Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

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Analisi Matematica II. Ingegneria Matematica. DIARIO DELLE ESERCITAZIONI A.A. 2018/2019(Prof. G. Arioli, Dott. N. Potrich) CURVE ED INTEGRALI DI LINEA INR2 eR3 Esercizio 1.Scrivere una rappresentazione parametrica delle seguenti curve: a) 1: ramo di parabola y=x2 1 percorso dal punto (2;3) al punto (4;15); b) 2:x 2a 2+y 2b 2= 1 percorsa una sola volta in senso antiorario a partire dal punto ( a;0), cona >0; c) 3: segmento da A= (1;2;5)B= (3;1;0); d) 4: =k,2[0;4] (spirale di Archimede); e) 5: intersezione tra il piano : 5x2y+z= 4 e il cilindroC:x2 +y2 = 1. Esercizio 2.Stabilire se ciascuna delle seguenti curve e chiusa, semplice, piana e/o regolare: a) 1: ' 1( t) = (t;2t; t2 ),t2[0;4]; b) 2: ' 2( t) = (t2 Sht; e t2 ),t2R; c) 3: ' 3( t) = (cost;  jtj;sint),t2[; ]; Esercizio 3.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (e2 t ;2et ; t); t2[0;1]: i) Calcolare il vettore velocita e la velocita scalare. ii) Determinare l'equazione della retta tangente alla curva nel puntoP= (1;2;0). iii) Determinare l'accelerazione vettoriale, mettendone in evidenza la componente normale e la componente tangen-ziale in ogni punto e calcolare l'accelerazione scalare. Esercizio 4.Sia l'elica cilindrica, parametrizzata da '( t) = (rcost; rsint; ht); t2[0;2] (r; h >0 ssati): i) Determinare la terna fondamentale in ogni punto. ii) Calcolare curvatura e torsione in ogni punto. Esercizio 5.Mostrare che ciascuna delle seguenti curve e retticabile e calcolarne la lunghezza: a) 1: ' 1( t) = (cos3 t;sin3 t),t2[0;2] (astroide); b) 2: ' 2( t) =( (cost;sint)t2[0; ] (t1;0)t2[;2]; c) 3: ' 3( t) = (t;2t;t2 ),t2[1;2]. Esercizio 6.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (et ; e t ;p2 t); t2R: TrovareT2Rtale che il sostegno ='([0 ; T]) abbia lunghezza 3=2. 1 Esercizio 7. Sia la curva descritta in coordinate polari (t) =p1 + t2 ; (t) =tarctgt; t2[0;+1): i) Mostrare che il sostegno di nel piano cartesianoOxye una spirale e mostrare che esiste un unico valoreTper cui(T) =. ii) Calcolare la lunghezza dell'arco di nel pianoOxydeterminato dat2[0; ]: Esercizio 8.(appel lo25febbraio2016) Sia2Re sia la curva parametrizzata da ' ( t) = (et ; et ); t2[0;log 2]: i) Determinare il valore del parametroanche la lunghezza della curva sia 1. ii) Per= 2 determinare il versore tangente e il versore normale. iii) Per= 1 trovare la parametrizzazione rispetto all'ascissa curvilinea. Esercizio 9.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (sin(et );cos(et ); et ); t2[log=2;log]: i) Mostrare che e retticabile e calcolare la sua lunghezza. ii) Trovare la parametrizzazione rispetto la lunghezza d'arco di . EsisteT2[log=2;log] per cui la distanza percorsa lungo al tempoTsia 2? iii) Calcolare il valor medio dif(x; y; z) = logzsu . Esercizio 10.Sia la curva parametrizzata da '( t) = 12 sin 2 t; t2 ;sin2 t ; t2[p2 ;0]: CalcolareZ f ds; dovef(x; y; z) =py: Esercizio 11.Sia la curva parametrizzata da '( t) = (t2 ; tsint2 ; tcost2 ); t2[2;2]: CalcolareZ f ds; dovef(x; y; z) =py 2 +z2 : Esercizio 12.Sia la curva avente per sostegno il segmento di estremiP= (1;0) eQ= (0;2). Dopo aver parametrizzato , determinare per quale valore del parametro2Rsi ha che Z f ds = 0; dovef( x; y) =x2 +y: 2 LIMITI E CONTINUITA' IN R2 Esercizio 13.Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: a) lim(x;y)!(0;0)x 2 y2x 2 y2 + (yx)2; b) lim(x;y)!(0;0)x 2 y+x2y 2 +x4; c) lim(x;y)!(0;0)xy 2x 2 +y4; d) lim(x;y)!(0;0)x 2 yx 2 +y4; e) lim(x;y)!(0;0)sin( xy)log(1 + x); x 2(1;0)[(0;+1); f ) lim(x;y)!(0;0)( x2 +y2 )x 2 y2 ; g) lim(x;y)!(0;0)log(1 + 2 x2 +y2 )( x2 + 3y2 )2; h) lim(x;y)!(0;1)sin 2 (x) log(2y)x 2 +y2 2y+ 1; i) lim(x;y)!(0;0)x 3 ysin(xy2 )x 4 +y2; l) lim(x;y)!1x 3 ysin(xy2 )x 4 +y2; m) lim(x;y)!1log(1 + jxyj)( x2 +y2 )2; n) (primo compitino3maggio2013) lim (x;y)!(0;0)pj xjy4x 4 +y4. Esercizio 14.Stabilire se le seguenti funzioni possono essere estese con continuita nell'origine: a)f(x; y) =xpj x2 y2 jx 2 +y2; b)f(x; y) =e xy 2 1x 2 + 2y2. Esercizio 15.Studiare al variare del parametro reale >0 la continuita della funzione: f(x; y) =8 < :j xj sinyx 4 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 16.Studiare al variare del parametro reale >0 la continuita della funzione: f(x; y) =8 < :x 2 jyjx 4 +y6( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 17.Studiare al variare del parametro2Rla continuita della funzione: f(x; y) =8 > < > :4 pj xjlog(1 +x2 +y2 )( x2 +y2 )( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): 3 DERIVABILITA' E DIFFERENZIABILITA' IN R2 Esercizio 18.Sia f(x; y) =8 < :x 3 3x2 yx 2 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): i) Vericare chefe continua inR2 . ii) Calcolare il gradiente difin (0;0). iii) Discutere la dierenziabilita difin (0;0). Esercizio 19.(primo compitino13novembre2017) Siaf:R2 n f(0;0)g !Rdenita da f(x; y) =x 2 sin(xy)log(1 + x2 + 3y2 ): i) Si mostri chefe prolungabile con continuita inR2 . ii) Si determini se la funzione risultante~ fe dierenziabile in (0;0). Esercizio 20.(appel lo5settembre2018) Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =jxjlog(1 +x2 +y2 ): Si determini in quali punti del piano:i)fe continua; ii)fammette derivate parziali; iii)fe dierenziabile. Esercizio 21.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = 2x3 x2 y+ 3xy2 y3 : i) Calcolare, per ogni versorev:= ( v 1; v 2) 2R2 , il valore diD vf (1;1). ii) Determinare minfD vf (1;1) :v2 R2 ; v2 1+ v2 2= 1 g. iii) Determinare l'equazione del piano tangente al graco della funzionefnel punto (1;1; f(1;1)). Esercizio 22.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =xjyj(y+x2 +x): Si discuta la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita dif. Esercizio 23.Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita nell'origine della funzione reale fcos denita localmente nell'origine diR2 f(x; y) =8 > < > :e x 3 xsin2 y 1sin 2 x+y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): Esercizio 24.Discutere al variare del parametro >0 la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita della funzione f(x; y) =8 < :j yj (x1)x 2 +y2( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): 4 OTTIMIZZAZIONE LIBERA IN R2 Esercizio 25.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =y2 (x2 +y2 x): Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, specicando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 26.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = (x3)2 (xy2 ): Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, specicando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 27.Siaf:D f! Rdenita da f(x; y) =ylog(y+x2 ): i) Determinare l'insieme di denizioneD fe studiare il segno di f. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, specicando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 28.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = (x2 y2 )(x+ 1)jyj: i) Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita dif. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, specicando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. Esercizio 29.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = artg[jyj(y+x2 1)]: i) Discutere la continuita, la derivablita direzionale e la dierenziabilita dif. ii) Determinare i punti stazionari dife discuterne la natura, specicando se gli eventuali punti estremanti sono assoluti e/o relativi. FUNZIONI IMPLICITE Esercizio 30.Siaf: (1;+1)R!Rdenita da f(x; y) = ln(x+ 1) +ey (x3 + 1) +x2 1: i) Vericare che esiste un intorno del punto (0;0) e un'unica funzioney=(x) con graco in tale intorno tale che f(x; (x)) = 0. ii) Calcolare il polinomio di McLaurin didi ordine 2. Esercizio 31.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = cosy+ysinx3x+ 2y3: i) Vericare che nell'intorno del punto (=2;3=2) esiste un'unica funzioney=(x) il cui graco coincide in tale intorno con gli zeri dif. ii) Calcolare lo sviluppo di Taylor diin (=2;3=2) arrestato al secondo ordine. 5 Esercizio 32. Dopo aver vericato che l'insieme E=f(x; y)2R2 jlog(x2y) + 2yx+ siny+ 1 = 0g coincide in un intorno del punto (2+ 1; ) con il graco di un'unica funzioney=(x) di classeC1 e tale che f(2+ 1) =, mostrare che (+ 1; ) e un punto stazionario perfe determinarne la natura. Esercizio 33.Siaf: [0;+1)R!Rdenita da f(x; y) = 2e xy px (5 + 2y): i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. Esercizio 34.Siaf: (0;+1)R!Rdenita da f(x; y) =xy+ey log4 x: i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. Esercizio 35.Sia f(x; y) = 4yx+ 1log(1ye3 x ): i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione:R!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. Esercizio 36.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =x2 y+ex +y : i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione:Rn f0g !Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. Esercizio 37.Siaf: (0;+1)(0;+1)!Rdenita da f(x; y) =ey (1 + log2 x) +x2 logy: i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione: (0;+1)!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. iii) Mostrare chepuo essere prolungata con continuita all'intervallo [0;+1) e calcolare, se esiste, il valore della semi-derivata destra0 +(0). Esercizio 38.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = 2ex 3 y + 8(x1)3 y3 1: i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione:R!Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. iii) Si calcoli l'equazione della retta tangente al graco dinel punto di ascissax= 1. 6 Esercizio 39. (primo compitino13novembre2017) Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =x3 (2 +y) +exy : i) Si verichi che l'equazionef(x; y) = 0 denisce implicitamente un'unica funzione:Rn f0g !Rdi classeC1 . ii) Si determini il dominio di, eventuali estremanti, limiti agli estremi del dominio, eventuali asintoti e si tracci un graco qualitativo di tale funzione. OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA Esercizio 40.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =e3 xy e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 = 9g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 41.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =x(xy2 ) e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 5g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 42.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =xe (x2 +y2 ) e siaD=f(x; y)2R2 : (x1)2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 43.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =y2 (xx2 y2 ) e siaD=f(x; y)2R2 :xx2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): Esercizio 44.Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = sinysinxcos(yx): i) Determinare la natura dei punti stazionari difnell'insieme = (0; )(0; ). ii) Dato l'insiemeT=f(x; y)2R2 :x0; y0; x+yg; determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Tf (x; y) eM= min (x;y)2Tf (x; y): 7 Esercizio 45. (primo compitino21novembre2016) Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) =x2 y2 2x2 y+x2 e siaD=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1g: Determinare i punti estremanti assoluti difsuD, precisando m= min (x;y)2Df (x; y) eM= min (x;y)2Df (x; y): POLINOMI DI TAYLOR Esercizio 46.Determinare lo sviluppo di McLaurin delle seguenti funzioni: a)f 1( x; y) = log(1 +x2 +y) arrestato al II ordine; b)f 2( x; y) = sin(xexy ) arrestato al IV ordine; c)f 3( x; y) =p1 + x2 4y3 arrestato al III ordine; Esercizio 47.(primo compitino23novembre2015) Siaf:R2 !Rdenita da f(x; y) = sin(xy)logx2 : a) Calcolare lo sviluppo di Taylor difarrestato al IV ordine nel punto (1;0). b) Utilizzando lo sviluppo trovato, calcolare l'equazione del piano tangente al graco difnel punto (1;0; f(1;0)). c) Utilizzando lo sviluppo trovato, determinare se esiste un intorno del punto (1;0) in cui il piano tangente e interamente sotto o sopra al graco dif. Esercizio 48.Discutere al variare del parametro >0 la continuita, la derivabilita direzionale e la dierenziabilita della funzione f(x; y) =8 < :e y +xy 1y( x2 +y2 )( x; y)6 = (0;0) 0 (x; y) = (0;0): SUGG. Per lo studio della continuita e dierenziabilita in (0;0), sviluppare al II ordine il termineey +xy . . . INTEGRALI DOPPI Esercizio 49.