Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 16 Luglio 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. SiaXun qualunque insieme e siad:XX![0;+1). Scrivere quali proprieta deve soddisfaredper essere una distanza (o metrica). Cosa signica che (X; d) e completo? Domanda 2 Enunciare il teorema della funzione inversa inRn . Domanda 3Siay0 =A(t)yun sistema diNequazioni dierenziali lineari. (a) Denire una matrice wronskiana per il sistema. (b) Enunciare il teorema di Liouville. Analisi Matematica II - 16 Luglio 2012 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. SiaTR2 il triangolo di vertici (0;0), (1;2) e (2;1). Calcolare Z Tx 2 y dx dy direttamente e usando la formula di Gauss-Green. Esercizio 2 . Si consideri la serie di potenze f(x) =+ 1 X n=12 nn x n : 1. Calcolare il raggio di convergenzaR. 2. Determinare la convergenza della serie injxj=R. Esercizio 3 . SiaV(x) =ax 22 +x 44 e si consideri l'equazione x00 (t) =V0 (x(t)). 1. Si determini per quali valori dia2Rl'equazione ammette soluzioni omocline a 0. 2. Siaa=1. Si determinino i punti di equilibrio dell'equazione e la loro stabilita. Esercizio 4 . Si risolva il problema di Cauchy ((4 logxx)yy0 =2 y2x +y 22 y(1) = 1: