Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2015 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Insegnamento diAnalisi Matematica I -prof. Maurizio Verri Temi d’esame Prima prova parziale del 24/11/2015 (tempo: 3h) 1. Sianoa; b; ctre proposizioni. (a) Disegnare il circuito equivalente alla proposizionepseguente: (a_b)^(a=)c) (b) Stabilire per quali valori di verità dia; b; cla proposizioneprisulta vera. 2. Provare per induzione che la disuguaglianzaN X n=11p n < 2pN è vera per ogni intero naturaleN1. 3. Data l’equazione nell’incognita complessaz z3 5z2 +K z6 = 0 (a) DeterminareKin modo chez= 3sia una radice. (b) Per tale valore diKcalcolare tutte le altre radici dell’equazione. 4. PostoA=fIm (z) : 1 jzij :2x se 2x 1 x2 3se1< x0 (a) Veri…care cheg(x),2x0, soddisfa alle ipotesi del Teorema di Lagrange. (b) Calcolare i “punti di Lagrange” di cui il Teorema garantisce l’esistenza. 4. Calcolare l’equazione del cerchio osculatore al gra…co della funzioney=f(x) =r1 x 29 nel punto di ascissax= 0. 5. Determinare estremi e ‡essi della funzione h(x) = e x cosx; x2 2 ; 3 2  6. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al terzo ordine della funzionef(x) = ep1+ x1 7. Calcolare l’area della regione piana compresa tra l’assexe il gra…co della funzioneh(x) = e x cosxperx2 2 ; 3 2  . 8. Stabilire per quali valori dia2Ril seguente integrale improprio converge: Z+1 a1 e x( x+ 2)3 px 2 xd x 9. Disegnare i gra…ci dif(x) =jsinxj sinjxjper2x2e della primitiva dif(x)che si annulla inx= 0. 10. Determinare il carattere delle serieXarctan 2 n
;X (2n)!(3 n)! 11. Provare che, se la serieP anconverge assolutamente, allora converge assolutamente anche la serieP sin (a n) . Mostrare con un controesempio che la proposizione inversa è falsa. 12. Determinare gli insiemi di convergenza semplice ed assoluta della seguente serie di funzioni(x2R+ ): 1 X n=2(2 lnx)nln n 3 Appello del 29/2/2016 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. SiaKun campo ordinato. Provare che: (a)8z2Kz 0 (b)8z2Kz= (1)z (c)8x; y; z2K(x < y)^(z yz (Speci…care le proprietà dei campi ordinati usate.) 2. SianoA= x2R: 6jxj x2 5 eB= x2R:x 1 x 2 . Calcolare:C=A\B,@ C, infC,supC. 3. Risolvere l’equazione nell’incognita complessaz z8 2z4 + 4 = 0 Quindi rappesentarne le soluzioni nel piano di Gauss. 4. Provare che la funzioneg(x) =qln x(lnx)2 è invertibile a destra dix= 1. Quindi calcolare tale inversa e tracciarne il gra…co nel dominio massimale. 5. Calcolare e quindi veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!+11 2xp x x 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione f(x) =3 px 3 1arctan x 4 Appello del 29/2/2016 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Data la funzionef(x) =arcsin xarccos x (a) calcolare l’equazione della retta tangente al gra…co difnel puntoP 0di ascissa x 0= 0 ; (b) disegnare il gra…co difnell’intorno diP 0. 2. Calcolare il limitelim x!01x  1sinh (sinh x) 1sinh x 3. Calcolare l’integraleZ (sinx) (sinhx) dx 4. Stabilire se il seguente integrale improprio converge:Z+1 0exp 1xln x dx 5. Stabilire il carattere delle seguenti serie:X2 nn 3 n;X (1)np n lnn 6. Sviluppareg(x) = ln (2x)in serie di Taylor con centrox 0= 3 , precisando gli intervalli di convergenza semplice ed assoluta della serie. 5 Appello del 07/7/2016 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che i numeri della forma15n 1(n= 1;2;3:::) sono tutti multipli di 7. 2. Risolvere la seguente equazione nell’incognita complessaz Im z2z 2 + 4 = 0 e rappresentarne le soluzioni nel piano di Gauss. 3. Date le funzioni (x2R) f(x) = (x jxj)2 ;g(x) = 2x3 calcolare le funzioni compostefgegfe disegnarne con cura i gra…ci. 4. Calcolare e poi veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!1ln x+1x  5. Calcolarelim x!+1x esin x ; lim n!+1 n+n + 1 n doveè un parametro reale diverso da zero e da uno. 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione f(x) = x1x  3 ln coshx 6 Appello del 07/7/2016 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Siaf(x) =xe 3x . Calcolaref0 (2)usando la de…nizione di derivata. 2. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al terzo ordine della funzione f(x) =21 + e x 3. Calcolare il seguente integrale inde…nitoZe3 xp 4 e2 xd x 4. Studiare la convergenza dell’integrale improprioZ+1 0(1 cosx)x 2 ln (1 +x)d x al variare del parametro reale positivo. 5. Studiare la funzione integrale  (x) =Z x 0t4 q( t2)2 (t+ 5)3d t (dominio, monotonia ed estremi, eventuali asintoti, gra…co). 6. Determinare gli insiemi di convergenza semplice ed assoluta della seguente serie di funzioni(x2R) X(3)n2 n+ 1x 2 n 7 Appello del 07/9/2016 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Calcolare e poi rappresentare nel piano complesso gliz2Ctale che z3 = 1 +21 ip3 2. Provare che la funzioney=f(x) = ln x1x  è invertibile perx >1e stabilire il dominio dell’inversa. Quindi calcolare esplicitamente tale inversa. 3. Calcolare e poi veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!0 1x 1x 2 4. Stabilire dominio ed eventuali discontinuità ed asintoti della funzioneg(x) = x+2x  arctan exp 1x 1 5. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione h(x) =x2 + 14 ln   xx + 1    [Suggerimento:h(x)si annulla inx=1=2.] 6. Usando il metodo gra…co stabilire il carattere della seguente successione ricorsiva an+1= 4 3a n; a 0= x al variare del parametro realex6 = 0. 8 Appello del 07/9/2016 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Siaf(x) = (ln 2)x . Calcolaref0 (x)usando la de…nizione di derivata. 2. Per quali valori del parametro realeala funzione f(x) =e xx 2 a soddisfa al Teorema del valore medio di Lagrange nell’intervallo0x1? 3. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al sesto ordine della funzione g(x) = sin ln 1 +x2

4. Calcolare il seguente integrale inde…nitoZtanxp 1 cosxd x 5. Studiare la funzione integrale (x) =Z x 02 t2 tp t 2 3t+ 2d t (dominio, monotonia ed estremi, eventuali asintoti, gra…co). 6. Studiare la convergenza della seguente serie (x2R) 1 X n=0( 4)nn 2 + 1x 2 n+1 9