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =xy2 2x+ 1 eE= [0;2][1;3]: Esercizio 50.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =ysinxy2 cosx eE= [0; ][1;2]: 8 Esercizio 51. Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =ylogy eE=f(x; y)2R2 : 0x1;0yx;0y22xg: Esercizio 52.Calcolare l'area dell'insieme E=f(x; y)2R2 :2x1; x3 yx2 g: Esercizio 53.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) = log(x+y) eE=f(x; y)2R2 : 0x+y2;1xy3g: Esercizio 54.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) = sin(x+ 2y) cos(3xy) eE=f(x; y)2R2 :x0;3xy0; x+ 2y1g: Esercizio 55.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =x+ 3y2 eE=f(x; y)2R2 :xy4x;2x2 +y2 9g: Esercizio 56.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) = (x1)y eE=f(x; y)2R2 : 0yx1;(x1)2 +y2 1g: Esercizio 57.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =x+ 3y2 eE=f(x; y)2R2 :xy4x;2x2 +y2 9g: 9 Esercizio 58. (primo compitino21novembre2016) Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =xy 2x 2 +y2 eE=f(x; y)2R2 :x2 +y2 9; x0; y0g: Esercizio 59.(appel lo6luglio2017) Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =e (x2 +y2 )2 (x3y)px 2 +y2 eE=f(x; y)2R2 :x0; y0g: Esercizio 60.Calcolare l'area della regione piana compresa fra le ellissi di equazione 4x2 + 9y2 = 1 e 12x2 + 27y2 = 1. Esercizio 61.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =xy2 eE=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1; y jxjg: Esercizio 62.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =x2 y eE=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1; y jxjg: Esercizio 63.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =y eE=f(x; y)2R2 :y0; x2 +y2 6x0g: Esercizio 64.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =x 2 yx 2 +y2 eE=f(x; y)2R2 :x2 +y2 4; x2 +y2 2x0; y0g: 10 Esercizio 65. Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =jxj eE=f(x; y)2R2 :x2 +y2 1;p2 2  y1 jxjg: Esercizio 66.Calcolare Z Z Ef (x; y)dxdy; dovef(x; y) =y+ Sh(x3 y) eE=f(x; y)2R2 :x2 + (y1)2 1; y2 jxjg: SUGG. Sfruttare le simmetrie: : : Esercizio 67.Sia assegnato l'integrale iterato Z0 1dxZ 0 p1 x2f (x; y)dy+Z 1 0dxZ x2 x p1 x2f (x; y)dy: a) Invertire l'ordine di integrazione nell'iterazione. b) Scrivere l'integrale in coordinate polari centrate nell'origine. INTEGRALI TRIPLI Esercizio 68.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =xyez eE=f(x; y; z)2R3 : 0x1;2y0;0zx2 +y2 g: Esercizio 69.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =zx + 1 e E=f(x; y; z)2R3 : 0x1;0z1; xyx+z2 g: Esercizio 70.Calcolare il volume dell'insieme E=f(x; y; z)2R3 : 0z1; zx2 +y2 g: Esercizio 71.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =xsin(2x+y+z) 11 e E=f(x; y; z)2R3 : 0x1;0x+y+z2;2x+ 2z1g: Esercizio 72.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =ze zx 2 +y2 + 1 eE=f(x; y; z)2R3 :y0; x2 +y2 1;3z4g: Esercizio 73.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =xyz eE=f(x; y; z)2R3 :x0; y0; z0;1x2 +y2 4; zx2 +y2 g: Esercizio 74.Calcolare il volume dell'insieme E=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 +z2 6;1zx2 +y2 g: Esercizio 75.Calcolare Z Z Z Ef (x; y; z)dxdydz; dovef(x; y; z) =x eE=f(x; y; z)2R3 :x0; y0; z0; x2 +y2 +z2 4g: Esercizio 76.Calcolare il volume dell'insieme E=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 1; x2 +y2 +z2 9; z0g: CAMPI VETTORIALI, FORME DIFFERENZIALI, LAVORO E POTENZIALI Esercizio 77.Sia la curva di equazioni cartesiane :y=px; 1x3: Calcolare il lavoro lungo del campo vettorialeF: R2 !R2 denito da F( x; y) = (cos(xy2 );ylog(1 +y2 )): Esercizio 78.SiaF: R2 !R2 il campo vettoriale denito da F( x; y) = 4x3 y21 + x4; 2ylog(1 +x4 ) : a) Stabilire seFe irrotazionale sul suo insieme di denizione. b) Stabilire seFe conservativo sul suo insieme di denizione, determinandone un potenziale. c) Calcolare il lavoro del campo vettorialeFlungo la curva :x2 +y2 = 1 percorsa una sola volta in senso orario. 12 Esercizio 79. (appel lo6settembre2016) Sia A=f(x; y)2R2 :y >x3 g; siaF: A!R2 il campo vettoriale denito da F( x; y) = 3x2p x 3 +y; 1p x 3 +y! e sia la curva regolare parametrizzata da '( t) = (cost;2 + sint); t2[0; ]: Vericare che il campo vettorialeFe conservativo su Ae calcolare il lavoro lungo di tale campo. Esercizio 80.Si consideri il campo vettorialeF k: !R2 il campo vettoriale denito da Fk( x; y) = kxy+1x ; x 2 +1y  : a) Determinare il campo di esistenza diF k. b) Determinare per quali valori dik2Ril campo vettorialeF ke conservativo nel primo quadrante. c) Per i valori diktrovati in b), calcolare un potenziale diF k. d) Per i valori diktrovati in b), calcolare Z Fk; ds ; dove e l'arco di parabola di equazioney=x2 2x+ 2 percorso dal puntoB= (2;2) al puntoA= (1;1). e) Perk= 0, calcolare Z F0; ds ; dove e l'arco di curva denito in d). Esercizio 81.SiaF: !R2 il campo vettoriale denito da F( x; y) = xyx 2 +y2;x +yx 2 +y2 : a) Determinare il campo di esistenza diF. b) Stabilire seFe irrotazionale su . c) Calcolare il lavoro diFlungo le seguenti curve orientate positivamente. Esercizio 82. Calcolare Z !; dove!e la forma dierenziale denita da !=2 artg y1 + x2dx +cos ycos xdy e e la curva avente come sostegno il triangolo di vertici (0;0), (1;1), (0;1) percorso una sola volta in senso antiorario. 13 Esercizio 83. Calcolare Z !; dove!e la forma dierenziale denita da !=! 1+ ! 2; dove!1= ey sinxdx(y2 +ey cosx)dy !2= (3 x+y)dx+ (y2x)dy; e e la curva avente parametrizzazione '( t) = (cost;p3 sin t); t2[0;2] Esercizio 84.Calcolare Z !; dove!e la forma dierenziale denita da != xx 2 + 4y2 1 dx 3y+4 yx 2 + 4y2 dy e e la curva cartesiana = (x; y)2R2 :1x2; y= x2 14   x32  : Esercizio 85.(appel lo1luglio2015) Sia data la forma dierenziale != (x2 +y)dx+ (x3 +y2 )dy e la curva parametrizzata da '( t) = (cost;sint); t2[0;2]: a) Determinare se!e chiusa suR2 . b) Determinare se!e esatta suR2 . c) CalcolareZ ! . Esercizio 86.Sia data la forma dierenziale !=yx 2 +y2dx xx 2 +y2dy: a) Dimostare che!e chiusa suR2 n f(0;0)g. b) Dimostare che!non e esatta suR2 n f(0;0)g. c) CalcolareZ !; dove e la curvax2 +y 22 = 1 e y0 percorsa in senso antiorario. Esercizio 87.(appel lo28giugno2018) Determinare per quali valori del parametro2Rla forma !=x y( x2 +y2 )dx +x +y( x2 +y2 )dy e chiusa e per quali valori e esatta.Esercizio 88.Sia data la forma dierenziale !=y z+1x 2 +y2 dx+x z1x 2 +y2 dy+xydz: 14 a) Mostrare che !e esatta su A= (x; y; z)2R3 :x0; y0; z0 e calcolarne i potenziali. b) Determinare l'insieme di denizione della forma dierenziale!e stabilire se!e esatta nel suo insieme di denizione. Esercizio 89.Siag=g(y; z) una funzione di classeC1 suR2 e si consideri la forma dierenziale !(x; y; z) =g(y; z)dx+ 6y2 xdy+ (2z+ 2xz+zez )dz: a) Vericare che esiste un'unica funzionegtale che!sia esatta suR3 eg(2;2) = 0. b) Per taleg, determinare tutti i potenziali. FORMULE DI GAUSS-GREEN E TEOREMA DELLA DIVERGENZA NEL PIANO Esercizio 90.Usando le formule di Gauss-Green, calcolare Z + 1! eZ + 2! dove!e la forma dierenziale !=y2 dx+xdy e 1e il bordo del quadrato di vertici (0 ;0), (1;0), (1;1), (0;1) e 2e l'ellissex 2a 2+y 2b 2= 1 : Esercizio 91.Calcolare l'area della supercie limitata diR3 la cui frontiera e il sostegno della curva chiusa di equazioni parametriche '( t) = (sin3 t;cos3 t); t2[0;2]: Esercizio 92.(appel lo6settembre2013) Calcolare l'area della regione di piano compresa tra la curva di equazioni parametriche'( t) = (tsint;1cost); t2[0;2] e l'asse delle ascisse. Esercizio 93.(appel lo15settembre2015) Usando le formule di Gauss-Green, calcolare l'area della regione di piano compresa tra l'assey, la retta12 x 12 ed il graco della funzione y= 1x5 . Esercizio 94.(appel lo23settembre2016) Calcolare l'area della regione di piano compresa tra la curva 1di equazioni parametriche'1( t) = (tcost; tsint); t2[0;2] ed il segmento 2di equazioni parametriche '2( t) = (t;0); t2[0;2]: Esercizio 95.(appel lo16luglio2012) Calcolare Z Z Tf (x; y)dxdy; dovef(x; y) =x2 y eTR2 e il triangolo di vertici (0;0), (1;2) e (2;1); direttamente e usando le formule di Gauss-Green. 15 Esercizio 96. (primo compitino3maggio2013) Calcolare Z Z Df (x; y)dxdy; dovef(x; y) =xy eD=f(x; y)2R2 : (x1)2 +y2 3g; direttamente e usando le formule di Gauss-Green. Esercizio 97.(appel lo2luglio2014) Calcolare Z Z Tf (x; y)dxdy; dovef(x; y) =yex eTR2 e il triangolo di vertici (1;0), (0;2) e (2;0); direttamente e usando le formule di Gauss-Green. Esercizio 98.Calcolare usando la denizione Z !; dove!=3 xx 2 +y2 + 1dx 3 yx 2 +y2 + 1dy e e la curva chiusa, orientata in senso antiorario, denita come = 1[ 2[ 3e 1= f(x; y)2R2 :x2 +y2 = 1; x0; y0g; 2= f(x; y)2R2 :x= 0;0y1g; 3= f(x; y)2R2 :y= 0;0x1g: Successivamente vericare il risultato ottenuto usando le formule di Gauss-Green. Esercizio 99.SiaFil campo vettoriale denito da F( x; y) = (y2 +x2 y; x2 xy2 ) e, ssator >0, si consideri la regione data da =f(x; y)2R2 :x2 +y2 r; xp3 yg: i) Stabilire seFe conservativo in R2 . ii) Calcolare il lavoro del campo vettorialeFlungo la curva =@ percorsa una sola volta in senso orario. Esercizio 100.Calcolare, usando la denizione, il usso del campo vettorialeFdenito da F( x; y) = (x2 y; xy2 ); che attraversa la porzione dell'ellisse di equazione :x2 + 4y2 = 16; che si trova nel primo quadrante nella direzione della normale diretta verso l'esterno dell'ellisse. Successivamente vericare il risultato ottenuto usando il teorema della divergenza nel piano. 16 AREE E INTEGRALI DI SUPERFICIE Esercizio 101.Sia  la supercie parametrizzata da '( u; v) = (v; u; u2 +v2 );con (u; v)2D=f(u; v)2R2 :u2 +v2 1g: a) Dimostrare che  e una supercie semplice e regolare. b) Calcolare l'area di . Esercizio 102.Sia  il sostegno della curva parametrizzata da '( u; v) = (u2 ; v2 ;p2 uv);con (u; v)2D=f(u; v)2R2 :u0; v0; u2 +v2 4g: a) Calcolare l'area di . b) CalcolareZ Z f (x; y; z)d; dovef(x; y; z) =z: Esercizio 103.Scrivere l'equazione del piano tangentealla supercie regolare  di equazioni parametriche '( u; v) = (2 cosu;sinu+v; v);con (u; v)2[0;2]R nel puntoA= (2;1;1). Determinare inoltre gli altri eventuali punti in cui il pianointerseca la supercie . Esercizio 104.(appel lo2luglio2014) Sia  la supercie parametrizzata da '( u; v) = (2 +u; uv; v3 u); u; v2[2;2]: a) Stabilire se la supercie e semplice. b) In quali punti del dominio la supercie e regolare? c) Determinare il vettore normale alla supercie nel generico punto'( u; v). d) Determinare l'equazione del piano tangente alla supercie nel puntoP= (2;0;1). Esercizio 105.(appel lo14luglio2014) Sia  la supercie parametrizzata da '( u; v) = (v3; uv2 ; u3 3v); u; v2[1;2]: a) Stabilire se la supercie e semplice. b) In quali punti del dominio la supercie e regolare?c) Determinare il vettore normale alla supercie nel generico punto'( u; v). d) Determinare l'equazione del piano tangente alla supercie nel puntoP= (3;0;0). Esercizio 106.(appel lo1settembre2015) Calcolare l'area della supercie  =f(x; y; z)2R3 :z=x2 +y2 ; z1g: Esercizio 107.Si consideri la regione D=f(x; y; z)2R3 : 0za2 x2 y2 ; x0;p3 yxg; a >0: a) Calcolare il volume del solidoD. b) Sia@ Dla supercie esterna della regioneD. Determinare l'area della porzioneS 1della supercie @ Dche si trova sul paraboloide e l'area della porzioneS 2della supercie @ Dche si trova sul pianop3 y=x. 17 Esercizio 108. (appel lo19luglio2018) Calcolare Z Z f (x; y; z)d; dovef(x; y; z) =x3 ez e =f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 = 1; x0;0z1g: Esercizio 109.Calcolare Z Z f (x; y; z)d; dovef(x; y; z) =z e =f(x; y; z)2R3 : 2x2 + 2y2 + 1z2 = 0; x2 +y2 1; z0g: FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE E TEOREMA DELLA DIVERGENZA Esercizio 110.Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (xz; yz; z) attraverso la supercie  di equazioni parametriche'( u; v) = (ucosv; usinv; v); u2[1;2]; v2[0;2]: Esercizio 111.Sia  la porzione della supercie di equazioni cartesianez=xyche si proietta sul dominio =f(x; y)2R2 :p3 jyj xp1 y2 g: Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (y; x;0) attraverso la supercie  nel verso del vettore normale che in (0;0;0) e diretto verso il basso. Esercizio 112.Siano f(x; y) =r9 x 24 y2 con (x; y)2D=f(x; y)2R2 :x2 + 4y2 4g: CalcolareZ Z h F; ni d; dove R3 e il graco dif,ne il versore normale a  con terza componente positiva e F: R3 !R3 e il campo vettoriale denito daF( x; y; z) = (4xz; xyz; y+ 3): Esercizio 113.(appel lo30gennaio2017) SiaF: R3 !R3 il campo vettoriale denito da F( x; y; z) = (x3 ; y3 ; z2 ) e siaA=f(x; y; z)2R3 : 0z1px 2 +y2 g: CalcolareZ @ Ah F; ni d: 18 Esercizio 114. Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (xy+xz; xy+yz; xz+yz) attraverso la supercie  data dal bordo della regione =f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 z1g dove  e orientata mediante la normale esterna. Esercizio 115.Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = x33 ; y 33 ; ze ( x2 +y2 )2 px 2 +y2 attraverso la supercie  data dal bordo della regione =f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 1;0zpx 2 +y2 g dove  e orientata mediante la normale esterna. Esercizio 116.Siano E=f(x; y; z)2R3 :zx2 +y2 ;1z9g e siaF: R3 !R3 il campo vettoriale denito da F( x; y; z) = 1 +yey 2 ; ex +y; z+y2 : i) Calcolare il usso del campo vettorialeFuscente da E. ii) Determinare il usso del campo vettorialeFuscente dalla porzione S=f(x; y; z)2R3 :z=x2 +y2 ;1z9g della frontiera diE. Esercizio 117.Si consideri il campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (xy; xz; yz) e la porzione della palla sferica di raggior >0 ssato e centroO= (0;0;0) contenuta nel primo ottante data da =f(x; y; z)2R3 :x0; y0; z0; x2 +y2 +z2 r2 g: i) Calcolare il rotore, la divergenza e la divergenza del rotore diF. ii) Calcolare il usso del campo vettorialeFuscente dalla supercie che delimita . iii) Quanto vale il usso del campo vettorialeFsu ciascuna faccia di tale supercie (ossia sulle tre porzioni dei piani coordinati e sulla porzione di supercie sferica)? Esercizio 118.(appel lo3febbraio2014) Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (y; x2 y; y2 z); uscente dalla regioneD=f(x; y; z)2R3 : 1z2x2 y2 g: Esercizio 119.(appel lo5settembre2014) Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (y; x2 ; z); uscente dalla regioneA=f(x; y; z)2R3 :x0; y0; z0;2x+y+ 3z1g: 19 Esercizio 120. (appel lo18settembre2014) Calcolare il usso del campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (yz; y; y); uscente dalla regioneA=f(x; y; z)2R3 :x1;(x1)2 +y2 +z2 1g: TEOREMA DI STOKES NELLO SPAZIO Esercizio 121.Sia dato il solido S=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 z32xg: i) Disegnare il solidoSe calcolare il volume. ii) La frontiera@ SdiSha una parte superioreAe una parte lateraleB. Parametrizzare la parte superiore in modo che la normale sia quella uscente daSe trovarne l'area. iii) Dato il campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = y; x; z5 e z2 ; calcolare il lavoro del campo vettorialeFlungo il bordo di Aorientato positivamente rispetto alla parametriz- zazionedel punto ii). Esercizio 122.Siano dati la regione E=f(x; y; z)2R3 :x2 +y2 1;0z2yg e il campo vettorialeF: R3 !R3 denito da F( x; y; z) = (y2 ; x; z2 ); i) Disegnare la regioneE. ii) Calcolare il usso del campo vettorialeFattraverso la frontiera di E, orientato secondo la normale uscente. iii) Calcolare il lavoro del campo vettorialeFlungo la curva :( y+z= 2 x2 +y2 = 1 percorsa in senso antiorario rispetto ad un osservatore posto in (0;0;10). Esercizio 123.Siano date la forma dierenziale != (yx)dx+ (2y+z)dyzdz e la supercie =f(x; y; z)2R3 :z=px 2 +y2 ; x2 +y2 1g: i) Mostrare che!non e esatta suR3 . ii) CalcolareZ @+! . Esercizio 124.Siano date la forma dierenziale != (x2 +yz)dx+ 2xzdy+ (xy+z2 )dz e la curva :( x2 +y2 = 1 z= 2x2 percorsa in senso antiorario rispetto ad un osservatore posto in (0;0;4). i) Mostrare che!non e esatta suR3 . ii) CalcolareZ ! . 20 SUCCESSIONI DI FUNZIONI Esercizio 125.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: Rn f2g !R,n2N, e denita da: fn( x) = 3x+ 12 x 2n : i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. Esercizio 126.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =1 +pnx n 2 x2 + 4: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) La convergenza alla funzione limitefe uniforme suE? E su (0;1)? E su (1;+1)? iii) Determinare inoltre tutti gli intervalliIEdove la convergenza e uniforme. Esercizio 127.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =3 n2 x(1 + njxj)2: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) La convergenza alla funzione limitefe uniforme suE? E su [2;3]? E su [4;+1)? iii) Determinare inoltre tutti gli intervalliIEdove la convergenza e uniforme. Esercizio 128.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =n2 (nx2 2x)e nx : i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. Esercizio 129.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =x 3 nx2n (x2 + 1) +x4: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. Esercizio 130.Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =( nx)2n 2 +x2: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. iii) Calcolare lim n!+1Z 4 1f n( x)dx: 21 Esercizio 131. Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R,n2N, e denita da: fn( x) =e x n3 px x 2 +n: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. iii) Calcolare lim n!+1Z 8 1f n( x)dx: Esercizio 132.(secondo compitino23gennaio2018) Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: R!R, n2N, e denita da: fn( x) =n 2 x2 +nxn 2 +x2: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. Esercizio 133.