Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 02 Luglio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat inRn . Domanda 2 SiaXun qualunque insieme e siad:XX![0;+1). Quali proprieta deve soddisfaredper essere una distanza (o metrica). Cosa signica che una successionefx ng  Xe di Cauchy? Domanda 3Siay0 =A(t)yun sistema diNequazioni dierenziali lineari. (a) Denire una matrice wronskiana per il sistema. (b) Enunciare il teorema di Liouville. Analisi Matematica II - 02 Luglio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. SiaTR2 il triangolo di vertici (1;0), (0;2) e (2;0). Calcolare Z Tye x dx dy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . 1. Determinare al variare del parametro2Rla stabilita nell'origine del sistema: y0 =0 @1 + 0 1 2 31 1 0 01 Ay : 2. Trovare l'integrale generale del sistema nei casia= 0 ea= 1. Esercizio 3 . Sia  la supercie parametrizzata da (u; v) = (2 +u; uv; v3 u); u; v2(2;2): 1. La supercie e semplice (giusticare la risposta)? 2. In quali punti del dominio la supercie e regolare? 3. Determinare il vettore normale alla supercie nel generico punto(u; v). 4. Determinare l'equazione del piano tangente alla supercie nel puntoP= (2;0;1). Esercizio 4 . Si determini l'integrale generale di y0 =y 2t logt+ 1t logt: