Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Analisi Matematica II - 5 settembre 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Siaf:R2 !Runa funzione dierenziabile. Denire il gradiente in un punto (x 0; y 0) (1 punto), denire la curva di livello passante per il punto ( x 0; y 0) (1 punto), dimostrare che il gradiente e ortogonale alla curva di livello (2 punti). Domanda 2Mostrare che un campo vettoriale conservativo e necessariamente irrotazionale (2 punti). Domanda 3Enunciare il lemma di Gronwall (2 punti). Analisi Matematica II - 5 settembre 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Si considerino le funzionif k: [ ; ]!Rdenite da fk( x) = cos(x=k): Si determinino le regioni di convergenza puntuale e uniforme delle serie+1 X k=1f k( x) e+ 1 X k=1f 0 k( x) (3+3 punti). Esercizio 2 (6 punti). Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =jxjlog(1 +x2 +y2 ): Si determini in quali punti del pianofe dierenziabile. Esercizio 3 . Si determini l'integrale generale dell'equazione (6 punti) y0 =1 e y2 t+ 1: Esercizio 4 . Si studi il problema di Cauchy (y0 = sin(y) y(0) =a ; dovea2[; ]. In particolare: 1. Valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo/in grande? (1 punto) 2. Si determinino le regioni dove la soluzione e crescente/decrescente (1 punto). 3. Si determinino le regioni dove la soluzione e concava/convessa (1 punto). 4. Si determini l'intervallo massimale di esistenza della soluzione (1 punto). 5. Esistono asintoti verticali o orizzontali? (1 punto) 6. Si tracci il graco approssimato della soluzione per alcuni valori dia(2 punti).