(appel lo28giugno2018) Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: Rn f0g !R,n2N, e denita da:fn( x) = artg nx  : i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale diff ng n0e la funzione limite f. ii) Stabilire se la convergenza alla funzione limitefe uniforme suEe in caso negativo stabilie su quali intervalli IEla convergenza e uniforme. SERIE DI FUNZIONI Esercizio 134.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =11 + n2 x; x 0: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 135.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =xe nx : i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 136.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) = log 2x+n2x +n2 ; x0: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. 22 Esercizio 137. Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =nxen (x2 +x) : i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 138.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =x 2 log 1 +xn n (1 +pnx ); x > 0: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 139.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =xn 2log x1 + n2 ; x >0: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 140.Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =log( x+ 3 n )x 3 pn 4 + 1; x > 0: i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 141.(appel lo13febbraio2018) Sia data la serie di funzioni+ 1 X n=1f n( x), dove fn( x) =enx i) Determinare l'insiemeEdi convergenza puntuale. ii) Calcolare la somma della serie. iii) Stabilire se la convergenza e uniforme suEe in caso negativo stabilire su quali interalliIEla convergenza e uniforme. Esercizio 142.(appel lo5settembre2018) Sia data la successioni di funzioniff ng n0, dove f n: [ ; ]!R,n2N, e denita da:fn( x) = cos xn  : Si determinino le regioni di convergenza puntuale e uniforme delle serie:+1 X n=1f n( x) e+ 1 X n=1f 0 n( x): 23 EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI Esercizio 143.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =(4 x+ 2)(y2 4y+ 4)x 2 +x+ 1 y(0) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2R. ii) Trovare una formula esplicita per le soluzioni al variare di2R. iii) Determinare l'insieme di denizione massimale della soluzione, vericando che e un intervallo, per a)= 2;b)=12 log 3 + 2 : Esercizio 144.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =(1 + x2 )(1 +y2 )y (x+ 1) y(0) =1: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) e determinare le eventuali soluzioni di equilibrio. ii) Determinare la soluzione locale del problema (P C) e indicare l'intervallo massimale della soluzione trovata. Esercizio 145.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =xe y2y y(0) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2R. ii) Trovare una formula esplicita per le soluzioni al variare di2R. iii) Determinare il piu ampio intervallo di denizione della soluzione al variare di2R. Esercizio 146.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =2( y+ 2)2 (1x)( x+ 2)(4x) y(0) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2Re determinare le eventuali soluzioni di equilibrio. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di2R. iii) Stabilire per quali valori del parametro2Rla soluzione massimale e denita almeno nell'intervallo (2;3). Esercizio 147.(appel lo13febbraio2018) Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =2 x1 + cos y y(0) = 0: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C). ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C). iii) Determianare l'intervallo massimale di esistenza della soluzione e se ne tracci un graco qualitativo. 24 Esercizio 148. (appel lo5settembre2018) Si determini l'integrale generale dell'equazione y0 =1 e y2 x+ 1: EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI Esercizio 149.Determinare, per2R, la soluzione del problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 +y2 px = epx log(1 +px ) y(1) =: Esercizio 150.Determinare la soluzione del problema di Cauchy (P C)( y0 =cos(x)y+ sinxcosx y(1) = e calcolarey(1). Esercizio 151.(appel lo23settembre2016) Si consideri l'equazione dierenziale y0 =yx 1x e 1 =x ; perx >0. i) Si dica in quale regione valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo e in grande. ii) Si trovi la soluzione di tale equazione che ammette limite nito pert!+1e si calcoli tale limite. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE OMOGENEE Esercizio 152.(appel lo24giugno2013) Si risolva il Problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =23 yx + x 2y 2 y(1) = 1: Esercizio 153.(appel lo28giugno2018) Si consideri l'equazione dierenziale y0 =yx xy : i) Si determini l'integrale generale dell'equazione dierenziale. ii) Indicare l'intervallo massimale di esistenza delle soluzioni. Esercizio 154.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =x 3 +y3xy 2 y(1) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2R. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di2R. iii) Determinare il piu ampio intervallo di denizione della soluzione al variare di2R. 25 Esercizio 155. Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =yx  1 +1log( y=x) y(x 0) = y 0: i) Per quali (x 0; y 0) ha senso studiare il problema? Per tali valori, discutere le questioni di esistenza ed unicita. ii) Nel casox 0= 1, trovare le soluzioni al variare dei valori ammissibili del parametro y 0. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE DI BERNOULLI Esercizio 156.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)( y0 2y+x2 e x y2 = 0 y(0) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2Rn f0g. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di2Rn f0g. iii) Determinare il piu ampio intervallo di denizione della soluzione al variare di2Rn f0g. Esercizio 157.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 2x y = 2(2x2 +x)py y(1) =2: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di >0. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di >0. iii) Stabilire per quali valori del parametro reale >0 la soluzione e denita in (0;+1). Esercizio 158.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 > < > :y 0  1x 2x y+y2 = 0 y(1) =1 : i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2Rn f0g. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di2Rn f0g. iii) Determinare il piu ampio intervallo di denizione della soluzione al variare di2Rn f0g. Esercizio 159.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)( y0 + 3xy2jxjy3 = 0 y(0) =: i) Discutere esistenza ed unicita del problema (P C) al variare di2R. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C) al variare di2R. iii) Determinare il piu ampio intervallo di denizione della soluzione al variare di2R. 26 Esercizio 160. (appel lo5settembre2014) Sia data l'equazione dierenziale y0 =y+xy2 : i) Sono vericate le ipotesi del teorema di esistenza e unicita locale/globale? ii) Determinare il luogo dei punti a tangente orizzontale, il luogo dove le soluzioni sono crescenti o decrescenti edeventuali soluzioni costanti. iii) Calcolare l'integrale generale dell'equazione. Esercizio 161.(secondo compitino30gennaio2017) Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =yx + x 2y y(1) =: i) Risolvere tale problema. ii) Determinare per quali valori del parametro2Rla soluzione e denita su (0;+1). EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE ESATTE Esercizio 162.(appel lo16luglio2013) Si risolva il Problema di Cauchy (P C)8 < :(4 log xx)yy0 =2 y2x + y 22 y(1) = 1: Esercizio 163.(appel lo14luglio2014) Si determini l'integrale generale dell'equazione dierenziale (P C)8 < :y 0 =y cosxsinx2 sinx y(1) = 1: Esercizio 164.(appel lo18settembre2014) Sia data l'equazione dierenziale y0 =2 x+yx + 2y: i) Sono vericate le ipotesi del teorema di esistenza e unicita locale/globale? ii) Determinare il luogo dei punti a tangente orizzontale, il luogo dove le soluzioni sono crescenti o decrescenti edeventuali soluzioni costanti. iii) Trovare la soluzione che soddisfay(0) = 1 e determinare l'intervallo massimale di esistenza. Esercizio 165.(appel lo19febbraio2015) Sia dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =2 xsinx2 eyxe y y(1) = 0: i) Sono vericate le ipotesi del teorema di esistenza e unicita locale/globale? ii) Trovare la soluzione. Esercizio 166.(appel lo25febbraio2016) Si trovi l'integrale generale dell'equazione dierenziale y0 =y 4x32 yx: 27 Esercizio 167. (appel lo28giugno2016) Si trovi l'integrale generale dell'equazione dierenziale y0 = (1 +ex +y )e (x+y) : Esercizio 168.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =e x + 2xy3 x2 y(0) = 1: i) Vericare che il problema (P C) ammette una e una sola soluzione locale. ii) Trovare la soluzione locale del problema (P C), precisandone il suo intervallo di denizione. iii) Si tracci un graco qualitativo della soluzione massimale trovata. Esercizio 169.Dato il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =e 2 x (2x+ 2y+ 1)e 2 x + 3e3 y y(0) = 0: i) Vericare che il problema (P C) ammette una e una sola soluzione locale. ii) Scrivere l'equazione che denisce implicitamente la soluzione locale del problema (P C). Qual e il suo intervallo di denizione? iii) Rappresentare gracamente la soluzione massimale del problema (P C). Esercizio 170.Sia = (0;+1)(0;+1)R2 e sia!: !R denita da != (ex 2 y2 )dxxydy: e si consideri il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =e x 2 y2xy y(1) =: i) Individuare tutte le funzionig: (0;+1)!(0;+1) di classeC1 ((0;+1)) che rendono chiusa in la forma dierenziale e !(x; y) :=g(x)!(x; y): ii) Si determini, per ogni >0, la soluzione localey del problema ( P C). iii) Vericare che la soluzione massimale di (P C) e denita su (0;+1) se e solo sepe 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI Esercizio 171.Si consideri l'equazione dierenziale y00 + 2y0 3y= 4e2 x : i) Determinarne tutte le soluzioni. ii) Esistono soluzioni che si mantengono limitate in (0;+1)? iii) Quante e quali sono le soluzioni che si mantengono limitate in (1;0)? 28 Esercizio 172. Si consideri l'equazione dierenziale y00 + 4y=xex : i) Determinarne tutte le soluzioni. ii) Risolvere il problema di Cauchy relativo all'equazione dierenziale assegnata con condizioni inizialiy(0) = 0 e y0 (0) = 0. ii) Risolvere il problema di Cauchy relativo all'equazione dierenziale assegnata con condizioni inizialiy(0) = 0 e y0 (0) = 0. Esercizio 173.Si consideri l'equazione dierenziale y00 +y= cosx: i) Determinarne tutte le soluzioni. ii) Risolvere il problema di Cauchy relativo all'equazione dierenziale assegnata con condizioni inizialiy(0) = 0 e y0 (0) = 0. Esercizio 174.Si consideri l'equazione dierenziale y00 + 2y0 = sinx: i) Determinarne tutte le soluzioni. ii) Quante e quali sono le soluzioni periodiche? iii) Determinare la soluzione che inx= 0 ammette retta tangentey=x. iv) Qual e la soluzione del problema ai limitiy(0) = 0 ey 2  = 0. Esercizio 175.Si consideri l'equazione dierenziale y00 + 3y0 4y=e4 x + (2x+ 1)ex : i) Determinarne tutte le soluzioni. ii) Quante e quali sono le soluzioni limitate in (1;0]? Esercizio 176.Si consideri l'equazione dierenziale y00 ay0 + 4y= 0: i) Determinarne tutte le soluzioni al variare del parametro2R. ii) Determinare per quali valori del paraemtro2Rtutte le soluzioni risultano limitate in [0;+1). Esercizio 177.Determinare, al variare del parametro2R, l'integrale generale dell'equazione dierenziale y00 + (2)y0 2y= 5x: Esercizio 178.(appel lo3febbraio2014) Si consideri il problema ai limiti (P C)8 > < > :y 00 +y=x2 y(0) = 0 y(1) = 1: i) Risolverlo per= 4. ii) Il problema ammette un'unica soluzione per= 4? iii) Trovare un valore di2Rper il quale il problema non ammetta soluzione. 29 Esercizio 179. (appel lo20febbraio2014) Si consideri il problema ai limiti (P C)8 > < > :y 00 + 2y0 +2 y= 2 sinx y(0) = 0 y(1) = 1: i) Risolverlo per= 0 e per=1. ii) Stabilire se esiste un valore di2Rper il quale il problema non ammetta soluzione. Esercizio 180.