Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Full exam

Analisi Matematica II - 28 giugno 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. Denire un punto interno, esterno, di frontiera di un sottoinsieme diRn (2 punti). Domanda 2SiaA( Rn un insieme aperto ef:A!R. Denire un punto di massimo globale e locale perf(1+1 punti). Domanda 3Sia (X; d) uno spazio metrico. Denire una funzione lipschitzianaf:X!X(2 punti). Scrivere una condizione suciente di lipschitzianeita per una funzionef:R!R(2 punti). Analisi Matematica II - 28 giugno 2018 Cognome:Nome: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Data la successione di funzioni fn( x) = arctan nx  ; si determini l'insieme di convergenza puntuale (2 punti), il limite (2 punti) e su quali intervalli la convergenza e uniforme (2 punti). Soluzione.La funzione e dispari ed e denita perx6 = 0, quindi la possiamo studiare in A=fx2R:x >0g. Per ognix2Ala successionef n( x) converge af(x) ==2. Poiche limx!+1f n( x) = 0, la convergenza non puo essere uniforme inA. SiaK >0; poiche ognif ne decrescente, sup x2(0;K)j f n( x)f(x)j=2 f n( K)!0 quandon! 1; quindi la convergenza e uniforme in (0; K). Esercizio 2 (6 punti). Determinare per quali valori diala forma dierenziale !=( xy)dx+ (x+y)dy( x2 +y2 )a e chiusa (4 punti) e per quali valori e esatta (2 punti).Soluzione.Calcolando @@ y x y( x2 +y2 )a@@ x x +y( x2 +y2 )a vediamo che la forma e chiusa per= 1. Per= 1 la funzione V(x; y) =yx 2 +y2 arctan(x=y) e un potenziale di!, quindi la forma e anche esatta. Esercizio 3 . Si determini l'integrale generale (4 punti) dell'equazione y0 =yx xy ; indicando l'intervallo massimale di esistenza delle soluzioni (2 punti).Soluzione.L'equazione e di Bernoulli ed e anche omogenea. Il graco delle soluzioni non puo intersecare gli assi cartesiani. Ponendoz=y=x, e quindiz0 =y 0 xyx 2 otteniamo zz0 =1x ; da cuiz22 = logjxj+c ; e quindiy=xz=xpc logjxj: Le soluzioni sono denite per 0< x < ec oppure perec < x