Mathematical Engineering - Elettrotecnica

Full exam

T.E. del 5 febbraio 2018.Risultati Autore: Dino Ghilardi7 febbraio 2018 1 0.1 E1, T.E. del 05-02-2018, prof D’Amore 0.1.1 Testo 0.1.2 Soluzione Punto 1: calcolo dell’induttanza.Riluttanza di un tronco: RT=l μS =10 − 1 m 10− 4 m2 ∙10− 3H m= 10 − ∙104 ∙103 = 10− 6 H− 1 Riluttanza del traferro (in olio) Rδ=l traf erro μ olioS= ✁2 ∙10− 3 m ✁4 2∙ 10− 6H m∙ 10− 4 m2= 5 ∙106 H− 1 Riluttanza totale (approssimandol−2mmcon l si ha un errore delE% =100 −98 100∙ 100% = 2%, quindi ampiamente accettabile): Rtot= 4 ∙R T+ R δ= 9 ∙106 H− 1 Induttanza ai morsetti AB L=N 2 R tot= 900 9 ∙106 H− 1⇒ L = 100μH Punto 2: Calcolo dello sfasamento.Le impedenze di condensatore ed induttore saranno zC=1 j ωC =1 j ∙104 ∙100∙10− 6= −j zC= j ωL=j∙104 ∙100∙10− 6 =j La tensione ai capi del ramo resistore-condensatore sarà uguale a quella ai capi del ramo resistore- induttore, quindi possiamo, con i diagrammi dei fasori, ottenere le fasi relative. ChiamiamoR Lil resistore in serie all’induttore eR Cil resistore in serie al condensatore. Consideriamo il ramo con il condensatore, iniziamo a tracciare il fasore della corrente nel conden- satore orizzontale.Tracciamo poi il fasore della tensione sul condensatore, ilquale sarà a 90° (verso il basso) Tracciamo il fasore della tensione sul resistore in serie alcondensatore (che sarà parallela ad I C 2 Tracciamo ora la somma delle tensioni su condensatore e resistore, che sarà pari alla tensione V ai capi della serie RC. ICI RC VCV RL V= Tracciamo quindi, su un altro diagramma dei fasori, la corre nte nell’induttore orizzontale Tracciamo la tensione sull’induttore, a 90° rispetto ad IL(verso l’alto) Tracciamo la tensione sul resistore in serie ad L (sovrapposta ad I L) Tracciamo la somma di VLed V RLottenendo, ancora una volta V. V L VRLV IL=I RL La tensione V però su questo diagramma non sarà orientata come nel diagramma precedente, visto che abbiamo assunto come riferimento per i due diagrammi due fasori diversi ( I Cper il primo edI Lper il secondo). Ruotando entrambi i diagrammi fino a sovrapporre la tensione Vche compare in entrambi, possiamo ottenere tutte le relazioni di fase ed ottenere immediatamente che I CI RC VCV RL V= VL VRLV IL=I RL ICI RC VCV RL V VRL = δφ= 0 3 0.2 E2, T.E. del 05-02-2018, prof D’Amore 0.2.1 testo 0.2.2 Soluzione Carattristica ai morsetti AB e punto di lavoro. 4 parallelo-2 2 -1 1 serie vR iBi Bi B v B -11 2 -1 -2 1 2 -1 -2A v iDv i v Come punto di lavoro otteniamo quindi P L= (1 A,2V) Leggendo a ritroso i grafici otteniamo inoltre vB= 1 V;i B= 1 A Per il resistore R1 otteniamo vR1= 1 V;i B= 1 A, quindi PR= 1 V∙1A= 1W 5 0.3 E3, T.E. del 05-02-2018, prof D’Amore 0.3.1 testo 0.3.2 Soluzione Per discutere la stabililtà del circuito iniziamo con il calcolare la costante di tempo. Costante di tempoUtilizziamo un generatore di sonda ottenendo: Req=v S is= 5 Ω Da cui otteniamo un valore della costante di tempo di: τ=L R= 5 mΩ 5Ω⇒ τ = 1ms Stabilità:Dato che la costante di tempo esiste ed è positiva la rete del primo ordine èasintoti- camente stabile. Calcolo diI L( t): Valore inizialePer il calcolo del valore iniziale consideriamo la rete con inter- ruttore aperto e calcoliamo il valore asintotico del transitorio di apertura. EssendoI Lla variabile di stato sarà continua, quindi il valore “finale” del transitorio precedente sarà uguale al valore iniziale del nuovo transitorio. IL0=E R 2= 20 V 20Ω⇒ I L0= 1 A Calcolo diI L( t): Valore asintotico.Consideriamo la rete ad interruttore chiuso, sostituendo l’induttore con un corto circuito Per la LKT alla maglia di destra comprendente il generatore di tensione,R 2e l’induttore, la tensione suR 2è pari a 20V, quindi i X= 1 A. 6 ix ix 2A20V 5Ω20V =1A 1A 00 =1A 20Ω -2A OtteniamoIL∞= −2A IL( t): Espressione analitica iL( t) =I ∞+ ( I 0− I ∞) e− t τ =−2 + (2 + 1)e− t 1 ms ⇒ iL( t) =−2 + 3e− t 1 ms Andamento della tensione sull’induttore vL( t) =Ldi L dt= 5 ∙10− 3 ∙31 10 − 3e− t 1 ms =−15e− t τ [V] Corrente nel resistoreEssendo, ad interruttore chiuso, il resistore in paralleloall’induttore, per la legge di Ohm sul resistore avremo iR=v L( t) R= − 15e− t τ [V] 5Ω⇒ i R= −3e− t 1 ms [A] Oppure, per la LKC al nodo a cui giungono i resistori, l’induttore ed il generatore di corrente iR= −2A−i x+ i x− i L= −i L− 2A= +2−3e− t 1 ms + 2⇒ i R= −3e− t 1 ms [A] Grafici: v L iR i L -15V1ms -3A1mst t 1A 1ms -2At 7 Energia immagazzinata nell’induttore.EL=1 2LI 2 L⇒ E L∞=1 2L ∙I2 L∞=1 2∙ 5mH∙4A2 ⇒E L∞= 10 mJ