Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

How to Analisi II

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HOW TO ANALISI II Topologia in Punto interno x punto interno se un intorno di x contenuto in Punto esterno x punto esterno se un intorno di x contenuto in Punto di frontiera x punto di frontiera se un intorno di x che interseca sia che E chiuso E aperto Insieme aperto aperto se Insieme chiuso chiuso se aperto Insieme limitato limitato se un intorno di x contenuto in Insieme compatto compatto se da ogni sua copertura aperta è possibile estrarre una copertura finita Teorema di Heine-borel compatto chiuso e limitato Nomenclatura funzioni Dominio e segno Trovare il dominio Si applicano le condizione di esistenza delle funzioni a tratti e si risolve graficamente il sistema Insiemi di livello 1 Si esplicita la x o la y in e si disegnano le curve al variare di c 2 Si studiano le simmetrie di e si disegnano delle curve che seguono queste simmetrie Segno della funzione 1 Si pone , si separano i pezzi che si possono separare e si fa la tabella dei segni sul piano 
 ℝ n x∈ℝn∧E⊂ℝn ∃E∃Ec∃EEc⇒ ∂E∈E ⇒ ∂E∉E A⊂ℝn A={x∈ℝntale che |x−x0| non è il grafico della curva perché quello sarebbe in n+1 dimensioni, mentre questo è in n dimensioni Controllo curva (funzione continua) 1 2 Le componenti della funzione sono tutte continue Metodo di scrittura Curve piane in forma parametrica La forma cartesiana dalla parametrica si trova ponendo e , bisogna anche cambiare l'intervallo di esistenza Proprietà 1. continua se e solo se è continua su 2. è regolare se e solo se 3. è regolare a tratti se e solo se ma solo a tratti 4. non è mai chiusa 5. è sempre semplice Curve piane in forma polare Per l'inverso bisogna ricavare una costante moltiplicativa per cui sono moltiplicati e Proprietà 1. continua se e solo se è continua su 2. è regolare se e solo se e sia che non si annullano contemporamente 3. è chiusa se e solo se per qualche n intero Classificazione Curva chiusa Curva semplice 1 fatta eccezione degli estremi dell'intervallo, la curva può essere chiusa e semplice 2 Se una delle componenti della curva è strettamente crescente la curva è semplice Curva piana 1 2 3 4 costante r:I⊆ℝ→ ℝn I=[a,b] r(t)=(r1(t),r2(t),...,rn(t)) ri=I→ ℝ r(t)=r1x1+r2x2+...+rnxn γlimt→t0r(t)=r(t0) ∀t0∈[a,b] y=f(x)per x∈[a,b] → γ:{ x=t y=f(t) per t∈[a,b] x=x(t) y(t)=y(t(x)) x∈[x(a),x(b)] γfIγf∈C1(I) γf∈C0(I) f∈C1(I) γγρ=f(θ)per θ∈[θ1,θ2] → γ:{ x=f(θ)cos(θ) y=f(θ)sin(θ) per θ∈[θ1,θ2] f(θ) cos(θ) sin(θ) γfIγf∈C1(I) ff′γf(θ1)=f(θ2)∧θ2−θ1=2nπ r(a)=r(b) ∀t1,t2∈I t1≠t2⇒ r(t1)≠r(t2) ∃πtale che r(t)∈π∀t∈I ∃a,b,c,dtali che ax(t)+by(t)+cz(t)+d=0∀t∈I r(t)×r′(t)=0∀t B(t) 2Alessandro Marco Cesare Moneta Curva regolare 1 2 3 Tutte le componenti di derivabili e tali che -> se non è derivabile in alcuni