Mathematical Engineering - Analisa Matematica II

Disuguaglianza di Gronwall

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1. La disuguaglianza di Gronwall in forma differenziale Lemma.Siaf: (a; b)A!RN una funzione continua, lipschitziana rispetto al la seconda variabile, uniformemente rispetto al la prima. Sianoc 1; c 22 A,t 02 (a; b) e sianoy 1; y 2: ( a; b)!Ale soluzioni dei problemi di Cauchy (i= 1;2) y0 i= f(t; y i) yi( t 0) = c i; al lorajy 1( t)y 2( t)j eC jtt 0j jc 1 c 2j per ognit2(a; b), doveCè la costante di Lipschitz dif. Dimostrazione.Data una curva derivabilex: (a; b)!RN , la funzionejx(t)jè derivabile per ognit2(a; b)tale chex(t)6 = 0e (ricordando che la disuguaglianza triangolare implicajjaj jbjj  jabj)    ddt j x(t)j   =   lim h!0j x(t+h)j jx(t)jh     lim h!0   x (t+h)x(t)h    = jx0 (t)j: Sec 1= c 2, allora y 1( t) =y 2( t)per il teorema di esistenza e unicità, quindi non c'è nulla da dimostrare. Altrimenti, ancora per il teorema di esistenza e unicità, y1( t)6 =y 2( t)per ognit2(a; b)da cui segue    ddt j y 1( t)y 2( t)j    j y0 2( t)y0 2( t)j=jf(t; y 1( t))f(t; y 2( t))j Cjy 1( t)y 2( t)j: Siaa(t) =jy 1( t)y 2( t)j. Allora C a(t)a0 (t)C a(t); e poichéddt e C t a(t)
=e C t (C a(t) +a0 (t)) ne segue cheddt e C t a(t)
0; quindie C t a(t)è una funzione decrescente, mentreeC t a(t)è una funzione crescente. Per ognit2[t 0; b )abbiamo e C t 0 a(t 0) e C t a(t); quindia(t)eC (tt 0) a(t 0) ; mentre per ognit2(a; t 0] abbiamo eC t 0 a(t 0) eC t a(t); quindia(t)e C(tt 0) a(t 0) = jc 1 c 2j : Ricordando chea(t 0) = jc 1 c 2j , segue la tesi.  1