Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

Full exam

Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prova scritta del 06/2/2018Cognome Nome Matr.N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnera, lo studente indichi il proprio cognome e n di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligraa leggibile: nella valutazione complessiva dell'elaborato si terra conto anche dell'ordine. Parte prima (tempo: 1h 30min) 1. Determinare il dominio massimale della funzionef(x) =sx j xj+ 2 cosh x1 2 sinhx 2. Rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi A=n z2C:jarg (z)j 3 o ;B= 2C:=3 pz i ; z 2A Quindi calcolare l'area della regioneB\ fjj 2g. 3. Sianof(x) =15 sin x;g(x) = arcsin (1 + 5x) Calcolare le espressioni difge digf, precisandone i domini massimali. 4. Calcolare e quindi vericare con la denizione metrica il seguente limite: lim x!0 sinx1sin x 5. Stabilire l'ordine di innitesimo perx! 1 delle seguenti funzioni: x3 + 1 ; 2x 1x 32 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di innito e di innitesimo, eventuali asin-toti) e quindi disegnare il graco probabile della funzione h(x) =3 r2 j xj 1x 32 1 Analisi Matematica I (per Ing. Matematica) Prof. Verri Prova scritta del 06/2/2018Cognome Nome Matr.N. Questo testo va consegnato insieme ai fogli con le soluzioni. Su tutti i fogli che consegnera, lo studente indichi il proprio cognome e n di matricola. Nelle soluzioni non basta scrivere i risultati nali: riportare i passaggi principali e fornire adeguate spiegazioni. Scrivere le soluzioni in modo ordinato e con calligraa leggibile: nella valutazione complessiva dell'elaborato si terra conto anche dell'ordine. Parte seconda (tempo: 1h 30min) 1. Siaf2C2 (R) tale chef0 (0) = 0. Postog(x) =f(px ), provare chege derivabile da destra inx= 0 e cheg0 +(0) =12 f 00 (0). 2. Studiare la funzionef(x) =11 + tan x per=2< x < =2 (monotonia ed estremi, concavita/convessita e essi, discontinuita ed asintoti). 3. Calcolare l'integraleZln 2 013 p1 exd x 4. Stabilire per quali valori del parametro realeil seguente integrale improprio converge: Z+1 0sin ( x) arctan x
( x1) epx 1
dx 5. Studiare la convergenza semplice ed assoluta delle seguenti serie:X(1)nn + cos (n);X 1n  lnxln x1 n dovexe un parametro reale positivo. 6. Sviluppareg(x) =x 2x + 3 in serie di Taylor con centrox 0= 1, precisando il raggio di convergenza della serie. 2