Mathematical Engineering - Elettrotecnica

How to Electtrotecnica

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Elettrotecnica Teoremi e leggi base 3 Teoremi di Thevenin e Norton 4 I. Teorema di Thevenin 4 Componenti 5 I. Relazione costitutiva 5 II. Trasformazioni 5 V. Amplificatore operazionale 6 III. Generatori pilotati 7 IV. Diodo ideale 7 VI. Doppi bipoli 8 VI. Componenti dinamici 9 VII. Curve caratteristiche 10 IIX. Caratterizzazioni dei componenti 10 Analisi nodale 11 I. Forma matriciale 11 Circuito del primo ordine 13 I. Algoritmo per trovare 13 II. Doppio transitorio 14 Circuito del secondo ordine 15 I. Metodo delle equazioni di stato per trovare 15 Fasori 17 I. Risposta ad un ingresso sinusoidale 17 II. Circuiti del primo ordine con interruttore con fasori 17 III. Componenti 18 Potenza 19 I. Formule potenza 19 II. Teorema di Bucherot 19 III. Massimo trasferimento di potenza 19 IV. Energia 20 V. Rifasamento 20 Trasformatori 21 I. Trasformatore ideale 21 II. Rete di adattamento 22 Circuiti magnetici 23 I. Induttori mutuamente accoppiati 24 1Alessandro Marco Cesare Moneta Risposta in frequenza 25 I. Funzioni di rete 25 II. Risposta in ampiezza e in fase 25 III. Risonanza 26 IV. Filtri base 26 Appendice 27 I. Macchine rotanti lineari 27 II. Motore 27 III. Generatore 27 IV. Grafici del secondo ordine 282Alessandro Marco Cesare Moneta Teoremi e leggi base Leggi di Kirchhoff Corrente La somma algebrica (entranti e uscenti hanno segni diversi) delle correnti in un nodo è nulla Tensione La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla Teorema di Tellegen La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante Teorema di sostituzione Prese due reti qualsiasi collegate tra loro è possibile sostituire ad una delle due un generatore ad essa equivalente (a seconda della controllabilità) Sostituzioni: Controllabile in tensione e corrente generatore di tensione o generatore di corrente Controllabile in corrente generatore di corrente Controllabile in tensione generatore di tensione Principio di sovrapposizione In un circuito resistivo lineare qualunque tensione o corrente è la somma degli effetti dei singoli generatori indipendenti quando agiscono uno alla volta Sostituzioni (metodo di spegnimento): Generatore di tensione cortocircuito Generatore di corrente circuito aperto Generatori controllati rimangono invariati Convenzione dei segni di un bipolo Partitore di tensione Maglia singola con tutte le resistenze in serie Partitore di corrente Tutte le resistenze in parallelo con il generatore di corrente 
 LKC:n ∑k=1ik=0 LKT:n ∑k=1vk=0 n ∑k=1vk⋅ik=0 ⇒⇒⇒→→→vk= Rk Rtot⋅v ik= Gk Gtot⋅i= ∏Ri ∑Ri⋅1 Rk⋅i 3Alessandro Marco Cesare Monetap>0assorbita p0erogata pR1 Amplificatore non invertente vout=vin(1+R2R1) 6Alessandro Marco Cesare MonetaAmplificatore operazionale reale, per quello ideale non esiste relazione tra i due potenziali III. Generatori pilotati IV. Diodo ideale Componente elettronico passivo non lineare a due terminali la cui funzione è quella di permettere il flusso di corrente elettronica solo in un verso Polarizzazione diretta : la corrente fluisce nel verso convenzionalmente positivo quindi il diodo conduce Polarizzazione inversa : la corrente fluisce nel verso convenzionalmente negativo quindi il diodo non conduce Current controlled current source è il guadagno in corrente ed è adimensionalei=β⋅i1 βVoltage controlled voltage source è il guadagno in tensione ed è adimensionalev=α⋅v1 αCurrent controlled voltage source è la trans resistenzav=rm⋅i1 rmVoltage controlled current source è la trans conduttanzai=gm⋅v1 gm7Alessandro Marco Cesare Monetai(t)v(t) VI. Doppi bipoli Relazioni costitutiveModellizzazione di un doppio bipolo Con generatori controllati Controllabilità in tensione generatore pilotato di tensione Controllabilità in corrente generatore pilotato di corrente Termine aggiuntivo di tensione generatore indipendente di tensione in serie Termine aggiuntivo di corrente generatore indipendente di corrente in parallelo Resistenza in serie = valore moltiplicato per una corrente uguagliato ad una tensione Resistenza in parallelo (conduttanza) = valore moltiplicato per una tensione uguagliato ad una corrente Formulazione R Formulazione