Chemical Engineering - Apllied Mechanics

Second partial exam

FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA E APPLICATA Allievi del Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali e del Corso di Laurea in Ingegneria Chimica Seconda Prova in Itinere del 28.01.2004 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 giace in un piano verticale. Nell’istante considerato l’asta OD, incernierata a terra in O, ruota con velocità angolare 1ω e accelerazione angolare 1ω . L’asta OD è incernierata in A all’asta AB, di lunghezza variabile, incernierata a terra in B. All’interno della guida prismatica ricavata nell’asta AB (comando oleodinamico) è contenuto del fluido la cui pressione p è regolata tramite un azionamento. L’asta OD ha peso P 1, baricentro G 1 e mo mento di inerzia J O, valutato rispetto ad O. Il tratto AC dell’asta AB ha peso trascurabile mentre la restante parte dell’asta ha peso P 3, baricentro G 3 e momento di inerzia baricentrico J 3. Sull’asta OD è appoggiato un carico avente peso P 2, baricentro G 2 e momento di inerzia baricentrico J 2. S ia f a il coefficiente di attrito statico tra il carico P 2 e l’asta OD ed f r il coefficiente di attrito redente tra il cilindro e lo stantuffo dell’asta AB. Si supponga che il carico P 2 non slitti rispetto all’asta OD. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di (n.b. chi ha già superato la parte di cinematica consideri note tutte le grandezze cinematiche necessarie per la soluzione del problema evidenziando però i versi delle velocità e accelerazioni assunte): - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 3 (solo per chi deve recuperare la parte di cinematica); - determinare la pressione p del fluido contenuto all’interno del cilindro ricavato nell’asta AB; - determinare la potenza persa complessivamente per le azioni di attrito; - verificare che il carico P 2 non slitti rispetto all’asta OD; - determinare le reazioni vincolari in O e le azioni interne in A; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema. Es. 2 Il sistema meccanico illustrato in figura 2 giace in un piano verticale. Nell’istante considerato il disco incernierato a terra in O ruota con velocità angolare ω e accelerazione angolare ω. L’asta AB è appoggiata al disco ed è vincolata a terra in C. Si supponga che tra l’asta e il disco non vi siano slittamenti. L’asta AB ha peso P 1 e baricentro G 1. Sull’asta AB è appoggiato un carico avente peso P 2 e baricentro G 2. Il disco omogeneo ha peso P 3 e mo me nt o di inerzia J O. S ia no f a1 ed f v rispettivamente il coefficiente di attrito statico e il coefficiente di attrito volvente tra l’asta AB e il disco. Inoltre, sia f a2 il coefficiente di attrito statico tra il carico P 2 e l’asta AB. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la coppia motrice M applicata al disco; - determinare le reazioni vincolari in O; - verificare che non vi siano slittamenti tra l’asta e il disco; - verificare che il carico P 2 non slitti rispetto all’asta AB. G2 G1 1ω 1ω. O B A C G3 MO ω ω . G G A 12 Fig. 2Fig. 1 D p ingrandimento B C FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi del CS in Ingegneria Chimica Appello del 2.03.2004 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 giace in un piano verticale. Un motore elettrico è collegato ad una trasmissione avente rapporto τ e rendimento η. Sull’albero di uscita della trasmissione è montato un tamburo avente momento di inerzia J p1 sul quale si avvolge una fune inestensibile la cui estremità opposta si avvolge su un secondo tamburo avente raggio R 1 ed il cui asse ha traccia in B. Questo tamburo è rigidamente collegato ad un disco, avente raggio R 2 e centro in B, che rotola senza strisciare su un piano orizzontale. In B è incernierata l’asta AB che è appoggiata ad un pattino incernierato in O. L’asta AB, avente baricentro in G, ha peso P 1 e momento di inerzia J A valutato rispetto all’estremo A. Il disco di raggio R 1 ed il tamburo di raggio R 2 hanno un peso complessivo P 2 e un momento di inerzia J B. Siano f v ed f a rispettivamente il coefficiente di attrito volvente ed il coefficiente di attrito statico tra il disco e il piano di appoggio. Inoltre, sia f r il coefficiente di attrito radente tra l’asta ed il pattino. Nell’istante considerato il punto B trasla con velocità v e accelerazione a (vedi figura) sotto l’effetto di una coppia motrice M m fornita dal motore. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G dell’asta AB; - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’albero motore; - determinare la forza F applicata all’estremo A dell’asta AB; - determinare la tensione della fune nel tratto CD (orizzontale); - determinare la coppia resistente ridotta all’albero di uscita della trasmissione; - verificare che il disco rotoli senza strisciare. Es. 2 Indicare quali fattori influenzano le azioni di attrito solido-solido illustrando i fenomeni fisici in cui sono coinvolti. Fig. 1 A D O H C M B v a F τ η Jp1 R2 R1 G FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA ED APPLICATA Allievi del CS in Ingegneria Chimica Appello del 12.07.2004 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 giace in un piano verticale. L’asta AB, avente baricentro G 1 e peso P 1 è costretta a muoversi in direzione verticale per effetto dei vincoli lisci in H e K. L’estremità A dell’asta è a contatto con la superficie di un corpo avente forma ad “L” incernierato a terra in O. Tale corpo ha baricentro G 2, peso P 2 e momento di inerzia J O valutato rispetto ad O. Sul tale corpo ad “L” è appoggiato un carico avente baricentro G 3, peso P 3 e momento di inerzia baricentrico J G3. Nell’istante considerato la distanza AH vale h, l’asta AB si muove in direzione verticale con velocità v nota mentre il corpo incernierato in O è dotato di un’accelerazione angolare ω nota. All’estremità B dell’asta AB è applicata una forza F incognita. Il coefficiente di attrito radente tra l’asta verticale e il corpo ad “L” vale f r. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 3 del carico appoggiato sul corpo ad “L”; - determinare la forza F applicata in B; - determinare le reazioni vincolari in O, H e K. Es. 2 L’albero motore del sistema illustrato in figura 2 è collegato ad una trasmissione ad ingranaggi avente rapporto τ 1 e rendimento η 1. Sull’albero di uscita di questa trasmissione è montato un disco, avente un momento di inerzia J d, al quale è applicato un momento frenante M f. Questo stesso albero costituisce l’albero di ingresso di una seconda trasmissione ad ingranaggi avente rapporto τ 2 e rendimento η 2. L’albero di uscita di questa seconda trasmissione è collegato ad un utilizzatore avente un momento di inerzia J r. Sia J m il momento di inerzia del motore. Inoltre, siano M m ed M r rispettivamente il momento fornito dal motore ed il momento resistente dell’utilizzatore. Si chiede di determinare l’accelerazione angolare dell’albero dell’utilizzatore. h H K OG G G 1 2 3 A B F v ω. Fig. 1 Jm Mm τ1η1 τ2η2 Jd Mr Jr Mm ω1 ω2 Mf Mr ω3 Fig. 2 FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA E APPLICATA Allievi del Corso di Studi in Ingegneria Chimica e del Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali (N.O.) Appello del 6.09.2005 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 1 giace in un piano verticale. L’asta AB è incernierata a terra in A ed è incernierata in B all’asta CD. All’estremo D dell’asta CD è situato un perno che è vincolato a strisciare lungo una guida prismatica rettilinea e scabra. L’asta AB ha peso P 1, baricentro G 1 e momento di inerzia baricentrico J 1. L’asta CD ha peso P 2, baricentro G 2 e momento di inerzia J D valutato rispetto all’estremo D. Nell’istante considerato l’asta CD e dotata di velocità angolare ω 1 e accelerazione angolare 1ω . Sia f r il coefficiente di attrito radente tra il perno in D e la guida. