Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 20 febbraio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Domanda 1 . SiaAR3 un insieme aperto eF:A!R3 un campo vettorialeC1 . (a) Denire il potenziale scalareVdel campoF. (b) Scrivere una condizionesucienteper l'esistenza del potenziale scalare. Domanda 2.Siar:TR2 !R3 una supercie. 1. Quale condizione deve soddisfare per essere dettaregolare? 2. Denire il versore normale in un puntor(u; v). Domanda 3. Enunciare il teorema della funzione inversa (scrivere chiaramente ipotesi e tesi). Analisi Matematica II - 20 febbraio 2014 Cognome:Nome: Matricola: Esercizio 1 . Siaf(x; y) =ex +y xy2 x1. 1. Per quali valori dil'equazionef(x; y) = 0 denisce un'unica funzioney(x) in un intorno dix= 0? 2. Sia= 1. Dimostrare chex= 0 e un punto di massimo pery(x). Esercizio 2 . Si consideri il problema 8 > < > :y 00 (x) + 2y0 (x) +2 y(x) = 2 sin(x) y(0) = 0 y(1) = 0: 1. Risolverlo per= 0 e per=1. 2. Stabilire se esiste un valore di2Rper il quale il problema NON ammette alcuna soluzione? Esercizio 3 . Ricordando cheP +1 k=0qk =11 qse jqj