punti può essere regolare a tratti Proprietà 1.Curva regolare curva rettificabile Curva rettificabile 1 2 rettificabile Trovare t dato un punto Dato per trovare t si risolve il sistema Lunghezza curva Proprietà 1. per una curva rettificabile a tratti o l'unione di due curve rettificabili Lunghezza grafico Valor medio lungo una curva Ascissa curvilinea Integrale di linea (prima specie) Terna intrinseca ∀t∈I∃tangente r(t)∈c1(I)∧r′(t)≠0∀t∈I r(t) |r′(t)|= x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2≠0 ⇒sup l(P)=l(γ) hanno stesso sostegno che viene percorso nello stesso verso -> hanno stesso sostegno che viene percorso con verso opposto Relazione s parametro qualsiasi ↔T′(t)=T′(s)s′(t)=T′(s)v(t) Curvatura 1 2 k(t)= |T′(t)| v(t) k(t)= |r′(t)×r′′(t)| |r′(t)|3 Torsione τ(s)=|B′(s)| Curvatura k(s)=|T′(s)| Equazioni di Frenet Misura il grado di scostamento di una curva dall'essere piana curva piana alta piano osculatore cambia velocemente T′(s)=k(s)N(s) B′(s)=−τ(s)N(s) B′(s)=0⇒ B′(s) ⇒N′(s)=τ(s)B(s)−k(s)N(s) Torsione τ(t)=−r′(t)×r′′(t)∙r′′′(t) |r′(t)×r′′(t)|2 r1:[a,b]→ ℝn r1=r1(t) con t∈[a,b] φ:[c,d]→ [a,b] φ=φ(u) con u∈[c,d] r2:[c,d]→ ℝn r2=r1(φ(u)) φ′>0⇒ φcrescente ⇒ curve equivalenti φ′0∃δ>0tale che |f(x)−f(x0)|0∀x∈U(x0) 7Alessandro Marco Cesare Moneta Derivata, Di fferenziale, Integrale Funzione di una variabile a valori vettoriali Derivata Tutte le componenti devono essere derivabili Proprietà 1. Integrale Tutte le componenti devono essere integrabili Proprietà 1.Se 2.Un'arco di curva continua è sempre integrabile 3. ℝ→ ℝm r′(t)= limh→0 r(t+h)−r(t) h =( r1(t+h)−r1(t) h ,...,rn(t+h)−rn(t) h ) r′(t)continua ⇒ r∈C1(I) ∫ b ar′(t)dt=(∫ b ar1(t)dt,...,∫ b arn(t)dt) r∈C1(I)⇒ ∫ b ar′(t)dt=r(b)−r(a) r(t)integrabile ⇒ |r(t)|integrabile 8Alessandro Marco Cesare Moneta Funzione di più variabili a valori scalari Derivata Controllo esistenza derivata parziale Se finito Controllo derivabilità nelle direzioni degli assi 1 Controllo l'esistenza delle n derivate parziali (a seconda del numero di variabili in ingresso della funzione) -> se esistono tutte si dice che la funzione è derivabile nel punto 2 differenziabile derivabile in tutte le direzioni 3 Controllo la derivabilità in tutte le direzioni Controllo derivabilità in qualsiasi direzione 1 Controllare se è un versore, se non lo è va normalizzato Se finito 2 differenziabile derivabile in tutte le direzioni 3 con punti critici per la di fferenziabilità Si restringe l'insieme in cui si sta controllando la derivabilità all'insieme con il punto critico e si studia la derivabilità es. con si guarda la derivabilità in NB Se il risultato si azzera per Calcolo della derivata parziale direzionale 1 Se è di fferenziabile allora 2 Si calcola con la definizione (con il limite del rapporto incrementale) 3 Si sostituiscono le coordinate cartesiane con le coordinate polari e si ottiene con Calcolo della derivata composta Controllo esistenza del gradiente Il gradiente esiste quando esistono le derivate parziali in tutte le direzioni devono esistere finiti i limiti di tutte le derivate parziali Calcolo del piano tangente Vettore ortogonale al piano : Calcolo della derivata seconda Teoremi simmetrica ha una base di autovalori reali Matrice Hessiana ℝn→ ℝ ∃fx(x0,y0)= limx→0 f(x,y0)−f(x0,y0) x−x0 =limt→0 f(x0+t,y0)−f(x0,y0) t f⇒ f v∃fv(x0,y0)=limt→0 f(x0+t⋅vx,y0+t⋅vy)−f(x0,y0) t f⇒ f |y|E:={(x,y)∈ℝ2:x=x0,y=0} v=0 ffv(x0,y0)=▿f(x0,y0)∙v fv(x0,y0)=g′(ρ) g(ρ)=f(x0+ρcosθ,y0+ρsinθ) d dxf(r(x))=▿f(r(x))∙r′(x) ⇒z=f(x0,y0)+∂f(x0,y0) ∂x (x−x0)+∂f(x0,y0) ∂y (y−y0) N=(−fX(x0,y0),−fY(x0,y0),1) fxx(x,y)=∂2f(x,y) ∂x2 fxy(x,y)=∂2f(x,y) ∂y∂x fyx(x,y)=∂2f(x,y) ∂x∂y fyy(x,y)=∂2f(x,y) ∂y2 f∈C2(A)⇒ fxy(x,y)=fyx(x,y)∧H(f(x)) ⇒H(f(x))∈M(n×n) H(f(x,y))= ∂2f(x,y) ∂x2 ∂2f(x,y) ∂y∂x ∂2f(x,y) ∂x∂y ∂2f(x,y) ∂y2 9Alessandro Marco Cesare Moneta h=[x1−x10,...,xn−xn0] |h|= (x1−x10)2+...+(xn−xn0)2 Restrizione della funzione ad una singola direzione g(t)=f(x+tv) La direzione dove la derivata direzionale è massima è quella di massima variazione del gradiente ⇒± ▿f(x0,y0) |▿f(x0,y0)| Derivata parziale rispetto a xDerivata parziale rispetto a y Differenziale Teoremi 1. differenziabile continua, derivabile in tutte le direzioni e 2. differenziabile in A Controllo di fferenziabilità 1 Se e allora è differenziabile 2 Se differenziabile in A 3 Se esistono le derivate parziali in tutte le direzioni e sono continue (tutte tranne una) differenziabile NB Il metodo con le derivate parziali è valido per un punto o per un intorno NB Se non è continua allora non è di fferenziabile NB Se allora non è di fferenziabile Calcolo del di fferenziale Primo Secondo Formula di Taylor Resto di Lagrange Resto di Peano 
 f(x0+hx,y0+hy)=f(x0,y0)+fX(x0,y0)⋅hx+fY(x0,y0)⋅hy+R(hx,hy)=f(x0,y0)+▿f(x)∙h+R(hx,hy) lim (hx,hy)→(0,0 ) R(hx,hy) h2x+h2y =0 f⇒ f ∂f ∂v=▿f(x)∙v f∈C1(A)⇒ f ∃▿f(x0) limx→x0 f(x)−f(x0)−▿f(x0)∙(x−x0) |x−x0| = lim (h,k)→(0,0 ) f(x0+h,y0+k)−f(x0,y0)−▿f(x0,y0)∙[h,k] h2+k2 =0 ff∈C1(A)con Aaperto ⇒ f ⇒ f f∄▿f(x0) fdf(x0,y0)=▿f(x0,y0)∙(dx,dy) d2f(x0,y0)= f(x+h)−f(x)=▿f(x)∙h+1 2 θ∈[0,1 ] f(x+h)−f(x)=▿f(x)∙h+1 2+o(|h|2) |h|→ 0 f(x+h)−f(x)=df(x)+1 2d2f(x)+o(|h|2) |h|→ 0 10Alessandro Marco Cesare Moneta Funzione di più variabili a valori vettoriali Derivate Matrice Jacobiana Calcolo della derivata composta Differenziale k-esima componente 