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 1 dell’asta AB; - determinare la forza F applicata in C; - determinare le reazioni vincolari in A. Es. 2 L’albero motore del sistema illustrato in figura 2 è collegato ad una trasmissione ad ingranaggi avente rapporto τ 1 e rendimento η 1. Sull’albero di uscita di questa trasmissione è montato un disco, avente un momento di inerzia J d, al quale è applicato un momento frenante M f. Questo stesso albero costituisce l’albero di ingresso di una seconda trasmissione ad ingranaggi avente rapporto τ 2 e rendimento η 2. L’albero di uscita di questa seconda trasmissione è collegato ad un utilizzatore avente un momento di inerzia J r. Sia J m il momento di inerzia del motore. Inoltre, siano M m ed M r rispettivamente il momento fornito dal motore ed il momento resistente dell’utilizzatore. Si chiede di determinare l’accelerazione angolare dell’albero dell’utilizzatore. AB Fig. 1 C D G2 F G1 ω ω . Jm Mm τ1η1 τ2η2 Jd Mr Jr Mm ω1 ω2 Mf Mr ω3 Fig. 2 FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA E APPLICATA Corso di Studi in Ingegneria Chimica e Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali Prova in Itinere del 15.12.2006 Il sistema meccanico illustrato in figura giace in un piano verticale. Due dischi omogenei, coassiali e solidali tra loro, aventi centro in C, rotolano senza strisciare su un piano orizzontale con velocità angolare ω e accelerazione angolare ω. L’insieme dei due dischi ha peso P 1 e momento di inerzia baricentrico J 1. Un corsoio, avente peso P 2 e momento di inerzia baricentrico J 2, è incernierato in C ed è costretto a muoversi all’interno di una guida rettilinea ricavata nell’asta incernierata a terra in A. Tale asta ha baricentro in G, ha peso P 3 e momento di inerzia J A, valutato attorno ad un asse passante per il punto A. Sulla superficie laterale del disco di diametro inferiore (avente centro in C) si avvolge una fune inestensibile e di massa trascurabile alla cui estremità N è collegato un carico di peso P 5 che trasla in direzione verticale. Tale fune è a contatto sulla puleggia di rimando incernierata a terra in K avente peso P 4 e momento di inerzia baricentrico J K. Si suppone che non vi siano slittamenti tra la fune e la puleggia di rimando incernierata in K. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche, ed in particolare l’angolo α formato dall’asta AB con l’asse orizzontale, si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta AB; - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G dell’asta AB; - determinare la velocità e l’accelerazione del carico di peso P 5 collegato in N alla fune; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica complessiva del sistema; - scrivere l’espressione dei sistemi equivalenti di forze (e coppie) associati ai diversi componenti meccanici del sistema; - mettere in evidenza le reazioni vincolari nei punti A e K e le azioni interne scambiate tra il corsoio incernierato in C e la guida. A B C D H F G EK N ω ω . α FONDAMENTI DI MECCANICA TEORICA E APPLICATA (N.O.) Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali - Corso di Studi in Ingegneria Chimica A.A. 2006/2007 - Appello del 7.02.2007 Es. 1. Il sistema meccanico illustrato in Fig. 1 giace in un piano verticale. Il cuneo avente peso P 2 e baricentro G 2 si muove lungo il piano inclinato con velocità v e accelerazione a assegnate (vedi figura). Il disco omogeneo di centro A, avente peso P 3 e momento di inerzia baricentrico J d rotola senza strisciare sul piano di contatto con il cuneo. L’asta AB, incernierata agli estremi, ha baricentro in G 1, peso P 1 e momento di inerzia J A valutato rispetto ad un asse passante per A. Sull’asta AB agisce un carico con andamento triangolare (la pressione all’estremo B vale p 0). Siano f r e f a1 rispettivamente il coefficiente di attrito radente e statico tra il cuneo e il piano di appoggio. Inoltre, siano f v e f a2 rispettivamente il coefficiente di attrito volvente e il coefficiente di attrito statico tra il disco e il piano di contatto con il cuneo. Per la posizione del sistema illustrata in Fig.1 e ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: a) determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 1 dell’asta AB; b) scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema; c) determinare la forza F applicata al cuneo in C; d) determinare le reazioni vincolari in B; e) verificare che il disco rotoli senza strisciare; f) illustrare la procedura che consente di verificare se in assenza della forza F e con velocità e accelerazione del cuneo nulle è possibile che il sistema, nel suo complesso, rimanga nella condizione di equilibrio statico. N.B. Gli studenti che hanno già superato positivamente la Prova in Itinere assumano in maniera arbitraria i parametri cinematici che risultano necessari per effettuare l’analisi dinamica del sistema (punti c ÷ f). Es. 2. Il sistema meccanico illustrato in Fig. 2 giace in un piano verticale. Il motore elettrico M, il cui rotore ha momento d’inerzia J m, è collegato ad una trasmissione avente rapporto τ e rendimento η. Sull’albero di uscita della trasmissione è montata una puleggia, avente momento d’inerzia J p1, sulla quale si avvolge una fune inestensibile e di massa trascurabile. A sua volta la fune si avvolge sulla puleggia incernierata in C alla struttura reticolare vincolata a terra in D e in E. All’estremo A della fune è collegato un carico P 1 che si muove verso l’alto con velocità v. La puleggia di centro C ha peso P 2 e momento d’inerzia baricentrico J C. La puleggia di rimando incernierata in O ha peso P 3 e momento d’inerzia baricentrico J O. Il motore eroga una coppia motrice M m. Nell’istante considerato, ritenendo note tutte le grandezze geometriche e trascurabili i pesi delle aste che compongono la struttura reticolare (ed in assenza di slittamenti tra la fune e le pulegge), si chiede di: a) determinare l’accelerazione del carico P 1; b) determinare le reazioni vincolari in D ed E; c) determinare la tensione nei rami di fune AB e KH; τη Jp1 v M D O C B E HN K A Fig. 2 va F 0 A B Gp C 1 H G 2 Fig. 1 FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA Corso di Studi in Ingegneria Chimica - Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali Prova in Itinere del 15.05.2008 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 si muove in un piano verticale. Nell’istante considerato il corpo rigido avente peso P 2 e baricentro G 2 si muove con velocità v e accelerazione a assegnate. Tale corpo è collegato in K ad una fune tesa, inestensibile e di massa trascurabile che si avvolge sulla superficie esterna di un disco omogeneo, avente peso P 3 e momento d’inerzia J O, incernierato a terra nel centro O. L’asta AB, avente peso P 1, baricentro G 1 e momento d’inerzia J B valutato rispetto ad un asse passante per B, è incernierata a terra in D ed è collegata in B all’asta BC lungo la quale è ricavata una guida rettilinea. All’interno di questa guida è impegnato un corsoio che è rigidamente collegato al disco di centro O. L’asta BC ha peso P 4, baricentro G 4 e momento d’inerzia baricentrico J G4. Per la posizione del sistema indicata in figura, nell’ipotesi che non vi siano slittamenti tra la fune e il disco e ritenendo note tutte le grandezze geometriche di interesse, si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta AB; - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 1; - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 4 dell’asta BC; - fornire l’espressione dei sistemi equivalenti delle azioni inerziali agenti sulle aste AB e BC, sul disco e sul corpo collegato in K alla fune; - evidenziare le reazioni vincolari in D e O, nonché le azioni interne in B e nel contatto tra il corsoio e la guida dell’asta BC nell’ipotesi di attriti trascurabili. AO G 1 Fig. 1 B C DG 2 H K va G 4 FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA Corso di Studi in Ingegneria Chimica - Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali (N.O.) Appello del 02.09.2009 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 1 giace in un piano verticale. Il corpo rigido avente baricentro in G 1 ha peso P 1 e momento d’inerzia baricentrico J G1. Tale corpo, in seguito denominato “corpo n.1”, rotola senza strisciare su un piano orizzontale con velocità angolare ω e accelerazione angolare ω sotto l’effetto di una forza F incognita applicata in A. La parte inferiore del corpo n.1, a contatto con il piano orizzontale, è caratterizzata da una superficie cilindrica di raggio R e centro O. Sulla superficie superiore del corpo n.1, avente traccia AB, è appoggiato il corpo n.2 avente baricentro in G 2, peso P 2 e momento d’inerzia baricentrico J G2. Siano f v ed f a1 rispettivamente il coefficiente di attrito volvente ed il coefficiente di attrito statico tra il corpo n.1 ed il piano orizzontale. Inoltre, sia f a2 il coefficiente di attrito statico tra il corpo n.2 ed il corpo n.1. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche ed ipotizzando l’assenza di slittamenti tra i corpi n.2 e n.1 si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 2; - determinare la forza F applicata in A al corpo n.1; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema; - determinare le azioni di contatto in H e verificare che il corpo n.1 rotoli senza strisciare; - verificare che non vi siano slittamenti tra il corpo n.2 ed il corpo n.1. Es. 2 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 2 giace in un piano verticale. L’albero di un motore elettrico è collegato ad un tamburo (n.1) attraverso una trasmissione avente rendimento η e rapporto di trasmissione τ. Il rotore del motore ha un momento d’inerzia J m mentre il tamburo ha un momento d’inerzia J 1. La fune inestensibile che si avvolge sul tamburo n.1 si avvolge a sua volta sul tamburo (n.2), avente peso P 2 e momento d’inerzia J 2, incernierato a terra in O. All’estremità B della fune è collegato un carico avente massa m 3 che, nell’istante considerato, si muove verso l’alto con velocità v mentre il motore eroga un momento M m. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche ed ipotizzando l’assenza di slittamenti tra fune e tamburi si chiede di: - determinare l’accelerazione del carico di massa m 3; - determinare le reazioni vincolari in O. Es. 3 Spiegare che cosa sono le curve caratteristiche di un motore e quali informazioni possono essere ricavate dalla conoscenza di tali curve. Fig. 1 η τ Jm J1 J2 A B m v 3 CD Fig. 2 AF O GG H 121 ω ω . O B FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA Allievi del Corso di Studi in Ingegneria Chimica e del Corso di Studi in Ingegneria dei Materiali (N.O.) Appello del 03.02.2010 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 giace in un piano verticale. All’estremo D della fune inestensibile DA è collegato ad un carico P 1 che, nell’istante considerato, si muove in direzione verticale con velocità v ed accelerazione a. La fune si avvolge su una puleggia incernierata a terra in C. Si suppone che non vi siano slittamenti tra la fune e la puleggia. La puleggia ha peso P 3 e momento di inerzia baricentrico J C. L’estremità A della fune è collegata al centro di un disco omogeneo che rotola senza strisciare su un piano inclinato. Tale disco ha peso P 4 e momento di inerzia baricentrico J A. In A è incernierata l’asta AB il cui estremo B è vincolato a muoversi lungo un’asta incernierata a terra in O. Quest’asta, il cui spessore è trascurabile, ha baricentro G, peso P 2 e momento di inerzia J O valutato rispetto ad O. In E è applicata una forza F. L’asta AB ha peso trascurabile. Sia f r il coefficiente di attrito radente nel contatto in B tra le aste OE e AB. Siano f a ed f v i coefficienti di attrito statico e volvente tra il disco e il piano inclinato. Nell’istante considerato e ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G dell’asta OE; - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta AB e del disco di centro A; - determinare la coppia motrice M applicata alla puleggia; - determinare la tensione della fune in D ed in A, nonché le reazioni vincolari in O e in C; - verificare che il disco rotoli senza strisciare sul piano inclinato. A B C DE G v F O a M Fig. 1 FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA Corso di Studi in Ingegneria Chimica e Corso di Studi in Ingegneria del Materiali (Prof. Andrea VANIA) Prova in Itinere del 13.05.2010 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in Figura 1 giace in un piano verticale. Nell’istante considerato l’estremo A dell’asta AB, incernierata a terra in O 1 ed avente baricentro in G 1, è dotato di velocità v A e accelerazione a A (vedi Fig.1). L’estremo C dell’asta AC, incernierata in A all’asta AB ed avente baricentro in G 2, è incernierato all’asta CO 2 avente massa trascurabile. Tale asta è incernierata a terra in O 2. Si ritengano note le lunghezze delle aste AB, AC e CO 2. Siano m 1 e J A la massa dell’asta AB ed il corrispondente momento d’inerzia dell’asta valutato rispetto ad un asse passante per A. Siano