Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2014 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell'Informazione Insegnamento diAnalisi Matematica I -prof. Maurizio Verri Temi d'esame Prima prova parziale del 25/11/2014 (tempo: 3h) 1. PostoA={x∈R:|x+ 1| ≥2}; B={ x∈R:1 x∈ A} determinare: B(interno diB),@ B(frontiera diB), B(chiusura diB),B′ (derivato diB). 2. Provare per induzione che la disuguaglianza2n >1 +n+n 2 2 e vera per ogni intero naturalen≥ ne determinare tale intero n. 3. Risolvere l'equazione nell'incognita complessaz   | z| −1−i√ 3  = 2 e rappresentarne le soluzioni nel piano di Gauss. 4. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss i seguenti insiemi di numeri complessiA={z∈C:|z| ≥8;|arg (z)| ≤=4}; B={ ∈C:=3 √ i z; z ∈A} 5. Partendo da graci fondamentali e usando il metodo delle trasformazioni, disegnare i graci di 2 + ln√ x ;x|x| −2x; 2 arcsin (1−x) 6. Provare che la funzioney=g(x) =x|x|+ 2 e invertibile inR. Calcolare poi l'inversag− 1 e disegnare con cura i graci diy=g(x) e di y=g− 1 (x), determinando in particolare gli eventuali punti di intersezione fra i due graci e fra ciascun graco e gli assi cartesiani. 7. Calcolare e poi vericare con la denizione metrica il seguente limitelim x→2+1 −x √ x−2 8. Calcolarelim x→1=2(2 x−1) tan (x) ; lim n→+∞( 1 + n2) n essendoun parametro reale. 1 9.Calcolare, giusticando il procedimento, il minimo limite lim x→0arccos( cos1 x) 10. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuita ed eventuali asintoti della funzione h(x) =e x |x−2|+ x 3 1 +x2− arctan( 1 x) 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di innito e di innitesimo, eventuali asintoti) e quindi disegnare il graco probabile della funzione f(x) =x 2 +3 √ xe− x x+ 1 12. Usando il metodo graco, stabilire il carattere della successione ricorsiva (n= 0;1;2; :::) an+1= a n| a n| −1 4 al variare dia 0∈ R. 2 Seconda prova parziale del 11/2/2015 (tempo: 3h) 1. Siaf(x) = ln( 1 +x2) . Calcolaref′ (x) usando la denizione di derivata. 2. Calcolare il seguente limite:lim x→0( 1 cosx+ 3 x) 1=sinx 3. Determinare il punto del graco della funzionef(x) = 2x+ 2√ xnel quale la curvatura vale −2− 5=2 . 4. Determinare estremi locali ed assoluti in [−1;2] della funzione f(x) = ex −2 sin (ex ) 5. Siaf(x)∈C∞ (R). Determinare lo sviluppo di Mac Laurin al terzo ordine della funzione g(x) =f(sinx)−f(x) e disegnare il graco dig(x) nell'intorno dix= 0. 6. Calcolare l'integrale∫1=2 1=e1 x( 1−√ 1−lnx) dx 7. Stabilire per quali valori dia∈Ril seguente integrale improprio converge: ∫+∞ a1 (2x−1)3 √ (x−2) lnxd x 8. Studiare la funzione integrale (x) =∫ x 0( t |t|+ 1) (t−1) e− t2 dt e disegnarne il graco. 9. Determinare il carattere delle serie∑(−1)n( √ 1 +1 n− 1) ;∑ xn n2 +xn dovex >0 e un parametro reale. 10. Siaa n> 0. Provare che, se la serie∑ anconverge, allora converge anche la serie∑ a n n+a n. Mostrare con un controesempio che la proposizione inversa e falsa. 11. Sviluppare in serie di Taylor con centro inx 0= 1 la seguente funzione: h(x) =1 1 + 2x Precisare poi il raggio di convergenza della serie. 12. Calcolare per serie con un errore minore di 10− 3 l'integrale ∫1 0e −√ xdx 3 Appello del 26/2/2015 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che la proposizionen ∑ k=1sin ( k) =sin ( n 2) sin( n+ 1 2) sin( 1 2) e vera per ognin≥1. 2. Determinare e quindi rappresentare nel piano di Gauss le soluzioni della seguente equazione nell'incognita complessaz z2 +i|z|2 = (1 +i)z 3. Provare che la funzionef(x) =√ 1−ln2 x;1≤x≤e e invertibile. Quindi calcolare l'inversa e disegnarne il graco. 4. Vericare con la denizione metrica il seguente limite:lim x→1+2 −x √ x−x= −∞ 5. Sianoa ne b ndue successioni reali per le quali si ha lima n= A∈Re limb n= B∈R. Provare che lim (a n+ b n) ≤A+B(*) Fornire un esempio di successioni per cui in (*) vale il segno di uguaglianza e un secondo esempio per cui vale il segno