azion e e reazione (e a nche per l’e quilib rio ). In genera le pe rciò risu lta : n n p p −= − (2.3) Sulle tre facce non visibili dell’elem ento di Fig. 2 ag iscono quindi gli sforzi - p1, -p2, -p3 uguali e contrari a qu elli che ag iscono sulle facce visibili. 3 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo x1 x2 x3 p1 p2 p3 dx 2 dx 3 dx 1 Q Figura 2. 2 - Gli sforzi nel punto Q su tre giaciture mutuamente perpendicolari. Infine, poiché non esiste alcun legam e tra la direzi one dello sforzo e la di rezione della norm ale, avrem o ancora che ogni vettore potrà essere sc om posto nelle sue tre com ponenti lungo gli assi coordinati, com e indicato in Figura 2.3. x1 x2 x3 p33 dx 2 dx 3 dx 1 p32 p22 p23 p21 p11 p13 p12 Figura 2. 3 – Le componenti scalari degl i sforzi su tre giaciture perpendicolari. Le tre com ponenti sono positiv e se, su lla faccia che ha no rm ale us cente diretta com e l’as se, sono di- rette com e gli assi coordinati. Le componenti ad i ndici uguali sono norm ali alla faccia su cui agisco- no; se dirette verso l’esterno rapp resentano sforzi di trazione, pe r convenzione assunti positivi; se dire tte ve rso l’in terno ra ppresentano sforzi di com pressione, us ualm ente consid era ti nega tivi. Il segno delle com ponenti tangenziali non ha invece un significato fisico partic olare. I tre vettori p1, p2, p3 hanno quindi, nel sistem a di rif erim ento x1, x 2, x3, le co mponenti:           = 13 12 11 1 p p p p (2.4)           = 23 22 21 2 p p p p           = 33 32 31 3 p p p p Si può osservare che, dei due indici che contra ddistinguono ciascuna componente, il prim o indica la 4 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo norm ale alla giacitura su cui agis ce lo sforzo, il secondo ne dà la direzione. Le com ponenti norm ali vengono spesso indicate con il sim bolo σ seguito da un solo indice; quelle tang enziali dal sim bol o τ, seguito d a due indici secondo la regola appena esposta. Questa è la convenzione utilizzata dal testo di Scienza delle Costru zioni del Johnston & Beer. 2.1. Le condizioni di equilibrio per i corpi deformabili Ricordiam o che le condizioni necess arie e suffici enti per l’equilib rio di un corpo rig ido libero d a vincoli e soggetto a un sistem a di forze sono date dalle equazioni car dinali della statica:   = = 0 M 0 R (2.5) Si pone la dom anda se queste condizion i sia no necessarie e sufficiente an che per i corpi def orm abili. Noi sappia mo che il p ostula to de i vincol i add izionali ga rantisc e che l’ equilibrio di un corpo non viene turbato dall’aggiunta di altri vi ncoli. Se quindi ad un corpo defor mabile, in equilibrio sotto l’azione di un si stema di forze, noi aggiungiamo co me vincolo particolare l’irrigi- dim ento, abbiam o che il corpo non cesser à di esse re in eq uilib rio. Se il co rpo def orm abile è in equilibrio, le equazioni cardinali della statica valgono sicuram ente; perciò le equazioni (2.5) sono condizion i n ecessarie per l’equ ilibrio del corpo de for mabile. Per verificare che le (2. 5) siano an che condizioni sufficienti si può fa re il ragionam ento che segue. Imm aginia mo di dividere in un certo num ero di parti il volum e V del corpo deform abile in equilibrio, attrave rso se zionam enti arbitr ari. E ’ ragionevole dire che valg ono i seguen ti postula ti: • Condizione necessaria e sufficiente per l’equ ilibrio di un corpo defor mabile è che le p arti in cui può venire arbitrariam ente div iso il corpo s ian o tutte in equilib rio, so tto l’azione delle forze estern e e delle forze tras messe attrav erso le superfici di sezio nam ento; • Poiché ogni parte in cui è diviso il corpo de form abile è a sua volta un corpo defor mabile abbiam o che condizion e necessaria per l’equ ilibrio di tutto il co rpo è ch e siano verificate per le singole parti le equazioni cardinali della statica per i corpi rigidi; • Postuliam o ora che la condizion e necessaria si a anche su fficiente, se vale qualu nque sia la for ma e la dim ensione delle pa rti in c ui il corpo è diviso. • Si ha pertan to che condizione neces saria e suffici ente per l’eq uilib rio di u n corpo deform abile è che per ogni sua parte, di form a e di mensioni arb itrarie, soggetta alla po rzione di forze esterne che le com pete ed alle for me di superficie tras messe dalle parti adia centi, s iano verif ica te le equazion i ca rdina li de lla statica. 5 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 2.2. La relazione di Cauchy Vogliam o ora m ostrare com e, noti i tre ve tto ri p1, p2, p3 (con le loro nove co mponenti) agenti nel punto Q su tre g iac itu re m utuam ente perpend icolari, sia po ssibile de ter minare lo sf orzo pn re lativo ad una giacitura di norm ale n gen erica e passante ancora per Q. A tal f ine assum iam o l’orig ine O del sistem a di riferim ento coincidente con il punto Q, ed isoliam o nell’intorno dell’origine un volum e elem entare a for ma di te traedro (piram ide a base triangol are), illustrato in Fig. 4a , delim itato d a parte dei p iani coo rdin ati e d a un p iano inc lina to ABC non passante per O. x1 x2 x3 A n O C B N ∆S1 (a) ∆S3 ∆S2 A O N h α (b) Figura 2. 