inoltre m 2 e J G2 la massa dell’asta AC ed il corrispondente momento d’inerzia baricentrico. Assegnata la posizione angolare dell’asta AB si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta AB; - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta CO 2; - determinare la velocità assoluta e l’accelerazione assoluta dei baricentri G 1 e G 2; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema; - evidenziare le reazioni vincolari in O 1, nonché le azioni interne in A e in C. Es. 2 Il sistema meccanico illustrato in Figura 2 giace in un piano verticale. Nell’istante considerato l’asta AC, incernierata a terra in O ed avente baricentro in G 1, è dotata di velocità angolare ω e accelerazione angolare ω (vedi Fig.2). L’asta AB, avente baricentro in G 2, è vincolata a scorrere all’interno del manicotto incernierato a terra in D. Si ritengano inoltre noti tutti i parametri geometrici del sistema. Siano m 1 e J G2 la massa dell’asta AC ed il corrispondente momento d’inerzia baricentrico dell’asta. Siano infine m 2 e J B la massa dell’asta AB ed il corrispondente momento d’inerzia dell’asta valutato rispetto ad un asse passante per B. Assegnata la posizione angolare dell’asta AC si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta AB; - determinare la velocità assoluta dei baricentri G 1 e G 2; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema; - evidenziare le reazioni vincolari in O e in D, nonché le azioni interne in A. C AB ω ω . Fig.2 G1 G 2 O D F M m A B Fig.1 G1 G 2 CF m Fr D vA aA O1 O2 FONDAMENTI DI MECCANICA APPLICATA Coso di Studi in Ingegneria Chimica e in Ingegneria dei Materiali - A.A. 2009/2010 Prova Estemporanea del 23.06.2010 Es.1 Il sistema meccanico illustrato in Figura 1 giace in un piano verticale. L’asta AB, incernierata a terra in O 2, ha baricentro in G 2, peso P 2 e momento d’inerzia J B, valutato rispetto ad un asse passante per B. L’asta BC, avente peso trascurabile, è incernierata in B all’asta AB ed in C ad un corpo rigido incernierato a terra in O 1. Tale corpo, avente baricentro in G 1, peso P 1 e momento d’inerzia baricentrico J G1, è costituito da un settore circolare di raggio R collegato rigidamente ad un’asta. Sulla superficie laterale di questo corpo si avvolge una fune inestensibile collegata in D ad una slitta che può traslare lungo un piano inclinato. Tale slitta ha peso P 3 e baricentro K. Il tratto di fune HD è parallelo al piano inclinato. I coefficienti di attrito statico e di attrito radente tra la slitta ed il piano di scorrimento valgono rispettivamente f a ed f r. All’estremo A dell’asta AB è applicata una forza di intensità incognita. Nell’istante considerato la slitta trasla verso l’alto con velocità v e accelerazione a. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche del sistema e supponendo che non vi siano slittamenti tra la fune e la superficie del corpo incernierato in O 1 si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 2 dell’asta AB (solo per gli studenti che non hanno superato positivamente la Prova in Itinere); - determinare la forza F applicata in A; - determinare le reazioni vincolari in O 1 e in O 2; - determinare la tensione nel tratto di fune HD; - ipotizzando che il sistema sia fermo, determinare la tensione minima della fune HD che consente di mettere in movimento la slitta. (gli studenti che hanno già superato positivamente la Prova in Itinere in corso d’anno assumano in maniera arbitraria, ma congruente con il problema in oggetto, i parametri cinematici necessari per la soluzione della parte di dinamica del problema riportandoli in maniera chiara nella soluzione) CD AB F K O 1 O 2 G 2 G 1 Fig. 1 va H M ECCANIC A APPLICAT A alle MACCHINE Corso di studi in Ingegneria Chimica - A.A. 2010 - 2011 Prova in Itinere del 12.05.2011 Il sistema meccanico illustrato in figura giace in un piano verticale. Il disco omogeneo di centro A, peso P 1 e momento d’inerzia J A, rotola senza strisciare su un piano inclinato. L’asta AB, avente peso trascurabile, è incernierata in A al disco ed in B ad una slitta, avente peso P 2, che è vincolata a muoversi su un secondo piano inclinato. Il perno C, solidale con la slitta e coincidente con il baricentro della slitta stessa, è vincolato all’interno della guida rettilinea ricavata nell’asta DE, avente peso P 3, baricentro G e momento d’inerzia J D, valutato rispetto all’estremo D. Tale asta è incernierata a terra in O. Siano f v ed f a rispettivamente il coefficiente di attrito volvente e di attrito statico tra il disco e il piano. Inoltre, siano f r1 ed f r2 rispettivamente il coefficiente di attrito radente tra la slitta e il piano e quello tra il perno C e la guida. Infine, sia F m la forza applicata in D all’asta DE. Nell’istante considerato, il centro A del disco si muove con velocità v e accelerazione a assegnate (vedi figura). Per la posizione del sistema indicata in figura e ritenendo noti tutti i parametri geometrici si chiede di: - determinare la velocità angolare dell’asta DE; - determinare l’accelerazione angolare dell’asta DE; - determinare la forza resistente F r applicata nel centro A del disco; - determinare le reazioni vincolari in O; - scrivere l’espressione della potenza persa per attrito nell’ambito dell’intero sistema; - illustrare la procedura di verifica di puro rotolamento del disco. HAE O C Fr Fm D G B va MECCANICA APPLICATA alle MACCHINE Coso di Studi in Ingegneria Chimica - A.A. 2010/2011 Appello del 30.06.2011 Es.1 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 1 giace in un piano verticale. L’asta incernierata a terra in O ha baricentro in G, peso P 1 e mo mento di inerzia J O valutato rispetto all’asse passante per O. Un disco omogeneo avente centro in B, peso P 2 e momento di inerzia baricentrico J B rotola senza strisciare lungo il piano inclinato. Un perno, rigidamente collegato al disco in B, si impegna nella guida curvilinea scabra ricavata sull’asta. Sia f r il coefficiente di attrito radente tra il perno e la gu ida, sia no ino lt re f v ed f a rispettivamente il coefficiente di attrito volvente ed il coefficiente di attrito statico tra il disco ed il piano inclinato. Nell’istante considerato il centro B del disco si muove con velocità v e accelerazione a assegnate. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche del sistema (ivi compreso il raggio di curvatura, r, in B della guida curvilinea) si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta incernierata in O; - determinare la forza F applicata all’estremità A dell’asta e le reazioni vincolari in O; - fornire l’espressio ne dell’energia cinetica del sistema; - verificare che il disco rotoli senza strisciare; Es. 2 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 2 giace in un piano verticale. La struttura reticolare vincolata a terra in A e in B è composta da aste aventi peso trascurabile rispetto alle altre forze applicate al sistema. All’estremità O dell’asta OB è incernierata una puleggia avente peso P 1 e momento di inerzia baricentrico J O. Sulla puleggia si avvo lge una fune inestensibile la cui estremità H è collegata ad un carico, avente peso P 2, che trasla con velocità v e accelerazione a lungo un piano inclinato scabro. L’estremità opposta della fune si avvolge sulla superficie laterale di un disco, avente un mo mento di inerzia J 1, montato sull’albero di uscita di una trasmissione di rendimento η e rapporto di trasmissione τ. La trasmissione è collegata all’albero di un motore elettrico il cui rotore ha un momento d’inerzia J m. Sia f r il coefficiente di attrito radente tra il carico e il piano inclinato. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche del sistema e supponendo che non vi siano slittamenti tra la fune e le pulegge si chiede di: - determinare il mo mento M m fornito dal motore ; - determinare le reazioni vincolari in A e in B nonché la tensione della fune nel tratto DH (parallelo al piano inclinato). Es. 3 Facendo riferimento al sistema meccanico dell’esercizio n.2 si chiede di determinare lo stato di sollecitazione dell’asta OB, avente sezione costante, e di illustrare la procedura di verifica di resistenza dell’asta supponendo che questa sia realizzata in materiale duttile. Es. 4 Illustrare i principi di funzio namento ed i criteri di dimensio namento di fo ndazio ni rigide ed elastiche in sistemi vibranti soggetti a forze dinamiche non equilibrate. A B C OD H MTv a Fig. 2 O A F va B H G Fig. 1 r MECCANICA APPLICATA alle MACCHINE Allievi del Corso di Studi in Ingegneria Chimica Appello del 06.09.2011 Parte A Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 1 giace in un piano verticale. L’albero di un motore elettrico è collegato ad una trasmissione avente rendimento η e rapporto di trasmissione τ. Sull’albero in uscita dalla trasmissione è montato un tamburo, avente momento di inerzia J p1, sul quale si avvolge una fune inestensibile il cui estremo A è collegato all’asta AB. Tale asta, avente peso P 1 e baricentro G 1, è vincolata in H e K su due appoggi lisci. Il perno C, solidale con l’asta AB, è a contatto con l’asta DO 1, incernierata a terra in O 1 e di spessore trascurabile. Tale asta ha peso P 4, baricentro G 4 e momento di inerzia J D valutato rispetto all’estremo D. Il motore elettrico, il cui rotore ha un momento d’inerzia J m, eroga un momento M m incognito. Sia f r il coefficiente di attrito radente tra l’asta DO 1 ed il perno C. Sull’asta DO 1 è appoggiato un carico di peso P 3, baricentro G 3 e momento d’inerzia baricentrico J G3. Si suppone che per effetto delle azioni di contatto dovute all’attrito statico f a non vi siano slittamenti tra il carico e l’asta DO 1. La puleggia di rimando incernierata a terra in O 2 ha peso P 2 e momento d’inerzia baricentrico J p2. Nell’istante considerato l’asta AB trasla con la velocità v ed l’accelerazione a indicate in figura. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 4 dell’asta DO 1; - determinare la velocità e l’accelerazione del baricentro G 3 del carico di peso P 3; - determinare il momento M m fornito dal motore; - determinare le reazioni vincolari in O 1, O 2 e le azioni interne in C; - scrivere l’espressione dell’energia cinetica del sistema - illustrare la procedura di verifica che il carico di peso P 3 non slitti rispetto all’asta DO 1. A η τ G 1 vFig. 1 G 4 B J m M m D C HKO 2 a E G 3 O1 Jp1 Jp2 MECCANICA APPLICAT A alle MACCHINE Corso di Studi in Ingegneria Chimica Appello del 20.09.2011 Es. 1 Il sistema meccanico illustrato in figura 2 giace in un piano orizzontale. Nell’istante considerato l’asta OB ruota con velocità angolare ω e accelerazione angolare ω. Sull’asta BC, incernierata in B all’asta OB, è ricavata una guida prismatica in cui si impegna il corsoio incernierato a terra in A. L’asta BC ha baricentro in G, peso P e momento di inerzia J B, valutato rispetto a B. All’estremità C dell’asta BC è applicata una forza F 1. Sia f r il coefficiente di attrito radente tra il corsoio e la guida. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - determinare la velocità angolare e l’accelerazione angolare dell’asta BC; - determinare il momento motore M m applicato all’asta OB; - determinare le reazioni vincolari in O e in A; - fornire l’espressione dell’energia cinetica del sistema. Fig. 1 k r y(t) AB OC D E O AB C M m ω ω. G F 1 Fig. 2 Es. 2 Il sistema meccanico illustrato in Fig. 1 giace in un piano verticale. Il disco incernierato in O è collegato a terra in E tramite un elemento elastico di rigidezza k ed uno smorzatore di costante viscosa equivalente r. Il disco ha peso P 1 e momento di inerzia J O. Il vincolo E si muove in direzione verticale con la legge y(t) = Y cos(Ω t). Sulla superficie laterale del disco si avvolge una fune inestensibile alla cui estremità A è collegato un carico P 2. Si suppone che non vi siano slittamenti tra il disco e la fune. Ritenendo note tutte le grandezze geometriche si chiede di: - scrivere l’equazione di moto del sistema; - scrivere l’espressione della risposta in transitorio e di quella a regime; - scrivere l’espressione della frequenza propria smorzata del sistema e dello smorzamento critico; - scrivere l’espressione dell’ampiezza massima di vibrazione a regime; - spiegare come si possa intervenire sulla rigidezza k dell’elemento elastico al fine di ridurre le vibrazioni del carico P 2 indotte dalla vibrazione del vincolo. Es. 3 Illustrare le caratteristiche fondamentali delle forze fluidodinamiche che agiscono su un corpo immerso in una vena fluida in moto laminare evidenziando i parametri principali da cui esse dipendono.