(appel lo5settembre2014) Si consideri il problema (P C)8 > < > :y 00 2y0 +2 y=x y0 (0) = 0 y0 (1) = 1: i) Risolverlo per= 1. ii) Determinare per quali valori di2Ril problema ammette almeno una soluzione. SISTEMI DIFFERENZIALI LINEARI Esercizio 181.Risolvere i seguenti sistemi dierenziali lineari omogenei a)( x0 = 3x2y y0 = 2x2y; b)( x0 = 2x+y y0 =x+ 2y; c)( x0 = 3x+y y0 =x+y: Esercizio 182.(appel lo25luglio2017) Scriverel'integrale generale del sistema a)( x0 =2x+y y0 =x; per=2,=1 e= 0. STUDI QUALITATIVI DI EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizio 183.Sia data l'equazione dierenziale y0 =x 1 +1y  : Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 184.Sia data l'equazione dierenziale y0 = 4y(1y): Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 185.Sia data l'equazione dierenziale y0 =x3 (e2 y2 1): Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). 30 Esercizio 186. Si studi l'andamento delle soluzioni del seguente problema di Cauchy (P C)( y0 =ylog(y+ 1) y(0) =: al variare del del parametro >1. Esercizio 187.Sia data l'equazione dierenziale y0 =jyj(1y)x1 + x2: Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 188.(appel lo20febbraio2014) Sia data l'equazione dierenziale y0 =2 x2 y21 + y2y: i) Stabilire se vale il teorema di esistenza e unicita in piccolo e in grande. ii) Determinare le soluzioni crescenti. iii) Esistono soluzioniy=y(x) tali che lim x!+1y (x) = +1? iv) Esistono soluzioniy=y(x) tali che lim x!+1y (x) =1? iii) Esistono soluzioni che ammettono asintoti obliqui?iv) Tracciare un graco qualitativo di alcune soluzioni. Esercizio 189.(appel lo15luglio2014) Si consideri il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 = Thy1x 2 y(1) =: i) Per quali valori del parametro2Ril problema ha una e una sola soluzione? ii) Per quali valori del parametro2Rl'intervallo massimale e (0;+1)? iii) Esistono valori del parametro2Rper i quali la soluzione del problema ha asintoti orizzontali/verticali e/o obliqui? iv) Tracciare un graco qualitativo della soluzione per qualche valore di2R. Esercizio 190.(secondo compitino30gennaio2017) Si discuta il comportamento qualitativo del problema di Cauchy (P C)( y0 =x3 cospy y(0) = al variare del parametro2[0;+1). Esercizio 191.(appel lo24febbraio2017) Si discuta il comportamento qualitativo del problema di Cauchy (P C)( y0 =x3pj yj(y1)2 y(1) = al variare del parametro2R. 31 Esercizio 192. (appel lo6luglio2017) Sia data l'equazione dierenziale y0 =x 3 y31 + y2y: Si determinino tutte le possibili proprieta delle soluzioni (dominio, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, asintoti) e tracciare qualche graco qualitativo. Esercizio 193.(appel lo25luglio2017) Si consideri il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 = exp xyy 2 y(0) =: Al variare del parametro2Rsi determinino tutte le possibili proprieta delle soluzioni (dominio, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, asintoti) e tracciare qualche graco qualitativo. Esercizio 194.(secondo compitino23gennaio2018) Calcolare l'integrale generale e/o mediante studio qualitativo, si disegni il graco di alcune soluzioni diy0 = 1(yt)2 ; discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di denizione, punti di massimo e minimo, asintori: : :). Esercizio 195.(appel lo13febbraio2018) Si disegni il graco di alcune soluzioni di y0 =y(3y)ecos( x+y) ; discutendone le caratteristiche (intervallo massimale di denizione, punti di massimo e minimo, asintori: : :). Esercizio 196.(appel lo28giugno2018) Si studino i seguenti problemi di Cauchy (P C1)( y0 =xy2 y(0) = 0( P C2)( y0 =xy2 y(0) = 1 nel semipianox0. In particolare: i) Valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo/in grande? ii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono crescenti/decrescenti. iii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono concave/convesse. iv) Si determinino gli intervalli massimali di denizione delle soluzioni.v) Esistono asintoti verticali o orizzontali? vi) Si tracci il graco approssimato delle soluzioni. Esercizio 197.(appel lo19luglio2018) Si studi il seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 =1x + 1+ 1y y(0) = 1 nel semipianox0. In particolare: i) Valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo/in grande? ii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono crescenti/decrescenti. iii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono concave/convesse. iv) Si determini l'intervallo massimale di denizione delle soluzioni.v) Esistono asintoti verticali o orizzontali? vi) Si tracci il graco approssimato delle soluzioni. 32 Esercizio 198. (appel lo19luglio2018) Si studi il seguente problema di Cauchy (P C)( y0 = siny y(0) = dove2[; ]. In particolare: i) Valgono i teoremi di esistenza e unicita in piccolo/in grande? ii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono crescenti/decrescenti. iii) Si determinino le regioni dove le soluzioni sono concave/convesse. iv) Si determini l'intervallo massimale di denizione delle soluzioni.v) Esistono asintoti verticali o orizzontali? vi) Si tracci il graco approssimato delle soluzioni. Esercizio 199.Analizzare qualitativamente i graci delle soluzioni dei problemi di Cauchy (P C)( y0 =y2 xy y(0) = al variare del parametro2R. Esercizio 200.Sia data l'equazione dierenziale y0 =y3 ysiny: Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 201.Sia data l'equazione dierenziale y0 =xy1 + jxyj: Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 202.Sia data l'equazione dierenziale y0 = artg(y2 ): Descrivere qualitativamente i graci delle soluzioni dell'equazione dierenziale determinando tutte le possibili proprieta delle soluzioni (intervallo massimale di denizione, simmetrie, regioni di monotonia, eventuali massimi e minimi, concavita e convessita, asintoti). Esercizio 203.Si studi l'andamento delle soluzioni del seguente problema di Cauchy (P C)8 < :y 0 = artgy1x y(1) =: al variare del del parametro2R. 33