Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 01 luglio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare le formule di Frenet. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3Denire un sistema Hamiltoniano autonomo e mostrare che l'Hamiltoniana e una costante del moto. Analisi Matematica II - 01 luglio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Senza calcolare alcuna derivata, scrivere lo sviluppo in serie di Taylor inx 0= 1 di f(x) =1x 2 e determinare il raggio di convergenza della serie (suggerimento: ricordare i teoremi sulle serie derivate o primitive). Esercizio 2 . Sia data la forma dierenziale != (x2 +y)dx+ (x2 +y2 )dy e la curva nel piano parametrizzata da r: [0;2]!R2 ; r(t) = (cost;sint): 1. Determinare se!e chiusa e se e esatta. 2. CalcolareR ! . Esercizio 3 . Sia data l'equazione di Newton m x=x3 +ax2 : 1. Si trovino i punti di equilibrio al variare del parametroae se ne discuta la stabilita. 2. Per quali valori diail sistema ammette orbite periodiche? Per quali soluzioni omocline? 3. Pera= 1 si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi. Esercizio 4 . Determinare i punti estremanti relativi e/o assoluti della funzione f(x; y) =xy+p4 x2 y2 nell'insiemeD=f(x; y)2R:x2 +y2 1g: