Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2011 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano - Facolt`a di Ingegneria dei Sistemi Insegnamento diAnalisi Matematica I -prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova in itinere del 15/11/2011 (tempo: 3h) 1. Sianop,qedrtre proposizioni, edsl’enunciato “(p∨q) =⇒r”. Si sa cheq`e falso eds`e vero. Indicare i possibili valori di verit`a dipedr. 2. Siaxun elemento di un campo ordinato. Provare che x >0∧x > x− 1 =⇒x >1 (Specicare tutte le proprieta dei campi ordinati utilizzate nei passaggi.) 3. Siaz= 1−i√ 3 (a) CalcolareRe( z2 +z3) ez4 z3 . (b) Determinare e rappresentare nel piano di Gauss i valori di5 √ z. (c) Determinare per quali interi positivinsi haI m(zn ) = 0. 4. Risolvere il sistema nelle due incognite complessee { = 1 ||2 +=i 5. Partendo da grafici fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i grafici di|x|+x x−1;⌊ 1 x⌋ ;   2−| x| −1 4    6. Stabilire se la funzioney=f(x) =√ x+x2 `e invertibile in un intorno del puntox= 1. In caso affermativo calcolarne l’inversa, precisandone il dominio massimale. 7. Calcolare e poi verificare con la definizione metrica il seguente limitelim x→0ln( x−1 x) 8. Determinare l’ordine d’infinitesimo (perx−→e+ ) della funzione h(x) =√ ln2 x−1 9. Sianof(x)→+∞eg(x)→+∞due infiniti simultanei. (a) Provare chef(x)∼g(x) =⇒lnf(x)∼lng(x) (b) Mostrare con un controesempio che l’implicazione inversa `e falsa.1 10.Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinito e di infinitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della funzione f(x) =|x|3 √ x2 −4 x2 + 1 11. Usando il metodo grafico, stabilire il carattere della successione ricorsivaan+1= 2a n −1 al variare dia 0= x∈R. 12. Determinare gli intervalli di continuit`a e di continuit`a uniforme della funzionef(x) =1 3−e− 1=x 2 Seconda prova in itinere del 27/1/2012 (tempo: 3h) 1. Siaf(x) =√ sinx. Calcolaref′ (x) usando la definizione di derivata. 2. Siag(x) ={ x−2 cosxsex≤0 ax2 +bx+csex >0 Determinare le costantia,becin modo che la funzioneg(x) appartenga alla classeCn (R) con nmaggiore possibile, e determinare talen. 3. Siafuna funzione derivabile inR. (a) Provare che, sef`e periodica, allora la funzionef′ `e periodica con lo stesso periodo dif. (b) Dare un esempio di funzionefnon periodica ma tale che la derivataf′ sia periodica. 4. Calcolare il seguente limite:lim x→1{ cos( x 2)} lnx 5. Determinare estremi e flessi inRdella funzione h(x) =( |x| −x2 ) e− x 6. Calcolare l’integrale∫ arcsinx √ 1 +xd x 7. Studiare la convergenza dell’integrale improprio∫+∞ 0ln x x −x− d x al variare del parametro >0. 8. Studiare la funzione integraleΦ (x) =∫ x 11 √ 1−lntd t e disegnarne il grafico. 9. Determinare il carattere delle seguenti serie numeriche:∑n sinhn;∑ (−1)n ( √ n+ 1−√ n) 10. Determinare il raggio di convergenza della seguente serie di potenze:∑( 2 + sinn 2) n xn 11. Sviluppare in serie di Mac Laurin la funzionef(x) =x +x2 (1−x)2 e stabilire l’intorno del centro in cui esso vale. 12. Calcolare per serie con un errore minore di 10− 2 l’integrale ∫1 01 −e− x4 xd x 3 Appello del 14/2/2012 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Determinare e poi rappresentare sul piano di Gauss gli insiemiA={ z∈C:I m( z2 + 2iz) = 0} B={∈C:= (1−i)z,z∈A} 2. Calcolare il limitelim x→1ln arccos x e verificare il risultato usando la definizione metrica. 3. Calcolare i seguenti limitilim x→0+(ln x+ cotx) ; lim n→∞( n −2 −n1 −) dove >0 `e un parametro reale. 4. Mostrare che la funzioneg(x) =√ ln5 x−1 `e invertibile nel suo dominio. Calcolare poi tale inversa e disegnarne il grafico. 5. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di infinitesimo e di infinito, eventuali asintoti) e quindi disegnare il grafico probabile della funzione f(x) =3 √ x3 ex −1 6. Data l’equazionex6 + 2x−1 = 0 (a) provare che essa ammette un’unica radicex∗ ∈(0;1); (b) usando il metodo di bisezione, calcolare il valore dix∗ con un errore minore di 0:2, deter- minando a priori il numero di iterazioni necessarie. 