Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Analisi Matematica II - 03 Maggio 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Domanda 1. SiaAR3 un insieme aperto eF:A!R3 un campo vettorialeC1 . (a) Denire il potenziale vettore. (b) Scrivere una condizionenecessariaper l'esistenza del potenziale vettore. Domanda 2 SiaAR2 un insieme aperto e siaf:A!R. (a) Dare la denizione di punto di massimo libero locale. (b) Enunciare il teorema di Fermat. Domanda 3Siar: [a; b]!R3 una curva. (a) Quale condizione deve soddisfare per essere dettaregolare? (b) Denire il versore normale in un puntor(t). Analisi Matematica II - 03 Maggio 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Calcolare SiaD=f(x; y)2R2 : (x1)2 +y2 3g. Calcolare Z Dxy dx dy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . Calcolare lim (x;y)!(0;0)pj xjy4x 4 +y4: Esercizio 3. Calcolare lo sviluppo di Taylor con resto di Peano al quarto ordine di f(x; y) =p1 x2 y :