4- Il tetraedro di Cauchy: (a) g eometri a; (b) determinazione dei coseni direttori di n. Il punto N è l’in tersez ione del p iano ABC con la norm ale di versore n passante per O. Ta le pi ano è scelto in m odo che la norm ale al piano obliquo punti nell’ottante pos itivo; m a la dimostrazione che segue è generale e vale qualunque sia l’inclin azione del piano. Le com ponenti del versore n son o i coseni direttori della sua direzi one. Con riferimento alla Figura 4b è facile vedere che l’angolo α tra i segm enti AO e ON è tale che cos α = n1. Si può quindi scrivere: ( ) ( ) ( )N Oˆ C cos n ; N Oˆ B cos n ; N Oˆ A cos n = = = 3 2 1 Il s egm ento ON , di lun ghezza h, è un cateto per ciascuno de i tre triangoli rettangoli OAN , OBN , OCN , di ipotenusa rispettivam ente OA , OB , OC . Perciò si ha: 3 2 1 n C O n B O nA O h ⋅ = ⋅ = = Si indichino con ∆S1, ∆S2, ∆S3, risp ettivam ente le ar ee inte rcettate d al p iano in clin ato sui tre p iani coordinati (Fig. 4a) e con ∆S l’area triango lare ABC sulla faccia inclinata di norm ale n. Il volume ∆V del tetraedro può calcolato com e: 3 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 S C O S B O S A O S h V ∆⋅ = ∆⋅ = ∆⋅ = ∆⋅ = ∆ da cui s i ricava: 3 3 2 2 1 1 n S S ; n S S ; n S S ⋅ ∆= ∆ ⋅ ∆= ∆ ⋅ ∆= ∆ 6 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo Il vettore sforzo pn sulla faccia di norm ale n viene ricavato facendo uso di una condizione di equilibrio del volum e elem entare. Questa deve ovviam ente essere scritta in te rm ini di sforzi e non di forze, tenendo conto che sul tetraed ro agiscono sia forze di superficie sia forze di volum e. Le forze di superficie su ciascu na faccia sono le risultanti degli sforzi sulle superf ici stesse; ad esse si aggiunge la forza di volum e, che è la risultante su tutto il volum e ∆V del tetraed ro. Mettiam o in evidenza le forze che agiscono nel tetraedro, in m odo da poter scrivere le condizioni di equilibrio; farem o poi tendere a zero l’altezza h del prism a, cosicché il volum e e le quattro aree superficiali tendano a zero, m entre non cam biano la posizione di O e la direzio ne di ON . Nel calcola re le risultan ti d egli sf orzi, n e cons idere rem o i valori m edi (deno tati con l’ap ice asterisco in Figura 2.5); supponiam o la continuità di tutte le com ponenti dei vettori sforzo, cosicché al tendere a zero di h i valori m edi tendano ai valori puntuali. Sul tetraed ro elem entare agiscono le forze di superficie: 3 3 2 2 1 1 S S S S * * * *n ∆⋅ − ∆⋅ − ∆⋅ − ∆⋅ p p p p x1 x2 x3 n 1 1 S *∆ − p 3 3 S *∆ − p 2 2 S *∆ − p S *n∆ p F*∆V Figura 2.5 – Le forze di superficie e di volume agenti sul tetraedro di Cauchy. L’equilibrio alla traslazione del volum e ele mentare è governato dalla prim a de lle equazioni cardin ali d ella statica (2. 5): 0 3 3 2 2 1 1 = ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆ ⇒ = ∗ V S S p S S * * * *n F p p p 0 R ovvero: S h S n S n S n S * * * *n ∆ − ∆ + ∆ + ∆ = ∆ ∗ 3 1 3 3 2 2 1 1 F p p p p Al tendere a zero di h i valori m edi tendono ai v alori puntuali; la forza d i volum e è un infinitesimo di ordin e su periore, e tende a zero q uando l’altezza h del tetraedro tende a zero. Si o ttiene : 3 3 2 2 1 1 n n n n p p p p + + = (2.6) L’equazion e ora scritta, che pre nde il nom e di relazione di Cauchy , ci perm ette di conoscere lo stato di sforzo in un punto, su una giacitura avente no rm ale uscente di versore n, quando siano noti gli 7 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo sforzi p1, p2, p3 su tre giaciture mutuam ente ortogonali, passanti per il punto dato. La relazione vettoriale si traduce in tre equazioni scalari, che fornis cono le com ponenti del vettore pn lungo i tre assi ortogonali, assunti com e assi del sistem a di riferim ento: 11 1 1 21 2 31 3 21 2 1 22 2 32 3 31 3 1 23 2 33 3 n n n pp n p n p n pp n p n p n pp n p n p n =+ + =+ + =+ + (2.7) La relazione (2.6) può essere scri tta anche in notazione i ndiciale, ricordando ch e un indice ripetuto in uno dei due m embri di un’equazione im plica somm atoria sullo stesso indice: j ji j ji , j ni n p n p p = Σ= =31 (2.8) o in notaz ione m atricia le: n T T n pn ⋅ = ⋅ = T (2.9) Nella (2.9 ) n è considerato com e un vetto re riga quando pre-m oltiplica T e un vettore colonna quando lo post-m oltiplica; T è la m atrice che raccoglie ordinatam ente per riga le com ponenti dei tre vetto ri p1, p2, p3: 33 32 31 23 22 21 13 12 11 p p p p p p p p p = T (2.10) L’equazione (2.6), con le sue for me a lternative (2.8) e (2.9), stabi lisce che le nove componenti della matrice T costitu iscono un tensore del second o ordine, d etto tensore degli sf orz i, com e verrà illus trato ne l paragrafo successivo. 2.2.1 I tensori del se co ndo or din e come funzioni vettoriali lineari Una funzione vettoriale è una corrispondenza che associa a ciascun vettore argom ento v definito in un certo set di vettori (il dom inio di definizione della funzione) un al tro vetto re, che è il valo re d ella funzione. La funzione viene chia mata anch e trasform azione perché trasfor ma un set di v etto ri (il dom inio) in un altro set di ve ttori (il codom inio della funzio ne). La funzione vettoriale F è lineare quando per essa valgono, qualunque siano i vettori u e v appartenenti al dom inio e per qualunque num ero reale c, le rela zioni: ) ( ) ( ) ( v F u F v u F + = + (2.11) ) ( c ) c( u F u F = (2.12) La definizione ora data di tensore ci consente di riconoscere che la relazione (2.6) definisce una funzione vettoriale linea re che associa, per ciascuna direzi one in un punto, definita dal versore n – argom ento - un secondo vettore, lo sforzo pn che agisce nel p unto sulla p articolare giacitu ra che ha com e nor male n. Sia il versore n che lo s forzo pn, in quanto vettori, hanno un’esistenza 8 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo indipendente dal sistem a di riferim ento in cui sono definiti; pertanto anche la relazione funzionale che li lega d eve essere indipendente dal sis tem a di riferim ento in cui en tram bi i vettori sono defin iti. In pra tic a, i due vettor i saranno de finiti in un sistem a di rif erimento dato; anch e la re lazio ne funzionale sarà quindi definita nello stesso sistem a di riferim ento. 2.3. Le equazioni indefinite di equilibrio Le com pone nti della m atrice T, ovvero i tre vettori p1, p2, p3, definiscono com piuta mente lo stato di sforzo nell’intorno del punto, risolvendo quindi il problem a della determ inazione della dipendenza dello sforzo dalla giacitura. Resta il problem a di de term inare la va ria zione de llo stato di sforzo al variare del punto considerato, cioè di determ inare le nove com ponenti: ()12 3 , , 1,... 3 , 1,...3 ik ik pp x x x i k == = Com e abbiamo visto nel Paragrafo 2.1 abbiam o a disposizione, per il generico elemento d i volu me ∆V, le equazioni cardinali dell a statica (2.5). Consideriam o quindi nell’intorno di un punto P un parallelepip edo di spigo li inf inites imi e m ettia mo in evide nza le f orze di superf icie che su di esso agiscono, risultanti degli sforzi sulle singole facce, oltre alla forza di volum e F∆V, c he può essere considerata applicata ne l baricentro. Consideriamo ora la variazione che gli sforzi p 3 2 1 , , dx dx dx i subiscono n el passare da una faccia a quella para llela: ipotizziam o che gli sforzi varino con continu ità e si increm entino perc iò, a m eno di un infinitesim o di ordine superiore, della quantità i i x∂ ∂p dx i. Per il vo lum e elem entare in Figura 6 l’equazione (2.5) R = 0 forni sce: 0 2 1 3 3 3 3 1 2 2 2 3 2 1 1 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + dx dx dx x dx dx dx x dx dx dx x dV p p p F x1 x2 x3 dx 2 dx 3 dx 1 3 2 1 dx dx p− 2 1 3 dx dx p− 3 1 2 dx dx p− 2 1 3 3 3 3 dx dx dx x       ∂ ∂+ p p 3 1 2 2 2 2 dx dx dx x       ∂ ∂+ p p 3 2 1 1 1 1 dx dx dx x       ∂ ∂+ p p Figura 2. 6 – Forze di superficie agenti sul volume elementare. 9 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo Dividendo tutti i term ini per dx dV dx dx =3 2 1 si ottiene 0 3 3 2 2 1 1 = + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ F p p p x x x (2.13) L’equazione vettoriale (2.13) corris po nde alle tre equazion i scalari: 31 11 21 1 12 3 32 12 22 2 12 3 13 23 33 3 12 3 0 0 0 p pp F xx x p pp F xx x pp p F xx x ∂ ∂∂ ++ + = ∂∂ ∂ ∂ ∂∂ ++ + ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ++ + = ∂∂ ∂ = (2.14) Queste equazioni differenziali al le derivate parziali prendono il nom e di equazioni indefinite di equilibrio, perché valgono qual unque sia il volum e elem entare dV all’interno del corpo per cui vengono scritte. x1 x2 x3 p33 dx 2 dx 3 dx 1 p32 p22 p23 p21 p11 p13 p12 (a) p31 x2 x3 x1 3 2 12 dx dx p 3 1 21 dx dx p 3 1 21 dx dx p 3 2 12 dx dx p dx 2 dx 1 (b) Figura 2. 7 – Sforzi sul vol ume elementare : (a) volume intero; (b) sezione a quot a dx 3/2. Abbiam o ancora da utilizzare l’eq uazione M =0. Ridiseg niam o a tal f ine il par alle lepip edo elem entare (Fig. 7a) m ettendo in ev idenza le componenti lu ngo gli assi degli sfor zi che su di esso agiscono Possiam o considerare uno stato di sforzo costante tenendo conto del fatto che, nella scrittura dell’equazione di equilibrio alla rotazione, gli increm enti dello stato di sforzo danno luogo a infinitesimi di ordine superiore. Gli sforzi sulle facce non visibili sono uguali e con trari a quelli visibili e non sono riportati in Fi g. 7a. Anche in questo caso la scri ttura dell’equazion e di equilibrio rich iede la d eterm inazio ne delle forze agenti su ciascuna faccia, risultan ti degli sf orz i agenti. Scriviam o, a d esem pio, l’equilibrio alla rotaz ione rispe tto a ll’asse x3. Risu lta ch e: • Gli sf orzi norm ali p11, p 22 e p33 ag enti ciascun o su due fa cce opposte sono auto-equilibrati e danno luogo ad un m omento nullo; gli sforzi p33 inoltre sono para lleli all’asse x3. • Gli sf orzi p13 e p23 sono paralleli all’asse x3 e non danno contributo. • I te rm ini p32 e –p 32 danno luogo a dei contribu ti che sono uguali e contrar i: globalm ente il loro 10 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo contributo è nullo; considerazione an aloga va le p er i term ini p31 e –p 31. Restano a llo ra solo i te rmini p12 e p21. Ci si può quindi ri ferire a un problem a piano, considerando com e in Fig. 7b, la sezione del parallelepipedo a quota dx 3/2, in cui agiscono i soli contributi non nulli al m omento in torno all’asse x3. Il m omento delle f orze ag enti rispe tto all’asse x3 vale: () ( ) 0 2 3 1 21 1 3 2 12 3 = ⋅ − ⋅ = dx dx dx p dx dx dx p M da cui s i ricava: 21 12 p p = (2.15) Operando in m aniera analoga ne llo scrivere l’equilibrio alla rotazione into rno agli assi x1 e x2 si ha : 13 31 p p = (2.16) 23 32 p p = (2.17) Le equazioni (2.15)-(2.17) consentono di dire che la m atrice che rappresenta il tensore di sforzo è simm etrica e che delle nove com ponen ti del tensore degli sforzi so lo sei sono in dipendenti. Le com ponenti indipendenti, a loro volta, sono legate da tre equazioni differenziali alle derivate parziali, ch e sono le eq uazioni ind efinite di e quilib rio. L e equazion i differenziali, che valgo no all’interno del volum e V, sono associate alle condizioni al contorno, scritte sulla frazione Sf, della superficie di frontiera S su cui sono definite le forze di superficie. Queste condizioni devono garantire che, per qualu nque punto appartenente a Sf, su cui agisca la forza esterna di superficie f e in cui la nor male uscente sia n, deve valere la relazione di Cauchy tra la forza esterna e lo stato di sforzo inte rno: 3 3 2 2 1 1 n n n ⋅ + + ⋅ = p p p f (2.18) fS dS ∈ ∀ La relazione (2.18) garantisce che, sul contorno, le forze di superficie siano riequilibrate dagli sforzi provenienti dal corpo. Il problem a della determ inazione de llo stato di sforzo su un corpo, date le forze (di volum e e di superficie) agenti su di esso, ri sulta quindi governato dalle (2.13) e dalle (2.18). Due diversi problem i possono essere affrontati: Problema statico inverso : assegnato un cam po di sforzi pik (x 1,x2,x3) i,k=1,2,3 determ inare le forze di volum e F e le forze d i superficie f in equilibrio con gli sforzi dati; Problema statico diretto : assegna te le f orze di v olum e F e le f orze di s uperf icie f determ inare g li sforzi che sono in equilib rio con le forze date. Il problem a inverso è sem pre risolvibile, in quan to il campo di sforzi è deri vabile per ipotesi. Il problem a diretto è invece indeterm inato, com e mostra il bilancio tra num ero di f unzioni incog nite (sei) e numero di equazioni differen ziali dispon ibili (tre). Le condizion i al contorno non possono, ovviam ente, ridurre il grado di indeterm inatezza. Il continuo di Cauchy risu lta allora staticam ente 11 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo indeterm inato (iperstatico), in qua nto lo stato di sforzo, a partire dalle forze agenti, non può essere univocam ente dete rm inato in base a sole cons ide razi on i di eq uilib rio. L’ ipersta ticità del problem a è interna, leg ata al vinco lo di contin uità tra elem enti adiacenti, e non estern a, co me nel caso dei sistem i di aste rigide, in cui l’ iperstaticità è legata ad un numero sovrabbondante di vincoli esterni. Si può infatti osservare che la forz a di volum e è riequilibrata da tre forze, che a loro volta sono la risultan te d egli sforzi agenti su sei facce, a due a due parallele; i vari sforzi sono l’effetto dell’interazione del pa rallelepipedo analizzato c on i volum i adiacenti. Ciascun volum e elem entare ha quindi risorse sovrabbondanti ri spetto a quelle che sarebbero stre ttam ente necessarie a garantirne l’equ ilib rio. 12 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 3. Proprietà dello stato di sforzo : tensioni e direzioni principali Abbiam o vi sto com e lo sforzo in un punto, associato ad una certa norm ale n, sia in g enera le diretto in m odo qualunque. Ad esem pio, i vettori p1, p2, p3, r elativ i ai p iani co ordina ti, son o stati da n oi scom posti in una com ponente normale al pi ano, avente i due indici uguali (es: p11, p22 e p33) ed in una com ponente tangente al piano la quale a sua volta è stata ripart ita in due com pon enti secondo i rim anenti due assi (ad esem pio, il vettore p1 possiede le com ponenti tangenziali p12 e p13). Ci poniam o ora il problem a di vedere se esistono delle giaciture in cui il vetto re rappresentativo dello stato di sforzo è d iretto com e la nor male n, delle giac itu re p er cu i c ioè il vetto re pn è para lle lo ad n. In questo caso il vettore pn può essere espresso com e: n p ⋅ =σ n (3.1) Nella (3.1) σ è una quantità scalare che ra ppresenta il m odulo del vettore pn. Vale ancora ovviam ente la relazione di Cauchy: 3 3 2 2 1 1 n n n n p p p p + + = (2.6 ripetut a) Possiam o perciò sc riv ere: n T p p p n ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ T n n n 3 3 2 2 1 1 σ (3.2) La relazione (3.2) in term ini scal ari corrisponde alle tre equazioni: 3 33 2 23 1 13 3 3 32 2 22 1 12 2 3 31 2 21 1 11 1 n p n p n p n n p n p n p n n p n p n p n + + = ⋅ + + = ⋅ + + = ⋅ σ σ σ (3.3) Portando tu tto a prim o m embro e raccogliendo i te rm ini che contengono lo st esso fattore si ha: () () () 11 1 212 31 3 12 1 22 2 323 13 1 232 33 3 0 0 0 pn p n p n pn p n p n pn p n p n σ σ σ −+ + = +− + = ++ − = (3.4) Le (3.4) costituiscono un sistem a lineare om ogeneo di tre equazioni nelle tre incognite n1, n 2, n 3. La soluzione banale del problem a: 0 3 2 1 = = = n n n non è tuttavia accettab ile perché, essendo n un versore, occo rre che sia: 22212 3 1 nnn ++ = (3.5) Per trovare soluzioni diverse da quella banale occorre uguaglia re a zero il de term inante d ella matrice del s istem a: 13 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo () () () 0 33 23 13 32 22 12 31 21 11 = − − − σ σ σ p p p p p p p p p (3.6) L’annullarsi del determ inante fornis ce una equazione di terzo grado in σ: 32 12 3 0 II I σσ σ −+ − = (3.7) I coefficienti I1,I2 e I3 valgono rispettivam ente: 33 22 11 1 p p p I + + = (3.8) 212 213 223 22 11 33 11 33 22 22 12 21 11 33 13 31 11 33 23 32 22 2 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p I − − − + ⋅ + ⋅ = + + = (3.9) 23 13 12 212 33 213 22 223 11 33 22 11 33 23 13 32 22 12 31 21 11 3 2 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p I + − − ⋅ − ⋅ ⋅ = = (3.10) Questi coefficienti prendono il nom e di invarianti de l tensore degli sforzi, perché assum ono lo stesso valore, qualunque sia il sistem a di riferim ento rispetto a cui ho espresso p1, p2, p3. Per discutere le radici dell’equazione (3.7) si può osservare che la relazi one (3.2) in form a vettoriale, e la sua corrispondente in for ma s calare (3.3), definiscono se mplicem ente il problem a della determ inazione degli au tovalo ri de lla m atrice T, essendo I la m atrice unità (3x3): ( ) 0 n I TT = ⋅ ⋅ −σ (3.11) Poiché la m atrice è simm etrica, le radici dell’equazione (3.7 ), che sono gli autovalori della m atrice, sono tre num eri reali, che vengono usualm ente indicati con i sim boli σI, σII e σIII. Le tre rad ici, che prendono il nom e di sforzi principali , vengono ordinate in ordine crescente: II II II σ σσ ≥ ≥ Occorre ovviam ente determ inare quali sono le direzione dello spazio, dette direzioni principali , cui sono associati gli sforzi principali. O ccorre quindi determ inare i tre vettori nI, nII e nIII che rappresentano le direzioni delle norm ali alle giaciture su cui agiscono gli sfor zi principali; questi vettori sono gli autovettori della m atrice T. Ipotizziam o inizialm ente che sia σI ≠ σII ≠ σIII. Per trovare le d irezion i a cui sono asso ciati g li sforzi principali, li sos titu isco uno per vo lta nel sis tema, partendo ad es. da σI. Le incognite del sistem a (3.4) dive ntano quindi le com ponenti del vettore nI: () () () 11 1 21 2 31 3 12 1 22 2 32 3 13 1 23 2 33 3 0 0 0 II I I II I II I I pn p n p n pn p n p n pn p n p n σ σ σ −+ + +− + = ++ − I = = (3.12) Poiché però σI è un autovalore di T, in corrispondenza del quale è nullo il determ inante della matrice dei coefficienti, di qu este tre equazioni solo due s ono linearm ente indipendenti; questo 14 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo im plica che le com ponenti del vettore nI sono note a m eno di una costante m oltiplicativ a. Si p uò allo ra porre, ad esem pio: 1 3= In Sostituen do questo valore nelle (3 .12) si può ottene re u n sistem a di due equaz ioni nelle d ue incognite nI1, nI2: () () 11 1 21 2 31 12 1 22 2 32 II I II I p np n p p np n σ σ −+ = +− = − p − Per le tre componenti del vettore cosi trovato ovvia mente risulterà: 1 23 22 21 > = + + k con k n n n I I I Poiché il vettore cercato è un versore (m odulo un itario) e osservando che un vettore non ca mbia direzione se divido tutte le com ponen ti per uno stesso fattore posso porre: k n n k n n k n n I *I I *I I *I 3 3 2 2 1 1 = = = Gli n sono effettivam ente i coseni di rettori cercati, poiché risulta: *Ii 22 2 ** * 12 3 1 II I nn n ++ = Vale la pena di sottolineare che gli autovettor i definiscono solo una direzione, m a non un verso, perché si sarebbe potuto dividere le com ponenti del vettore di partenza per - √k. Procedendo analogam ente si possono trovare nII* e nIII*. Nel caso di autovalori dis tinti le d irezioni pr incipali rappresentano una terna di assi ortogonali, poiché sono a due a due ortogonali. Infa tti, supponiamo ad es. che sia σI ≠ σII. La (3.11) può essere scritta in corr ispondenza delle due radici com e (per sem plicità o mettiam o l’aster isco) : ( ) 0 n I TT = ⋅ ⋅ − I Iσ (3.13) ( ) 0 n I TT = ⋅ ⋅ − II II σ (3.14) Prem oltiplic o la (3.13) p er nII e la (3.14) per nI, ottenendo le due condizioni scalari: ( ) 0 = ⋅ ⋅ − I I TII n I T n T σ (3.15) ( ) 0 = ⋅ ⋅ − II II TI n I T n T σ (3.16) Poiché la m atrice T è simmetrica l’equazione (3 .16) può essere trasposta: ( ) 0= ⋅ − I II TII n I T n σ e sottratta mem bro a m embro alla (3.15) fornendo: ( ) 0= − ⋅ ⋅ I II I TII σ σ n I n (3.17) Poiché per ipotesi i due au tovalori erano distinti l’uguaglianza a zero del pr im o m embro della (3.17) im plica necessariam ente che sia: 15 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 0= ⋅ I TII n n (3.18) La (3.17) ci dice ch e il p rodotto scalare dei due autovettori è nullo, quindi che i due autovettori sono tra di loro ortogonali. Della prop rietà di ortogonalità si può fa re uso nella determ inazione degli autovettori stessi, e gli autovett ori possono essere scelti in modo da for mare una terna destra. Se la m atric e ha due r adici co inc ide nti, ad es. σI = σII > σIII, nel piano in cui giacciono σI e σII tutte le direzioni possono essere assunte com e di rezioni principali, e lun go qualunque direzione del piano stesso risulta σ = σI = σII; la terza r adic e σIII ovvia mente ha la direzi one della perpendicolare al piano. In questo cas o è lecito assum ere anco ra tre d irezioni p rincipa li che form ino una terna destra, scegliendo due direzioni pe rpendicolari (m a per il resto del tutto arbitrarie) nel piano delle prim e due radici. Se inv ece i tre autovalori sono coincidenti σI = σII = σIII lo stato d i sforzo si d ice isotropo (es.: la pressione idrost atica) e tutte le direzioni dello spazio possono essere direzioni principali; com e nel caso preced ente è pos sib ile sceg liere tre au tovettori che form ino una terna destra. Due osservazioni aggiuntive poss ono essere fatte alla luce di quanto detto sopra. La determ inazione delle direzioni e deg li sf orzi p rincipali con sente la s celta di que l pa rticolar e s iste ma di riferim ento (costituito dalla te rna destra form ata dalle direzioni pr incipali) in c ui il tenso re è rappres entato da una m atrice diagon ale av en te n ulli tutti i term ini fuori diagonale:           = IIIσ σ σ 0 0 0 0 0 0 II I T (3.19) Inoltre, si può osservare la com ponente norm ale di sforzo σn lungo qualunque giac itura individuata dal versore n può essere determ inata applicando in se quenza la relazione di Cauchy e il prodotto scalare di du e vetto ri: km k m k k k k k k k k k n n p n n n p n n p . n n p n = ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ = ∑ ∑ ∑ 3 3 1 3 2 3 1 2 1 3 1 1 n p σ (3.20) La (3.20) rende esplicito il fatto che la conoscenza delle com ponenti del tensore T consente la determ inazione di tutte le quan tità d i in ter esse p er lo stato di sforzo nel p unto. La sommatoria nella (3.20) si estende a nove term ini; se il vettore pn è espresso nel riferim ento principale tale som matoria si sem plif ica m olto per la perdita di tu tti i te rm ini pkm con k≠m: 23 22 21 n n n III II I n n σ σ σ σ + + = ⋅ = n p (3.21) La (3.21) m ette in evid enza la conv enienza d i es prim ere lo stato di sforzo ne l riferim ento principale. 16 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 4. Il caso dello stato di sfor zo piano Abbiam o fin qui visto com e lo stat o di sforzo nel generico punto O sia d efinito da tre vetto ri, p1, p2, p3, che rapp resentano gli sforzi agen ti sui pi ani coordinati di un sistem a di riferim ento noto x1, x 2, x3. Le com ponenti d ei tr e vetto ri sono anche esse definite nello stesso sistem a di riferim ento. Se si effettua una rotazione della terna di rife rim ento (m antenendo quindi fissa l’origine O), la te rna di assi di partenza si trasform a in una nuova terna 3 2 1 x, x, x ′ ′ ′ . Di conseguenza lo stato di sforzo nel punto O sarà descritto da tre nuovi vettori 3p 2 1 p p ′ ′ ′ , , 3x , che rappres entano gli sforzi agenti sui p iani coordinati (perpendicolari ai tre assi 2 1 , x, x ′ ′ ′ rispettiv amente); le co mpone nti dei tre v etto ri s aranno ovviam ente m isurate nel nuovo s istem a di riferim ento. La Figura 4.1 (tratta da lla Ref. [4]) illus tra molto bene il problem a in esam e, pur utilizzando una not azione diversa. Figura 4. 1 – Variazione de llo stato di sf orzo al variare del sistema di riferimento (da[ 4]). Vogliam o analiz zare la varia zione d ello s tato di sf orzo al variare del sistem a di riferim ento nel caso particolare in cui lo stato di sforzo è contenuto in un piano, essendo nulle le componenti dirette perpendicolarm ente al piano ste sso . Tale stato di sforzo rivest e particolare im portanza nel caso pratico: son o soggetti a stato di sforzo piano tu tti gli elem enti stru ttu rali che sono schem atizzab ili com e monodim ensionali, cioè le tr avi sogg ette ad azione assiale, flessione, taglio e tors ione. Lo stato di sforzo piano è presente anch e negli el ementi schem atizzab ili com e bi-dim ensionali, in cu i quindi una delle tre d imensioni (l o spessore) è m olto piccola rispet to alle altre du e. La piccolezza dello spessore consente di verifi care che le com ponenti dello stato di sforzo dirette secondo la terza dim ensione sono trascurabili. La trattazion e viene svo lta nel caso che lo stato d i sforzo si a contenuto nel piano x1, x 2. Pertan to: 11 22 12 13 23 33 00 0 0 pp p p p p ≠≠ ≠ = = = Senza perdere di generalità, com e in Fig. 9b si può assumere p11 >0, p22>0, p12 > 0. E’ di grande interesse pratico vedere com e variano le com ponenti norm ali e tangenziali di ta le stato di sforzo al 17 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo variare della giacitura su cui agis con o. La norm ale n uscente alla g iacitu ra in esam e for ma con la direz ione po sitiv a de ll’as se x1 un angolo θ pos itiv o com e in Fig. 4.2a. I l ve rsore t è assunto positivo quando ruota in senso orario intorno alla gi acitura prescelta. Le com ponenti dei versori n e t son o rispettivam ente:     − =    − =   =    =   = 1 2 2 1 2 1 n n cos sin t t sin cos n n θ θ θ θ t n (4.1) x2 x1 t n pn θ n1 n2 x2 x1 p12 p11 p22 p21 (a) (b) Figura 4. 2 – Variazione de llo stato di sf orzo pian o co n la gi acitura : (a) geometria; (b) sforzi a genti. La relazione di Cauchy consente la determ inazione de l vettore sforzo pn sulla g iacitura la cui norm ale è n. Trattandosi di uno stat o di sforzo piano la (2.6) si riduce a: 2 2 1 1 n n n p p p + = (4.2) Le com ponenti del vettore pn nel sistem a di riferim ento x1, x2 sono quindi date dalle due relazioni scalari: 2 22 1 12 2 2 21 1 11 1 n p n p p n p n p p n n + = + = (4.3) Tuttavia, queste due componenti sono poco signifi cative dal punto di vista del com porta mento meccanico del m ateriale, che è caratterizzato in term ini di sforzi norm ali e tangenziali. Per qu esto motivo si determ inano le com ponenti σ e τ del vettore pn lungo le direzioni n e t attraverso una sem plice operazione di proiez ione eseguita attraverso il prodotto scalare: 21 12 22 22 21 11 2 2 1 1 2 nn p n p n p n p n p n n n + + = ⋅ + ⋅ = ⋅ = n p σ (4.4) ( ) ( )22 21 12 2 1 22 11 1 2 2 1 2 2 1 1 n n p nn p p n p n p t p t p n n n n n − − − = ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = t p τ (4.5) Le (4.4), (4.5) risolvono com pleta mente il pr oblem a della determ inazion e delle componenti norm ali e tangen ziali agen ti sulla giac itu ra data. Tu ttav ia, una soluzione più utile può essere trovata se si sostituiscono alle com ponenti del versore n le loro esp ress ioni in funzione dell’angolo θ tr a la norm ale alla giacitura in esam e e l’as se x1: θ θ θ θ σ cos sin p sin p cos p 12 2 22 2 11 2+ + = (4.6) 18 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo () ( )θ θ θ θ τ 2 2 12 22 11 sin cos p sin cos p p − − − = (4.7) La (4.6) e (4.7) possono essere ulteriorm ente sem plificate se si fa uso delle seguenti relazioni trigonom etriche: θ θ θ cos sin sin 2 2 = ( )θ θ θ 2 2 2 sin cos cos − = (4.8) 2 2 1 2 2 1 2 2 θ θ θ θ cos sin cos cos − = + = (4.9) Le (4.8) e (4.9), introdotte nella (4.6), conducono a scrivere per la com ponente norm ale σ: θ θ σ 2 2 2 2 12 22 11 22 11 sin p cos p p p p + − + + = (4.10) Il term ine a secondo m embro che non dipende da θ può essere portato a prim o m embro; si ottiene: θ θ σ 2 2 2 2 12 22 11 22 11 sin p cos p p p p + − = + − (4.11) In m aniera analoga si ottiene per la com ponente tangenziale τ: θ θ τ 2 2 2 12 22 11 cos p sin p p − − = (4.12) Le (4.11) e (4.12) sono le equazioni para metriche di una circonferenza nel piano ( σ,τ), in cui il param etro è l’angolo 2θ, cioè il doppio dell’angol o che caratterizza la p osizion e della norm ale alla giacitura nel piano fisico. Il param etro 2θ può essere elim inato se le (4.11) e (4.12) vengono elevate al quadr ato e som mate m embro a m embro. Si ottiene p ertanto: 212 2 22 11 2 2 22 11 2 2 p p p p p +     − = +     + − τ σ (4.13) La (4.13) è nel piano ( σ,τ) l’equazione di una circonferenza, detta circolo di Mohr. In form a com patta si può scrivere: () 2 2 2 R c = + − τ σ (4.14) La circonferenza rappresenta il luogo di tutte le possibili coppie di valori σ,τ che gli sforzi normali e tangenziali assum ono nel punto in esam e al variar e della giacitura considerata. L a circonferenza ha centro nel punto C che giace sull’asse delle as cisse e ha co ordinate ( c,0); la coordinata non nulla è data da l va lore m edio degli sf orz i norm ali: 2 22 11 p p c + = (4.15) Il ragg io R della circonferenza è d efinito da: 212 2 22 11 2 2 p p p R +     − = (4.16) Nel caso d egli s tati d i sforzo pian o la p roced ura per la determ inazione di sforzi e direzioni 19 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo principali si può se mplificare in m aniera notevole. Le direzioni principa li sono caratterizzate dal fatto che lo sf orzo è dire tto com e la norm ale: possiam o perciò, eguaglia ndo a ze ro la (4.7), trova re il particolare valore θp per cui è nulla la com ponente tangenziale: 0 2 2 2 12 22 11 = − − = p p cos p sin p p θ θ τ (4.17) Si ricava quindi: 22 11 12 2 2 p p p tg p − = θ (4.18) La (4.18) consente la determ inazi one di due valori distinti per θp: 2 2 2 1 1 2 22 11 12 1 π θ θ θ + = − = ,p ,p ,p p p p arctg (4.19) Abbiam o cosi trovato per altra via un risultato già noto, il fatto ch e le direzioni principali sono tra loro perpendicolari. Si può ora osservare ch e la derivata della com ponent e norm ale vale: () τ θ θ θ σ 2 2 2 2 12 22 11 −= + − −= cos p sin p p d d (4.20) Pertan to i v alor i θp dell’angolo θ in corrispondenza dei quali si a nnulla lo sforzo tangenziale sono anche quelli che rendono stazionaria la com ponente norm ale. Gli sforzi principali sono quindi dei valori estrem i per lo st ato di sforzo nel punto. Gli sforzi principali possono essere agevolm ente calco lati dalla (4.14). Infatti, ess endo la componente tan genziale nu lla sulle g iacitu re in cui agiscono g li sforzi p rincipali, ques ti ultim i sono rappr esentati dalle inters ezioni del circolo d i Mo hr con l’asse delle ascisse e possono es sere ricavati dall’equazione (4.14): R c ±= − σ (4.21) Pertanto, ricordando che gli sforzi principali sono sem pre ordinati in m odo crescente, e assum endo in ogni caso che lo sforzo principale nullo nella di rezione norm ale al piano dello stato di sforzo sia σIII=0, si ricava: 212 2 22 11 22 11 2 2 p p p p p R c I +     − + + = + = σ (4.22) 212 2 22 11 22 11 2 2 p p p p p R c II +     − + + = − = σ (4.23) Il m assim o valore de lla tensione tangenziale τ si trova in corrisponden za del particolare valore θs dell’angolo θ che rende nulla la sua derivata prim a: s s sin p cos p p d d θ θ θ τ 2 2 2 2 2 0 12 22 11 + − = = (4.24) La condizione (4.24) fornisce: 20 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo p p s tg co tg p p p tg θ θ θ 2 2 1 2 2 12 22 11 −= −= − −= (4.25) Pertan to: 2 2 2 π θ θ − = p s (4.26) Nel piano di Mohr, le direzioni su cui agiscono le m assi me tensioni tangenziali sono quindi ruotate di 90° rispetto alle direzioni in agiscono gli sforzi pr incipali, e si hanno in corrispondenza del centro del circolo, com e può anche essere facilm ente verif ica to dalla (4.14 ). Quest’ultim a, per σ=c, fornisce anc he il va lore della τmax: 2 2 212 2 22 11 II I max p p p R σ σ τ − ±= +     − ±= ±= (4.27) La (4.27) mette in luce due aspetti. I due valori m assim i de lle tensioni tangenziali sono uguali in modulo e differiscono solo in segn o; peraltro, com e già notato in precedenza, ne ssun significato fisico particolare è associato al segno della componente tangenziale di sforzo. La massim a tensione tangenziale può essere espressa in m aniera compatta in f unzione degli sfor zi principali. E’ bene sottolineare a questo punto che la (4.27) fornisce la m assim a tensione tangenziale che agisce nel piano dello stato di sforzo: è possibile che in realtà il valore m assi mo ve nga raggiunto al di fuori del piano, com e succede nei casi in cui i due sforzi principali han no un segno concorde. 4.1. Costruzione grafica del circolo di Mohr La (4.14) consente agevolm ente il tracciam ento del circolo di M ohr nel piano che ha com e assi coordinati ( σ, τ), quando siano note le coordinate del cent ro e il valore del ra ggio. E’ ovviam ente im portante stabilire con chiar ezza le regole ch e consentono il passagg io dal p iano fisico ( x1, x2) a quello di Mohr. Riferiamoci alla F igura 4.3, in cu i le com ponenti de llo stat o di sforzo piano sono già riportate secondo le convenzion i positive nel pi ano fisico; senza perd ita di generalità possiam o aggiungere l’ipotesi ulteriore che sia p11>p 22>0 e p12>0. Osserviam o innanzitutto che le convenzioni con cui σ e τ vengono riportate sul piano di Mohr dipendono dal segno dei versori n e t che sono stati assunti all’iniz io della trattazione. Poiché n è assunto positivo com e uscente dall a giacitura, gli sforzi no rmali σ positivi, concordi in verso con la norm ale, sono anch’essi uscenti dalla giac itura, cioè di trazione. Il versore t è assunto positivo quando ruota in senso orario intorno alla facc ia su cui agisce: la tensione tangenziale τ sarà dunque positiv a con la stes sa convenzione. Le (4.6 ) e (4.7), calco late risp ettiv amente per θ=0 e θ=π/2, consentono di determ inare i punti de l piano di Mohr che rappresenta no gli sforzi sulle giaciture che 21 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo nel piano fisico hanno com e nor mali uscen ti gli assi coor dinati. Risulta: 12 11 0 p p −= = ⇒ = τ σ θ 12 22 2 p p / = = ⇒ = τ σ π θ τ σ τMA X τMA X σI σII X Y p12 p12 p22 R C p11 2θp Figura 4. 3 - I l cerchio di M ohr per lo stato di sforzo di Fig. 4.2 b. I due punti di coordinate X(p 11, -p 12) e Y(p 22, p 12) risultano essere diam etralm ente opposti sul circolo, com e illustrato in Fig. 4.3; il diam etro che li congiunge interseca l’asse delle ascisse in corrispondenza del centro dell a circonferenza. L’angolo θ nel piano fisico rappresenta l’angolo tra l’asse delle ascisse e la norm ale uscente alla giacitura considerat a; nel piano di Mohr, raddoppiando, diventa l’angolo tra i raggi che congiungono il centro del cerchio c on i punti rappresentativi degli sforzi sulle giaciture considerate. Occorre verificare che il verso di percorrenza degl i angoli sia lo stesso nel piano fisico e nel piano di Mohr. Nel pi ano fisico, si può studiare la variazione di segno di σ e τ nell’intorno di θ=0. Risulta: θ θ θ σ 2 2 2 2 2 12 22 11 cos p sin p p d d + − −= 0 2 12 0 > = = p d d θ θ σ θ θ θ τ 2 2 2 2 2 12 22 11 sin p cos p p d d + − = 0 22 11 0 > − = = p p d d θ θ τ Lo sforzo σ è cres cente con θ cres cente; perciò n el piano fisico devo ruotare di un angolo antiorario per andare verso lo sforzo principale σI. La τ è anche ess a crescen te con θ, perché passa da un valore negativo a uno nullo. Anche sul piano di M ohr devo ruotare in vers o antiorario per andare dal punto X allo sforzo principale σI; resta quindi conferm ato che il verso di percorrenza degli angoli coincide in entrambi i riferim enti. In Fig. 4.3 sono indicati anche gli sforzi principali e le massi me tensioni tangenziali; il terzo sforzo principale, σIII = 0, non riportato in figura, coincide con l’origine del sistem a di riferim ento. 22 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 5. Appendice: le componenti idrostatic a e deviatorica de l tensore d egli sforzi1 Indichiam o con p il valore m edio degli sforzi principali o più in generale delle com ponenti norm ali del ten sore d egli sf orz i: 3 3 33 22 11 p p p p III II I + + = + + = σ σ σ (5.1) Lo stato di sforzo può allora es sere espresso com e la somma di due tensori: uno rappresenta uno stato di sforzo isotropo (o idrostatico) ed una s econda parte che viene dett a deviatore degli sforzi: p p p p p p p p p p p p p p p − − − + = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 0 0 0 0 0 0 T (5.2) In form a si mbolica la (5.2 ) può essere scritta com e: ij ij ij s p p + = δ i, j= 1,2,3 (5.3) Nella (5.3) si è intr odotta la funzione δ di Kronecker definita com e: δij = 1 se i=j ; δij = 0 se i≠j (5.4) Le direzioni principali del deviatore degli sfor zi coincidono con quelle del tensore degli sforzi, perché entram be rappresentano direzioni perpendicolari ai pi ani in cui non ci sono sforzi tangenziali; la parte idrostatica del tensore inoltr e ha perso le inform azioni sulle d irezioni princip ali (per essa tutte le dire zioni sono principali). Gli sforzi pr incipali del deviat ore sono dati da: III,II,I k p s k k = − =σ (5.5) Gli invarianti del deviatore degl i sforzi valgono rispettivam ente: 0 1 =sI (5.6) () ( ) ( ) [] () ( ) ( ) () [] 212 213 223 2 11 33 2 33 22 2 22 11 2 2 2 2 21 2 6 6 1 6 1 3 3 1 p p p p p p p p p s s s s s s ) I I( I I III III II II I s + + + − + − + − = = − + − + − = − = (5.7) () () ( )( p s p s p s I II I I III II I s − ⋅ − ⋅ − = + − = 3 2 1 31 3 27 9 2 27 1 ) (5.8) 1 Questa parte non fa pa rte del programm a ma è stata in serita p er co mpletez za d ella trattazio ne. 23 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo 6. Esercizi Esercizio 1 La matrice d el tensore degli sforzi in un punto, rif erita ad un sistema di coordinate cartesiani ortogo nali, è mostrata sott o. Si determ ini la direzione n tale che il vettore dello stato di sforz o pn su un piano norm ale ad n abbia pn1 = p n2 = 0 , e si determ ini la co mponente pn3 su tale piano.           0 6 4 6 3 0 4 0 2 Esercizio 2 Determinare gli sforzi principali per il tensore degli sforzi, in coordinate cartesiani ortogona li, definito nella matrice sotto. Determ inare inoltre i c oseni direttori di ciascuna direzione principale in un sistema di riferim ento che segue la regola della mano destra (nota: l' equ azione cubica può essere facilmente fattorizzata).           − − 2 1 1 1 0 1 1 1 2 Esercizio 3 Per ciascuno dei seguenti stati di sforzo (i valori no n assegnati sono nulli) dis egnare i tre circoli di Mohr. Deter minare per cias cun caso il mas sim o sforzo ta ngenz iale, e lo sforzo normale agente sul piano de l massim o sforzo tangenzia le (unità in MPa). a) Co mpression e monoassial e, p11= - 60 b) Stato di sforzo piano, p11 = 20, p22 = -60 c) Stato di sforzo piano, p11 = 20, p22 = 60 d) Co mpression e idrostatica di valore 100. e) p12 = p21 = 30; p23 = p32 = 40 f) p11 =-50, p22 = -10; p33 =10 Esercizio 4 Per ciascuno stato di sfor zo piano defi nito i n tabell a (unità di misura: MPa) si tracci il cerchio di Mohr (facendo preferibilmente uso di car ta m illimetrata) e si determ ini: 1. direzioni e sforzi principal i, disegnando l'elemento su cui agiscono ed i relativi sforzi; 2. la massima tensione tangenziale, c on lo sforzo normale ad es sa a ssociat o, e si disegni l'ele mento su cui agisce 3. lo sforzo nor male σ e lo sforzo tangenziale τ su una giacitura ruotata di 30° rispe tto all'as se x1. P11 P22 P12 (a) 55 15 10 (b) 15 55 0 (c) -30 10 20 (d) 30 -10 -20 (e) -10 30 -20 24 03/12/ 200 9 Scienza d elle Co struzioni M.G. Mulas Lo stato di sforzo Esercizio 5 In un punt o P di una struttura in acciaio (E=205 G Pa; G=80 GPa) agisce lo stato di sfor zo definito dal seguente tensore T: ] MPa[           − − − = 40 10 20 10 30 30 20 30 80 T Si consideri n el punto P la direzione n di coseni direttori [ 0.5; 0.8; 0332] . Si determ inino: • lo sforzo pn associato alla direzione n; • la co mponente norm ale σn dello sforzo sulla giacitura che ha co me norm ale n; • la co mponente tangenziale dello sf orzo sulla m edesima giacitura; • il tensore delle piccole deform azioni as sociato al tensore di sforzo dato; • la deformazio ne estensionale εn associata alla medesima direzione n. Esercizio 6 In un punto P di un cor po in acciaio (E=200 GPa ; G=77 GPa ) il tensore degli sforzi ha il valore sot to riportato: ] MPa[           = 10 40 0 40 20 30 0 30 0 T Si determ inino: gli sforzi principali; • • • • • le massime tensioni tangenziali, costruendo i cer chi di Mohr a parti re dagli sforzi principali; il vettore pn dello stato di sforzo su un a giacitura di norm ale n (0.24 9, -0. 650 ; 0.71 8) nel r iferim ento principale; la co mponente norm ale σn dello sforzo sulla giacitura di norm ale n;