Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Preappello di Analisi Matematica 2 04 luglio 2011 1. (Analisi 2 o B) Data la funzionef(x) =Z x 01 costt 2dt (a) determinarne lo sviluppo in serie di McLaurin (b) determinare il raggio di convergenza della serie(c) calcolaref(1) con un errore inferiore a 10 3 . 2. (Analisi 2 o C) Si consideri il problema di Cauchyy0 = (ex 1)f(y) y(0) =a conf(y) =( 0 sey0 yb sey >0: (a) Per quali valori dib >0 si applica il teorema di esistenza e unicita in piccolo? In grande? (b) Esistono valori dia >0 eb >0 tali che la soluzione ammette un asintoto verticale? Orizzontale? Obliquo? (c) Siab=12 . Per quali valori di a2Ril limite perx!+1della soluzione e nito? (d) Tracciare il graco qualitativo delle soluzioni pera=1;0;1 eb= 2. 3. (Analisi 2 o B) Enunciare il teorema di Schwarz e spiegare perche e rilevante nel calcolodel dierenziale secondo. 4. (Analisi 2 o C) Denire la stabilita asintotica di un punto di equilibrio.