Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Second partial exam

Analisi Matematica II - 02 febbraio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene le domande e rispondereesclusivamentea quanto e chiesto. Domanda 1. SiaXun insieme e siad:XX![0;+1). Quali proprieta deve soddisfared per essere una distanza (o metrica). Cosa signica che una successionefx ng  Xe di Cauchy? Domanda 2 Enunciare il criterio di Weierstrass per la convergenza di una serie di funzioni. Domanda 3Siay0 =f(y) un sistema diNequazioni dierenziali autonome. (a) Quale condizione deve soddisfaref:RN !RN anche l'origine sia un punto di equilibrio? (b) Cosa signica che un punto di equilibrio e stabile secondo Liapunov? Analisi Matematica II - 02 febbraio 2015 Cognome:Nome: Matricola: Nota bene: Leggere bene il testo degli esercizi e rispondere esclusivamente a quanto e chiesto. Scrivere chiaramente le risposte e i passaggi principali. Esercizio 1. Calcolare lo sviluppo in serie di Taylor inx 0= 0 di f(x) =13 x2 + 2 e determinare il raggio di convergenza della serie. Esercizio 2 . 1. Determinare al variare del parametroa2Rla stabilita nell'origine del sistema: y0 =0 @3 a a0 9a3a0 21a2 7a311 Ay : 2. Trovare l'integrale generale del sistema nei casia= 0 ea= 1. Esercizio 3 . Dato il sistema ( x0 =y3 y y0 =xx3 ; si trovino i punti di equilibrio e se ne discuta la stabilita. Si traccino alcune orbite del sistema nel piano delle fasi.