 ℝn→ ℝm J(f(x))∈M(m×n) J(f(x))= ∂f1(x) ∂x1 ∂f1(x) ∂x2 ... ∂f1(x) ∂xn ∂f2(x) ∂x1 ∂f2(x) ∂x2 ... ∂f2(x) ∂xn ... ... ... ... ∂fm(x) ∂x1 ... ... ∂fm(x) ∂xn = ▿f1(x) ▿f2(x) ... ▿fm(x) h(x)=f(r(x)) J(h(x))=J(f(r(x)))⋅J(r(x)) f(x+h)=f(x)+J(f(x))+o(|h|) fk(x+h)=fk(x)+▿fk(x)∙h+o(|h|) 11Alessandro Marco Cesare Moneta Ottimizzazione Libera Trovare i punti critici liberi 1 Teorema di Fermat Se è derivabile in e punto stazionario di massimo o minimo Studio della natura del punto critico 1 Test dell'hessiana Se simmetrica 1.1 Con autovalori (qualsiasi dimensione) Autovalori > 0 punto di minimo Autovalori < 0 punto di massimo Alcuni autovalori < 0 < altri autovalori punto di sella Almeno un autovalore nullo non possiamo conoscere la natura del punto tramite l'hessiana 1.2 Con determinante (dimensione 2) punto estremante (+ se punto di massimo) non si conosce la natura del punto tramite l'hessiana punto di sella 2 Studio del segno della funzione Se pongo serve A chiuso e limitato? -> utile per capire il segno della funzione in un punto in cui la funzione non ammette gradiente 3 Studio della simmetria della curva (dimensione 2) pari rispetto a y dispari rispetto a y pari rispetto a x dispari rispetto a x NB Se la funzione è composizione di due funzioni di cui quella più esterna è monotona crescente lo studio dei massimi e dei minimi si può fare sulla funzione interna es. ha stessi estremi di Controllo della relatività o assolutezza 1 Si calcolano i limiti agli estremi del dominio ( fissando o ) 2 Studio del segno della funzione in generale NB Bisogna controllare che la funzione sia continua e derivabile in tutto il dominio, se no potrebbero esserci degli asintoti verticali che intaccano massimi e minimi assoluti Vincolata Trovare i punti critici vincolati 1 Teorema dei moltiplicatori di Lagrange (es in dimensione 2) Si controlla la regolarità del vincolo : e Risolvendo il sistema si trovano i punti critici Si calcola la quota dei punti trovati e si capisce se sono massimi o minimi 2 Vincolo esplicitabile con funzione unica Esplicito rispetto a una variabile il vincolo (scegliendo quella che semplifica le operazione) e lo sostituisco nella Trovo una funzione in una variabile Pongo e trovo i valori di x per cui la funzione è massima o minima Questi valori di x li metto nella funzione del vincolo e trovo i punti che possono essere di massimo o di minimo (relativi o assoluti) -> considerando gli estremi del dominio del vincolo come eventuali punti di massimo o minimo Controllo le quote dei punti trovati per capire quali sono di massimo e quali di minimo (relativi o assoluti) NB Bisogna controllare i limiti agli estremi del dominio e che la funzione sia continua e derivabile in tutto il dominio, se no potrebbero esserci degli asintoti verticali che intaccano massimi e minimi assoluti fx0▿f(x0)=0⇒ x0 f∈C2(A)⇒ Hf(x0) ⇒ x0 ⇒ x0 ⇒ x0 ⇒det(Hf(x0))>0⇒ x0 fxx(x0,y0)>0⇒ det(Hf(x0))=0⇒ det(Hf(x0))0converge x=0converge (0) x1converge α≤1diverge ∞ ∑n=0 1 2n=2 converge ∞ ∑n=0 1 lnx(n) diverge ∀x ∞ ∑n=1 1 nα⋅lnβ(n) β≤1β>1 00 |f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|y1−y2|∀(x,y1),(x,y2)∈[a,b]×ℝ ∀(x0,y0)∈[a,b]×ℝ Ix0f∈Cn y(t)∈Cn+1 I=(Tmin,Tmax) Tmin,Tmax∈ℝ∪{±∞} f:Ω⊂[a,b]×ℝ→ ℝ fΩfyff∈C1 ∃h,k∈ℝ |f(t,y)|≤h+k|y|∀(x,y)∈Ω ⇒ f yy→ ±∞ f(x,y) Ω∃M >0 |f(x,y)|≤M ∀(x,y)∈Ω fy(x,y) Ωf(x,0) [a,b] ∀(x0,y0)∈[a,b]×ℝ [a,b] Asse yAsse xLe soluzioni sono simmetriche rispetto all'asse x se è comunque soluzione y=−y(x) Le soluzioni sono simmetriche rispetto all'asse y se è comunque soluzione y=y(−x) y′=0 y′≥0⇒ f(x,y)≥0 y′′=0 y′′≥0⇒ fx(x,y)+y′⋅fy(x,y)≥0 Asintoto orizzontaleAsintoto verticale1 Si trovano studiando le condizioni di esistenza della soluzione calcolata con i metodi soliti delle equazioni di fferenziali 2 Si trovano maggiorando l'equazione di fferenziale con un'altra che ha asintoto verticale 1.L'asintoto esiste se 2.Cerco per quali valori di è verificato il limite 3.I valori per cui è verificato questo limite sono gli asintoti orizzontali Il candidato asintoto orizzontale si può interpretare anche guardando la monotonialimx→∞y(x)=l llimx→∞y′(x)= limx→∞f(x,l)=0 y=l 24Alessandro Marco Cesare Moneta 8.Soluzione locale PROLUNGABILITA' DELLE SOLUZIONI? Si può fare uno studio asintotico della soluzione nell'intorno di un dato trovando la soluzione definita a meno di un 9.Insieme massimale Si può Stabilità Sistemi lineari bidimensionali 1.Costruisco la matrice dei coe fficienti 2.Calcolo gli autovalori di e li studio Asintoto obliquoCondizione necessaria 1 Limite 1.L'asintoto esiste se 2.Cerco per quali valori di è verificato il limite 3.I valori per cui è verificato questo limite sono gli asintoti obliqui 2 Maggiorazione Cerco una maggiorazione di tale che ammetta asintoto Condizione su fficiente = e ffettivo controllo Trovo il candidato asintoto obliquo dalla monotonia Ottengo e cerco se è verificato il limite eventualmente studiando la convergenza dell'integrale di Volterra limx→∞y(x)=mx+q mx+q limx→∞y′(x)= limx→∞f(x,mx+q)=m y=mx+q f(x,y) limx→±∞y(x)=m⋅x limx→±∞y′(x)=m y(x)=y0+∫ ±∞ 0 f(t,y(t))dt→y(x)−m⋅x=y0+∫ ±∞ 0 [y′(t)−m]dt ϕ(x)=f(x)+o(xn) o(x) { x′=a11⋅x+a12⋅y y′=a21⋅x+a22⋅y A=[ a11 a12 a21 a22] AP(λ)=λ2−tr(A)⋅λ+|A|=0 Δ=tr(A)2−4|A| Nodo instabile a due tangenti individuate dagli autovettori Le curve stanno più vicino all'autovettore relativo all'autovalore minore in moduloNodo stabile a due tangenti individuate dagli autovettori Le curve stanno più vicino all'autovettore relativo all'autovalore minore in moduloColle a due varietà lineari (stabile e instabile) a due tangenti individuate dagli autovettoriUn autovalore nulloRette parallele all'autovettore individuato dall'altro autovaloreNodo a stella instabileNodo a stella stabileNodo instabile a una tangente individuata dall'autovettoreNodo stabile a una tangente individuata dall'autovettoreFuoco instabileCentroAutovalori reali coincidenti Δ=0 Parte reale positiva Re(λ)>0 Discordi λ1