Mathematical Engineering - Analisa Matematica 1

raccolta temi d'esame - anni 2016 (prof. Maurizio Verri)

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Politecnico di Milano - Scuola di Ingegneria Industriale e dell’Informazione Insegnamento diAnalisi Matematica I -prof. Maurizio Verri Temi d’esame Prima prova parziale del 22/11/2016 (tempo: 3h) 1. Provare che in un campo ordinato l’equazionex2 +x+ 1 = 0 non ha soluzione. [Suggerimento: distinguere i tre casix >0,x= 0,x 0. 9. Provare chelim n!+12 n X k=n1k 2= 0 1 10. Usando il metodo gra…co, stabilire il carattere della successione ricorsiva ( n= 0;1;2; :::) an+1= an a2 n  al variare dia 02 R. 11. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione h(x) = 3 px 3 1 arctan (ex ) 12. Determinare il dominio massimale, eventuali punti di discontinuità ed eventuali asintoti dellafunzione f(x) =11 + 11 + 1x 2 Seconda prova parziale del 31/1/2017 (tempo: 3h) 1. Determinare gli intervalli di continuità uniforme della funzionef(x) = (x+ 1) exp 1arctan x 2. Siag(x) =x 22 x+ 1. Calcolare g0 (x)usando la de…nizione di derivata. 3. Siaf2C1 [0;1]conf(0) = 0ef(1) = 1. (a) Provare che esistex 2(0;1)tale chef0 (x ) = 1. (b) Provare che esistex 2(0;1)tale chef0 (x ) = 2x . 4. Calcolare il seguente limite:lim x!0+1x  11ln (e px ) 2 5. Determinare estremi locali ed assoluti della funzioneh(x) =p2 jsinxj sinx; x2[; ] 6. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al quarto ordine della funzione f(x) =sin x1 + sinh x 7. Calcolare il seguente integrale inde…nito:Z jx2jsinhxdx 8. Stabilire per quali valori del parametro reale >0il seguente integrale improprio converge: Z+1 01 exp x
x 3 px 3 xd x 9. Studiare la funzione integrale (x) =Z x 0exp jtjt 1 dt (dominio, monotonia ed estremi, convessità e ‡essi, eventuali asintoti, gra…co). 10. Determinare il carattere delle serieXsin (en )n 2 3n;X  n+1n  n 11. Siaa n> 0. (a) Provare che, sea n n, allora la serieP e a n converge. (b) Che cosa si può a¤ermare del carattere diP e a n se èlim n!+1a nn = 0 ? 12. Calcolare il valore approssimato dell’integraleZ1 0x 2 sin x2
dx con un errore minore di10 6 , precisando se l’approssimazione è per difetto o per eccesso. 3 Appello del 20/2/2017 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che la disuguaglianzan X k=11k 2 21n è vera per ognin1. 2. Siaz=i 5 (1i)7(1 + i)10 (a) Calcolarejzj,Re (z),Im (z),arg (z). (b) Calcolare e rappresentare nel piano di Gauss6 pz . 3. Disegnare con cura i gra…ci difge digfdovef(x) = arcsin (2x)eg(x) =x+jxj. 4. Provare che la funzionef(x) =x1 + px è invertibile perx0. Quindi calcolarne l’inversaf 1 e tracciare con cura i gra…ci dife di f 1 . 5. Calcolare e quindi veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!1+xp 2 xx 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione h(x) =xln  3 pcosh x1 4 Appello del 20/2/2017 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Stabilire per quali valori delle costanti realia; b; cla funzione f(x) =asinx+bcosx+cx2 presenta un minimo inx=e un ‡esso inx= 2. 2. Calcolare il limitelim x!0sinh xcos x1Z x 0pe t +t4 dt 3. Calcolare l’integraleZ 1(sin px )2 d x 4. Stabilire per quali valori del parametro reale positivoil seguente integrale improprio converge: Z+1 0arctan 1x
3 px 2 x d x 5. Stabilire il carattere delle seguenti serie:X1 2n n ;X (1)n arctan ln 1 +1n  6. Sviluppareg(x) =2x (x+ 2) in serie di Taylor con centrox 0= 1 , precisando gli intervalli di convergenza semplice ed assoluta della serie. 5 Appello del 26/6/2017 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che l’uguaglianzan X k=1( 1)k k2 = (1)n n (n+ 1)2 è vera per ognin1. 2. Determinare e rappresentare nel piano di Gauss gli insiemi A= z2C:4  arg 1 +iz  3  ; B= 2C:=3 pz; z 2A 3. Provare che la funzionef(x) = arccos1x 2 è invertibile nel suo dominio. Quindi calcolarne l’inversaf 1 , indicandone il dominio. 4. Calcolare e quindi veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!13 px 1 + 3 px 2 5. Calcolare i seguenti limiti: lim x!0 8 +x2
1=3 2x sinx; lim x!1px 1sin ( x) 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione g(x) =xp(ln x1) lnx 6 Appello del 26/6/2017 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Siaf(x) =xsinhx. Calcolaref0 (x)usando la de…nizione di derivata. 2. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al quarto ordine della funzione g(x) =x + e x2 + cos x 3. Calcolare l’integraleZ ln x2x  dx 4. Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:Z+1 0e x3 px (x2 1)d x 5. Stabilire il carattere delle seguenti serie:Xen(2 n)!;X cos (n) sin 1n  6. Calcolare il valore approssimato dell’integraleZ1 011 + x20d x con un errore minore di10 2 , precisando se l’approssimazione è per difetto o per eccesso. 7 Appello del 04/9/2017 (prima parte - tempo: 1h 30min) 1. Provare per induzione che l’uguaglianzan X k=2ln 11k 2 = ln 1 +1n  ln 2 è vera per ognin2. 2. Data l’equazione nell’incognita complessaz z3 (3i)z2 + (7 + 2i)z15i= 0 (a) veri…care chez=iez= 1 +isono radici; (b) calcolare tutte le radici dell’equazione. 3. Sianof(x) = arcsinx;g(x) = x2 3sejxj p3 0sejxj>p3 Determinare il dominio della funzione compostafge poi disegnarne il gra…co. 4. Veri…care con la de…nizione metrica il seguente limite: lim x!1+x px 1x 1= + 1 5. Calcolare i seguenti limiti:lim x!2ln cos x( x2)2 ; lim x!+1( x+ sinx)1 =x 6. Eseguire lo studio asintotico (dominio, ordini di in…nito e di in…nitesimo, eventuali asintoti) equindi disegnare il gra…co probabile della funzione f(x) =j x3jx2x 2 4 8 Appello del 04/9/2017 (seconda parte - tempo: 1h 30min) 1. Siag(x) = xx sex >0 Ksex= 0 (a) Determinare la costanteKin modo cheg2C0 [0;+1). (b) Stabilire se per tale valore diKsi hag2C1 [0;+1). 2. Determinare estremi locali e globali della funzionef(x) = e 2 sinx sinx nell’intervallox. 3. Calcolare lo sviluppo di Mac Laurin al terzo ordine della funzione h(x) =1cos xsinx 4. Calcolare l’integrale improprioZ+1 1arctan x2
x 3d x 5. Studiare la funzione integrale (x) =Z x 1 1t1 + t e t dt (dominio, monotonia ed estremi, eventuali asintoti, gra…co). 6. Stabilire il carattere delle seguenti serie:Xln (n+ 1)lnnn 2;X xnn x dovexè un parametro reale positivo. 9