Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 24 Giugno 2013 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Si consideri il sistema dinamico denito inR3 n f0g mr00 (t) =f(jr(t)j)r (t)j r(t)j; dovef: (0;+1) e una funzioneC1 . Denire il momento angolarel=l(r(t); r0 (t)) e dimostrare che e una costante del moto. Domanda 2 Siay0 =f(y) un sistema autonomo di equazioni dierenziali tale chef(0) = 0. Denire una funzione di Liapunov. Domanda 3Si consideri una successione di funzionif n: ( a; b)!R. (a) Denire la convergenza uniforme diP +1 n=0f n. (b) Denire la convergenza totale diP +1 n=0f n. Analisi Matematica II - 26 Giugno 2012 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Si consideri il sistema autonomo (x0 = cos(x) cos(y) y0 = sin(x) sin(y): Si calcolino i punti stazionari in [0;2][0;2] e se ne discuta la stabilita. Si traccino alcune orbite del sistema. Esercizio 2 . Siaf:R!Rdenita daf(x) =1(1+ x)2 . 1. Scriverne la serie di Taylor centrata nell'origine. 2. Calcolare il raggio di convergenzaR. 3. Determinare la convergenza della serie injxj=R. Esercizio 3 . Si risolva il problema di Cauchy (y0 =23 yx +x 2y 2 y(1) = 1: