Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 13 novembre 2017 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Domanda 1. Siaf:Rn !Rdierenziabile in un puntox 0e sia v2Rn ,v6 = 0. 1. Dimostrare chefe continua inx 0. (1 punto) 2. Dimostrare chefe derivabile inx 0in direzione v. (2 punti) 3. Mostrare cheD vf (x 0) = rf(x 0)
v. (1 punto) Domanda 2. Siaf:ARn +m !Rm una funzione di classeC1 e siaf(x 0; y 0) = 0 (con x02 Rn ey 02 Rm ). Si scriva una condizione suciente per l'esistenza e l'unicita di una funzioney:U(x 0) !U(y 0) tale che f(x; y(x)) = 0 per ognix2U(x 0). (2 punti) Domanda 3. Si denisca uno spazio metrico e uno spazio metrico completo. (2 punti) Analisi Matematica II - 13 novembre 2017 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scri- vere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Utilizzare esclusivamente questi fogli per presentare il risultato, i fogli di brutta non devono essere consegnati e non saranno considerati. Esercizio 1. Siaf:R2 n(0;0)!Rdenita da f(x; y) =x 2 sin(xy)log( x2 + 3y2 + 1) Si mostri chefe prolungabile con continuita inR2 . Si determini se la funzione risultante e dierenziabile in (0;0). Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (1;1) con resto di Peano al terzo ordine di f(x; y) = log(x2 y): Usare il risultato ottenuto per calcolare l'equazione del piano tangente al graco della funzione al punto (1;1;0). Esercizio 3 . Si consideri la funzionef:R2 !Rdenita da f(x; y) =x3 (2 +y) +exy : Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzioney:Rn f0g !R e si tracci un graco qualitativo di tale funzione.