Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II - 24 novembre 2014 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo delle domande e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Domanda 1. Siaf:RN !Rdierenziabile in un puntox 0e sia v2RN ,v6 = 0. 1. Dimostrare chefe derivabile inx 0in direzione v. 2. Mostrare cheD vf (x 0) = rf(x 0)
v. Domanda 2. Siar:AR2 !R3 una supercie. 1. Quale condizione deve soddisfarerper essere dettaregolare? 2. Quale condizione deve soddisfarerper essere dettaorientabile?. Domanda 3. Sia!=f(x; y)dx+g(x; y)dyuna forma dierenziale. 1. Cosa signica che!echiusa? 2. Cosa signica che!eesatta? Analisi Matematica II - 24 novembre 2014 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere attentamente il testo degli esercizi prima di iniziare lo svolgimento. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Dataf:R2 n(0;0)!Rdenita da f(x; y) =sin( xy)xe x 2 +y2 1; prolungarla con continuita in tutto il piano e determinare se la funzione risultante e dierenziabile in (0;0). Esercizio 2 . Calcolare lo sviluppo di Taylor in (0;0) con resto di Peano al quarto ordine di f(x; y) =p1 x2 y : Usare il risultato ottenuto per calcolare l'equazione del piano tangente al graco della funzione al punto (0;0;1). Esercizio 3 . Si determinino punti di massimo e di minimo assoluti per la funzione f(x; y) =x2 +y2 xy nell'insiemeA=f(x; y)2R2 :x2 + 4y2 4g. Esercizio 4 . Calcolare Z Ax 2 +y2 xy dxdy ; doveA=f(x; y)2R2 :x2 + 4y2 4g.