Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

First partial exam

Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prima prova parziale del 14/11/2017 Cognome Nome Matr. N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegner`a, lo studente indichi il proprio cognome e n ◦di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati finali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligrafia leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terr`a conto anche dell’ordine. (tempo: 150 min ) 1. Provare per induzione che la disuguaglianza n!≤ 2 !n 2 "n+12 `e v e r a p e r o g n i i n t e r o n ≥ 2. 2. Posto A = #a∈ Q :a2< 5$ B = {b∈ Q :|6− 3b|≤| b|} C = {a+ b:a∈ A, b ∈ B} D = %a b :a∈ A, b ∈ B & calcolare (in R): sup C,inf C,sup D einf D . 3. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss le radici complesse zdell’equazione 'z2+1+ i(2=8 i 4. Provare che la funzione f(x)= 1 9x2+ x4 `e i n v e r t i b i l e p e r x< 0. Quindi calcolarne l’inversa f−1,precisandoneildominio,e disegnare i grafici di f edi f−1sullo stesso piano cartesiano. 1 5. Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limite limx→4 x− √x− 2 x− 4 6. Determinare la classe limite della successione an= ncos !nπ 4 " 3+ nsin !nπ 4 " 7. Mettere in ordine di rapidit`a crescente i seguenti infinitesimi per x → 0+,giustificando la risposta. '√x− 1(3+1 ; ) x|ln x| ;e 3√x+e −3√x− 2; ! x ln x "2 ; √ 1− x2− 1 8. Siano f, g :[0 ,1] → [0,1], continue, con f(0) = 1, f(1) = 0. Provare che si ha f(c)= g(c) per qualche c∈ [0,1]. 9. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuit`a ed eventuali asintoti della funzione h(x)= xarctan |x|(x+1) ln |x+2 | 10. Usando il metodo grafico, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n =0 ,1,2,... ) an+1 = 2a2n 1+ a2n al variare di a0≥ 0. 2