4 Appello del 14/2/2012 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Determinare gli estremi locali e i punti di flesso della funzionef(x) =x−2 (sinx)2 ;0≤x≤=2 e poi disegnarne il grafico. 2. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al quarto ordine della funzioneh(x) = e√ 1−x−1 e poi disegnarne il grafico nell’intorno dix= 0. 3. Calcolare∫ 4 0√ xarctan√ xdx 4. Studiare la funzione integraleΦ (x) =∫ x 1e − t lntdt e disegnarne il grafico. 5. Stabilire il carattere delle seguenti serie:∑e−√ n;∑ (−1)n narctann 6. Determinare gli insiemi di convergenza semplice ed assoluta della serie di funzioni∑1 1 +√ n( 2 x− x) n 5 Appello del 27/6/2012 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Dimostrare per induzione che la proposizioneN ∑ n=1( n+ 1)n(n−1) =1 4( N+ 2) (N+ 1)N(N−1) `e vera per ogni interoN≥1. 2. Data l’equazione nell’incognita complessaz z2 + 2 (1 +i) z+ 2 (2−i) = 0 (dovez`e il complesso coniugato diz), calcolarne tutte le radici e poi rappresentarle nel piano di Gauss. 3. Partendo da grafici fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i grafici di2 arcsin (x−1);| x| |x−1|+ 1; 2H( x2 −x) −H(1−x) doveH(t) = 0 set 0. 4. Siay=g(x) = ln2 x+ lnx (a) Stabilire l’ordine di infinitesimo dig(x) perx→1. (b) Dedurre dal punto precedente cheg(x) `e invertibile nell’intorno dix= 1, e calcolare tale inversa. 5. Dato il limitelim x→+∞x 2−x2= 0− (a) scriverne la definizione metrica; (b) calcolare l’intorno metrico massimale del punto limite, corrispondente ad un fissato intorno metrico del valore limite. 6. Eseguire lo studio asintotico e quindi disegnare il grafico probabile della seguente funzionef(x) = e− x +√ x2 +x 6 Appello del 27/6/2012 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Siaf(x) =1 lnx. Calcolare f′ (x) usando la definizione di derivata. 2. Calcolare il polinomio di Mac Laurin di quinto ordine della funzionef(x) =√ cosx 3. Determinare gli intervalli di concavit`a e convessit`a e i punti di flesso della funzioneg(x) =x4 −x3 − |x|+ 5 4. Calcolare l’integrale∫ x2 arcsin( 1−x2 ) dx 5. Studiare la convergenza dell’integrale improprio∫∞ 0x 2  +x−  √ 1 +x3d x al variare del parametro >0. 6. Determinare l’intervalloIdi convergenza assoluta della serie di potenze ∞ ∑ n=1n 1 + enxn Stabilire poi il carattere della serie agli estremi diI. 7 Appello del 03/9/2012 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Scrivere la proposizionerequivalente al circuito in Figura: pp qq Per quali valori di verit`a dipeqla proposizioner`e vera, cio`e nel circuito passa corrente? 2. Siaz=i 4( 1 +i√ 3) 3 (√ 3−i) 5 Calcolare:|z|, arg (z),Re(z),I m(z),5 √ z. 3. Stabilire il minimo valore positivo diper cui la funzione f(x) = 1 + 2 sin (3x) `e periodica di periodoT= 4. Per tale valore didisegnare la funzione nell’intervallo 0≤x≤6. 4. Provare che la funzioneg(x) = cosh (2x−1) `e invertibile nell’intorno dix= 1. Quindi calcolare tale inversay=g− 1 (x) e disegnarne il grafico nel suo dominio massimale. 5. Verificare con la definizione metrica il seguente limitelim x→−∞( x+2 x) =−∞ 6. Eseguire lo studio asintotico e quindi disegnare il grafico probabile della seguente funzioneh(x) =√ 2x−√ |x2 +x| 8 Appello del 03/9/2012 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Calcolarelim x→0+(tan x)1 =lnx ; lim x→+∞√ xsin( √ x−√ x−2) 2. Determinare gli estremi relativi ed assoluti della funzionef(x) = sin( 2− x) nell’intervallo−2:5≤x≤2:5. 3. Calcolare il polinomio di Mac Laurin al quinto ordine della funzioneg(x) = sin (coshx) 4. Calcolare∫ arctan4 √ x+ 2 dx 5. Disegnare con cura il grafico della funzione integraleΦ (x) =∫ x 0H ( t3 −t) dt doveH(x) = 1 sex≥0,H(x) = 0 sex