Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

First partial exam

Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Pro¤. Monticelli, Verri Prima prova parziale del 07/11/2018Cognome Nome Matr.N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnerà, lo studente indichi il proprio cognome e n di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati …nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligra…a leggibile: nella valutazione complessiva dell’elaborato si terrà conto anche dell’ordine. (tempo: 2h 30min) 1. Provare per induzione che la disuguaglianzan1 Y k=1(2 k)!(n!)n 1 è vera per ogni interon2. [Simbolo di produttoria:n Y k=1a k= a 1 a 2


 a n] 2. SiaKun campo ordinato. Provare che 8x2Kx >0 =)x+x 1 1 + 1 (Speci…care le proprietà dei campi ordinate usate.) 3. Determinare le radici complessezdell’equazione (1 +i)8 z2 =z 4. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss l’insieme A= z2C: arg z1z + 1 =4  5. Siaf(x) = x+ 1sex 1 px + 1sex >1 Disegnare il gra…co dife poi calcolare la funzione compostaff. 1 6. Provare che la funzione g(x) =rx x + 1 è invertibile perx0. Quindi calcolarne l’inversag 1 , precisandone il dominio. 7. Veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!1+px 1p x 1= + 1 8. Determinare la classe limite della successionean=2 + [( 1)n 1]n2 + sin  n3  9. Usando il metodo gra…co, stabilire il carattere della successione ricorsiva (n= 0;1;2; :::) an+1= 1 + ( a n 1)3 al variare dia 02 R. 10. Eseguire lo studio asintotico (dominio massimale, segno, ordini di in…nito e di in…nitesimo,eventuali asintoti) e quindi disegnare il gra…co probabile della funzione h(x) =x jxjj x1j+ 3 r1 e xcosh x 2