Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Analisi Matematica II - 14 febbraio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Sianof ; g:R2 !Rfunzioni dierenziabili. Sia (x 0; y 0) 2R2 tale cheg(x 0; y 0) = 0 erg(x 0; y 0) 6 = 0. Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) la condizione necessaria anche (x 0; y 0) sia un punto di massimo per la funzione f(x; y) vincolato all'insieme A=f(x; y)2R2 :g(x; y) = 0g: Domanda 2Enunciare (2 punti) e dimostrare (3 punti) il teorema delle contrazioni. Analisi Matematica II - 14 febbraio 2019 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere emotivare chiaramentele risposte e i passaggi principali. Esercizio 1.SiaAR2 la regione compresa tra la parabola di equazioney= 1x2 e l'asse dellex. Calcolare Z Ax + 2y dx dy direttamente (3 punti) e con la formula di Gauss-Green (3 punti). Soluzione.Z Ax + 2y dx dy=Z 1 1 Z1x2 0x + 2y dy! dx=1615 : Esercizio 2. (5 punti) Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = log(cos(xy)x2 ): Si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0;0) al quarto ordine. Soluzione.Poiche cos(xy)x2 = 1( xy)22 x2 +o((x2 +y2 )2 ) e log(1 +t) =tt 22 + o(t2 ), log(cos(xy)x2 ) =( xy)22 x2 12 x 4 +o((x2 +y2 )2 ): Esercizio 3. (5 punti) Risolvere il problema di Cauchy 8 > < > :y 0 =4 x3 eyxe y ; y(1) = 0: Soluzione.L'equazione e esatta, infatti si puo riscrivere come 8 > < > :y 0 =@ V =@ x@ V =@ y ; y(1) = 0: conV(x; y) =x4 xey . Considerando il dato iniziale, la soluzione e data in forma implicita da V(x; y) = 0. Esplicitando si ottiene y(x) = 3 logx x >0: Esercizio 4. (6 punti) Si discuta il comportamento qualitativo della soluzione del problema di Cauchy8 > < > :y 0 = (t2 y2 ) sin py
y(0) = 1; discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di denizione, simmetrie, punti di mas- simo/minimo, convessita, essi, asintoti, comportamento agli estremi del dominio di esistenza...) Non e richiesto lo studio della derivata seconda. Soluzione.L'equazione ha senso nel semipiano chiusoy0. Il teorema di esistenza e unicita locale vale solo nel semipiano apertoy >0. Non vale il teorema di esistenza e unicita in grande. Poichey=2 e soluzione dell'equazione, la soluzione richiesta soddisfay(t)< 2 . La soluzione e decrescente nel triangolo compreso tra le rettey=t,y=tey=2 . Deve necessariamente intersecare le prime due rette, e in tali punti ha un massimo (pert 0). Ci sono almeno 3 essi. La soluzione e denita su tuttoR, lim t!+1y (t) =2 e limt!1y (t) = 0. y(t)0 per ognit, ma poiche in un intorno diy= 0 il teorema di esistenza e unicita non si applica, pert! 1due casi sono possibili. 1)y(t)>0 per ognit, quindiy= 0 e un asintoto orizzontale che la soluzione non interseca. 2) Esiste t