Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2010 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano  Facoltà di Ingegneria dei Sistemi Insegnamento diAnalisi Matematica I prof. Maurizio Verri Temi d’esame Prima prova in itinere del 16/11/2010 (tempo: 3h) 1. Sianop,qedrtre proposizioni, edsl’enunciato “(p=⇒q) =⇒r”. Disegnare il circuito equi valente adse indicare per quali valori di verità dip,qedrl’enunciatosè vero. 2. Provare per induzione che la proposizione n!0). Provare che se vale la condizione lim n→+∞ an+1 an =1 2 allora la successione è infinitesima. 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinito e di infinitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della funzione f(x) =
|x−1| − | x+ 2| x 2 12. Usando il metodo grafico, stabilire il carattere della successione ricorsiva a n+1 =1 4a 2 n+ a n−1 al variare dia 0=x∈R. 2 Seconda prova in itinere del 28/1/2011 (tempo: 3h) 1. Siaf(x) = sin 2x. Calcolaref ′(x)usando la definizione di derivata. 2. Determinare le rette del fascio di equazioney=mxche risultano tangenti alla curva cartesiana y=f(x) =x−ln|x|. 3. Siag(x) =a + cosx b+ sinx Stabilire per quali valori delle costantiaebla funzioneg(x)presenta un minimo nel punto x= 0. 4. Determinare gli estremi locali ed assoluti della funzione f(x) =|x+ 3|e −x nell’intervallo−4≤x≤1. 5. Calcolare il polinomio di Mac Laurin di quarto ordine della funzione f(x) = x 2x+ 3 2 6. Calcolare il seguente limite lim x→0
x sinx 3 /x 2 7. Calcolare 7 3x 72x −4d x 8. Studiare la convergenza dell’integrale improprio +∞ 0 x−2λ
1−e −λx  dx doveλ >0. 9. Disegnare con la massima accuratezza possibile la funzione integraleΦ (x) = x 0f(t) dtdove f(t)è la funzione in figura (si tenga presente che gli archi relativi agli intervalli0≤t≤1e 1≤t≤2sono quarti di circonferenza, mentre pert≥2il grafico è lineare). 3 3 2 1 0 1 0.5 0 -0.5 -1t t 10. Determinare il carattere delle seguenti serie numerich e e n n!; 1 1 + log 2n; (−1) n 1 + log 2n 11. Determinare gli insiemi di convergenza semplice ed assoluta della seguente serie di funzioni 1 n x x+ 1 n dove xè un parametro reale. 12. Provare che, se la serie numerica a nconverge, allora il raggio di convergenzaρdella serie di potenze a nxnvale almeno 1, cioè1≤ρ≤+∞. Dare poi una condizione sufficiente affinché sia esattamenteρ= 1. 4 Appello del 15/2/2011 (prima parte  tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che la proposizione n k=1 k24k=1 27 9n 2−6n+ 5 4 n+1 −20 27 è vera per ognin≥1. 2. Calcolare e poi rappresentare sul piano di Gauss tutte le radici dell’equazione nell’incognita complessaz z 2−3 z−4 = 0 dove zindica il complesso coniugato diz. 3. Calcolare il limitelim x→+∞ lnx x + 1 e verificare il risultato usando la definizione metrica. 4. Determinare classe limite, massimo limite e minimo limite della successione a n=
