Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

First partial exam

Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prova scritta del 17/1/2018Cognome Nome Matr.N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnera, lo studente indichi il proprio cognome e n di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligraa leggibile: nella valutazione complessiva dell'elaborato si terra conto anche dell'ordine. (tempo: 150 min) 1. Siah(x) =x1 + px . Calcolare h0 (x) usando la denizione di derivata. 2. Siaf(x) = xg(x) sex6 = 0 0 sex= 0 Dare condizioni necessarie e sucienti sulla funzioneganchefsia derivabile inx= 0. 3. Calcolare il seguente limite: lim x!+1x 4 tan1x 2 sinh2 1x  4. Determinare essi e intervalli di concavita/convessita della funzionef(x) =xjxj 3jxj+jx3j+ 4 5. Si consideri la curva cartesiana piana (detta \catenaria") di equazioney= coshx. (a) Calcolare il raggio di curvatura=(x) della catenaria nel generico puntox2Re vericare che(x) e una funzione pari. (b) Calcolare la lunghezza dell'arco di catenaria compreso fra i punti di ascissexex (conx >0) ed esprimere il risultato in funzione di(x). 6. Calcolare il valore del seguente integrale:Z1 0(log 2x )3 dx 1 7. Stabilire per quali valori del parametro reale il seguente integrale improprio converge: Z+1 0 x +x 
e x dx 8. Studiare la funzione integrale (x) =Z x 03 rt 4 + 1t 2 td t (dominio, monotonia ed estremi, eventuali asintoti, graco). 9. Determinare il carattere delle serieX1n 3 n 3 ;X  11n  n xn essendoxun parametro reale. 10. Calcolare un valore approssimato dell'integraleZ0:8 0cos x3
dx con un errore minore di 10 4 , precisando se l'approssimazione e per difetto o per eccesso. 2