Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 14 luglio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat inRn ,n2. Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3Enunciare il lemma di Gronwall. Analisi Matematica II -14 luglio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Ricordando che sint=tt 36 + o(t4 ) e cost= 1t2 =2 +t4 =24 +o(t5 ), si calcoli lo sviluppo di Taylor in (0;0) al quarto ordine di f(x; y) = sin(cosxy2 1)x e si calcoli l'equazione del piano tangente nel punto (0;0;0). Esercizio 2 . Sia A=0 @1 0 1 0 1 0 0 0 11 A: 1. Si calcolieAt . 2. Si risolva il sistemay0 =Aycon dato inizialey(1) = (0;1;0). 3. L'origine e un punto stabile? Asintoticamente stabile? Instabile? Esercizio 3 . Sia data l'equazione di Newton  x=x3 +ax2 : 1. Si trovino i punti di equilibrio al variare del parametroae se ne discuta la stabilita. 2. Per quali valori diail sistema ammette orbite periodiche? Per quali soluzioni omocline? Per quali orbite illimitate? 3. Pera= 1 si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi. Esercizio 4 . Siag2C2 (R),g(0) = 0,g0 (0) =g00 (0) =1 e siaF(x; y) =y3 y+g(x). 1. Vericare che nell'intorno dell'origine esiste un'unica funzioney(x) il cui graco corrisponde con gli zeri diF(x; y). 2. Calcolare il polinomio di Taylor di terzo grado diy(x) inx= 0.