2−sinnπ 2 cosnπ 2 5. Mettere in ordine crescente d’infinito (perx→1 +) le seguenti funzioni 1 √ex−e; 1 ln x; 1 √x −1 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinitesimo e di infinito, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della funzione f(x) =xarctanx 2 x + 2 5 Appello del 15/2/2011 (seconda parte  tempo: 1h 30min) 1. Data la curva cartesiana di equazioney=f(x) = ln   2 +1 x   , determinarne tutte le rette tangenti che sono perpendicolari alla rettax+ 9y= 0. 2. Determinare gli intervalli di convessità e i punti di flesso della funzione g(x) =x 5−x 2−2x|x|+|x| 3. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al terzo ordine della funzione h(x) =cos x (1−sinx) 2 4. Calcolare +∞ 0 e−2x cosxdx 5. Stabilire il carattere delle seguenti seriee −n n10 ;  cosh1 n2− cosh1 n ; 2 −1/√ n 6. Calcolare per serie con un errore minore di 10 −4 l’integrale π/2 0 sinx xd x 6 Appello del 27/6/2011 (prima parte  tempo: 1h 30min) 1. Determinare e poi rappresentare sul piano di Gauss i seguenti insiemi A={z∈C: Im (z−i) = 0} B={λ∈C:λ= (1−i)z, z∈A} C={λ∈B:|λ| ≤2} 2. Verificare tramite la definizione chef(x) = ln (2 −x)è invertibile nel suo dominio e calcolare l’inversaf −1 , indicandone il dominio. Disegnare sullo stesso piano cartesiano i grafici dife di f −1 . 3. Calcolare il seguente limitelim x→+∞ (2x−4 x) e poi verificarne il risultato usando la definizione metrica. 4. Calcolare il seguente limite in dipendenza del parametroα∈ −π 2, π 2 lim n→+∞  sin 2α+ sin 21 n n2 5. Determinare dominio, eventuali discontinuità ed eventu ali asintoti della funzione g(x) =x 2 x −1+ arctan 1 x 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinitesimo e di infinito, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della seguente funzione h(x) =|x| −2− x2− 4 7 Appello del 27/6/2011 (seconda parte  tempo: 1h 30min) 1. Siaf(x) =√ 2 + 3 x 2. Calcolaref ′(x)usando la definizione di derivata. 2. Determinare gli estremi relativi ed assoluti della funzione g(x) = e xsinx ,−2≤x≤3 3. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al quinto ordine dellafunzione h(x) = cosx− cos ( x 2) 4. Calcolare 1 0 x2arctan 1 x dx 5. Studiare la convergenza semplice ed assoluta della serie ∞ n=1 1 n x x−1 n al variare del parametro reale x = 1. In caso di convergenza, calcolare la somma della serie. 6. Disegnare con cura il grafico della funzione integraleΦ (x) = x 0f(t) dt, dovef(t) = 0se|t|>1, f(t) = 2se−1≤t≤0,f(t) = 2−tse0< t≤1. 8 Appello del 02/9/2011 (prima parte  tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che la proposizione N n=1 n(n+ 1) 2 n= 4 2 N −1 + 2N(N−1) 2 N è vera per ogni intero naturaleN≥1. 2. Siaz=3 −i√ 3 √3 + i Calcolare:Re (z),Im (z),|z|,arg (z),z 7,4√z. 3. Sianof(x) = x+ 1sex≤0 2x−4sex >0; g(x) = x 2 sex≤0 √ xsex >0 Calcolare le funzioni compostef◦geg◦fe disegnarne con cura i grafici. 4. Verificare con la definizione metrica e dare l’interpretazione geometrica del seguente limite lim x→+∞ {lnx−ln (x+ 1)}= 0 − 5. Stabilire il carattere della successione a n=nx n al variare del parametro realex. 6. Determinare dominio ed eventuali discontinuità ed asintoti della seguente funzione h(x) = 3  x x−1e − 2/x 9 Appello del 02/9/2011 (seconda parte  tempo: 1h 30min) 1. Calcolarelim x→π/2  1 + cos 2x tan 2x 2. Sia f(x) =x 5+ax 3+x 2 Determinare il parametroain modo chefabbia un flesso inx= 1. Per tale valore diastabilire poi gli intervalli di convessità e concavità dif. 3. Calcolare il polinomio di Mac Laurin al quinto ordine della funzione g(x) = cos 3x−sin 3x 4. Stabilire il carattere delle serie numeriche√ n2 −n ; (−1) ntan1 n 5. Calcolare +∞ 1 1 x3(x 4+ 2)d x 6. Studiare la funzione integraleΦ (x) = x 0 t 1 + e tdt (dominio; monotonia; eventuali estremi e asintoti; grafico). 10