Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Analisi Matematica II - 06 settembre 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Siaf:R2 !Runa funzione di classeC1 . Dimostrare che e dierenziabile. Domanda 2 Denire, fornendo tutte le ipotesi e dando una motivazione, il usso di un campo attraverso una supercie. Domanda 3Enunciare il teorema di esistenza e unicita locale per il problema di Cauchy. Analisi Matematica II - 06 settembre 2016 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Dopo aver trovato i punti estremanti diF(x; y) =x3 +y3 sulla circonferenza x2 +y2 = 1, vericare che, in corrispondenza a tali punti, le tangenti alle curve di livello di z=F(x; y) coincidono con le tangenti al cerchio. Esercizio 2 . SiaA=f(x; y)2R2 :y >x3 g, siaF:A!R2 il campo vettoriale denito da F(x; y) = 3x2p x 3 +y; 1p x 3 +y! e sia la curva regolare parametrizzata dar: [0; ]!R2 ,r(t) = (cost;2 + sint). Vericare che il campo e conservativo e calcolareZ ( F; T)ds : Esercizio 3 . Calcolare l'integrale generale di 8 > < > :x 0 = 2x+ 2z y0 = 2x z0 =x+ 3z : Determinare la stabilita dell'origine. Esercizio 4 . Si determinino eventuali punti di equilibrio e si disegnino alcune traiettorie nello spazio delle fasi di( x0 = (1x2 )ey y0 = 2xey