G Formulazione H Formulazione H' Con generatori indipendenti La formulazione con modello a T o a (con resistori e generatori indipendenti) per un doppio bipolo esiste se la matrice della formulazione (R o G) è simmetrica Doppi bipoli reciproci Si dicono reciproci bipoli che hanno i termini sulla diagonale secondaria delle formulazioni G e R uguali, quindi se le matrici sono simmetrich Potenza NB Attenzione alle convenzioni di utilizzatore e generatore es. Se attaccati ci sono due generatori allora la potenza assorbita dal doppio bipolo è uguale alla potenza generata da questi due, se invece sono attaccati un generatore e un componente resistivo allora la potenza assorbita dal doppio bipolo è la potenza generata dal generatore meno la potenza assorbita dal componente resistivo Connessione in cascata Si può trovare la matrice di trasmissione dal primo ingresso all'ultima uscita es. F(v,i)=0 { f1(v1,v2,i1,i2)=0 f2(v1,v2,i1,i2)=0 Mv+Ni+h=0 H:[ V1I2]=[ h11 h12 h21 h22][ I1V2]+[ E1A2] Matrice delle resistenze Matrice delle conduttanze Matrice ibrida 1 Matrice ibrida 2 Matrice di trasmissione diretta Matrice di trasmissione inversa Le grandezze forzanti sono quelle a destra(v1,v2)←(i1,i2):R (i1,i2)←(v1,v2):G (v1,i2)←(i1,v2):H (i1,v2)←(v1,i2):H′ (v1,i1)←(v2,−i2):T (v2,−i2)←(v1,i1):T′ →→→→ΠR=[ RA+RC RC RC RB+RC] G =[ GA+GC −GC −GC GB+GC] Ptot=Pporta1+Pporta2=i1v1+i2v2 8Alessandro Marco Cesare Monetai1v1i2v2T1T2T3→TtotTtot=T1⋅T2⋅T3 g22g21v1g12v2g11A2h22h21i1h12v2h11E1A2h′11h′12i2h′21v1h′22E2A1r22r21i1r12i2r11E1E2A1A1A2GCGAGBE1E2RARBRC Cambio di formulazione Si possono usare queste formule oppure semplicemente esplicitare le grandezze richieste dalla formulazione Esistenza della formulazione 1.Scrivo in forma di sistema la formulazione e porto a sinistra tutti i termini con incognite 2.Costruisco una matrice dei coefficienti dei termini di cui devo scrivere la formulazione (i termini a sinistra, quindi se ) 3.Non esiste la formulazione se la matrice ha determinante nullo, se ha determinante diverso da zero esiste unica es 1.27 Metodo delle prove semplici Procedimento risolutivo usato per trovare la formulazione di un circuito generico avente due bipoli eventualmente non lineari collegati tramite una rete lineare Algoritmo per trovare le equazioni di stato di un doppio bipolo generico 1.Si sceglie cosa forzare ai capi della rete lineare (due generatori di tensione, due di corrente o uno e uno). 2.Si calcolano separatamente i tre effetti: • Rete accesa con circuito aperto (generatore di corrente) o cortocircuito (generatore di tensione) ai lati - per trovare le costanti da sommare • Rete spenta con un generatore su uno dei due lati e l'altro con sostituto - per trovare i termini a sinistra della matrice (11 e 21) • Rete spenta con un generatore sull'altro lato e l'altro con sostituto - per trovare i termini a destra della matrice (12 e 22) 3.Si sommano i tre effetti per il principio di sovrapposizione e si trovano le due equazioni cercate. Algoritmo per trovare la formulazione T di un doppio bipolo 1.Si collega un amplificatore operazionale al doppio bipolo 2.Si pone in serie un generatore di tensione alla porta superiore A.Si risolve il circuito così composto trovando e in funzione di con dato dall'op amp B.Si ricavano e 3.Si pone in parallelo un generatore di corrente A.Si risolve il circuito così composto trovando e in funzione di con dato dall'op amp B.Si ricavano e VI. Componenti dinamici v1ei2 (v1,i2)← (i1,v2) v1i1v2i2=0 t11 =v1v2i2=0 t21 = i1v2i2=0 v1i1i2v2=0 t12 =i1i2v2=0 t22 =v1i2 v2=0 Condensatore Se è costante si può sostituire con un circuito aperto i(t)=C⋅dv(t) dt q=Cv v(t)=v(t0)+1 C∫ t t0 i(t)dt Ec=1 2Cv2 vIn serie : In parallelo : Leq= n ∑k=1Lk 1 Leq= n ∑k=1 1 Lk Induttore Se è costante si può sostituire con un cortocircuito v(t)=L⋅di(t) dt ϕ=Li i(t)=i(t0)+1 L∫ t t0 v(t)dt El=1 2Li2 iIn serie : In parallelo : 1 Ceq= n ∑k=1 1 Ck Ceq= n ∑k=1Ck 9Alessandro Marco Cesare MonetaLa condizione iniziale t 0 può essere nulla anche se diversa da 0v2i2 VII. Curve caratteristiche Le curve caratteristiche sono funzioni che esprimono la relazione tra tensione e corrente per un dipolo. Cambio di convenzione Cambiare verso alla corrente significa fare una simmetria rispetto all'asse della tensione Cambiare verso alla tensione significa fare una simmetria rispetto all'asse della corrente Algoritmo per la composizione 1.Prendere tutti i componenti con tensione e corrente concordi a quella richiesta e scriverne i giusti grafici delle caratteristiche 2.Se i componenti sono in serie si sommano le tensioni a parità di corrente, mentre se sono in parallelo si sommano le correnti a parità di tensione 3.Calcolare il punto di lavoro, punto di funzionamento di due pezzi del circuito, graficamente sovrapponendo le caratteristiche trovate: il punto in cui si intersecano dice qual è il valore di funzionamento NB Il punto di lavoro si calcola con la convenzione del generatore sul generatore e la convenzione data sul bipolo (generalmente è quella dell'utilizzatore) 4.Per ricavare i valori specifici di tensione e corrente che hanno alcuni bipoli al punto di lavoro si torna indietro guardando i grafici ed eventualmente facendo delle LKC o LKT per ricavare alcune grandezze IIX. Caratterizzazioni dei componenti Componente lineare Un componente si dice lineare se la sua curva caratteristica è una retta Componente attivo o passivo Componente passivo : la sua curva caratteristica passa solo per il primo e il terzo quadrante (utilizzando la convenzione degli utilizzatori) Componente attivo : la sua curva caratteristica passa anche in un solo punto per il secondo o quarto quadrante (utilizzando la convenzione degli utilizzatori) Componente controllabile in tensione o corrente Un componente si dice controllabile in tensione quando la sua curva caratteristica è iniettiva rispetto alla tensione (utilizzando la convenzione degli utilizzatori) = non ci sono più valori di corrente associati ad una stessa tensione (esso ammette una e una sola corrente per ogni valore di tensione) Un componente si dice controllabile in corrente quando la sua curva caratteristica è iniettiva rispetto alla corrente (utilizzando la convenzione degli utilizzatori) = non ci sono più valori di tensione associati ad una stessa corrente (esso ammette una e una sola tensione per ogni valore di corrente)
Diodo Convenzione degli utilizzatori Resistore Convenzione degli utilizzatori v=Ri Generatore di corrente Convenzione dei generatori i=A Generatore di tensione Convenzione dei generatori v=E 10Alessandro Marco Cesare MonetaparalleloserieviviviviviviAAPPviviviControllabile in corrente e tensioneControllabile in tensionei=g(v) Controllabile in correntev=r(i) Analisi nodale Procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, utile per determinare tutti i potenziali ai nodi di un circuito I. Forma matricialeAlgoritmo base non modificato 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Applicare la LKC a tutti i nodi, tranne quello di riferimento. 3.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo (i potenziali di nodo). 4.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con generatori indipendenti 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento (sia normali che pilotati). Ogni supernodo ingloba anche i due nodi ai quali è connesso il generatore. 3.Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo quello di riferimento, e quelli connessi al riferimento solo tramite un generatore di tensione (sia normale che controllato). 4.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo (non di supernodo). Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione. 5.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con amplificatori operazionali 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento. 3.Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo: •Il nodo di riferimento •I nodi connessi al riferimento tramite un generatore di tensione •I nodi in uscita dagli amplificatori operazionali 4.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo. Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione e dagli amplificatori operazionali. 5.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con principio di sovrapposizione 1.Inserire un generatore alla volta con gli altri spenti e ricavare la grandezza desiderata: •Generatore di tensione cortocircuito •Generatore di corrente circuito aperto •Generatori controllati rimangono invariati 2.Sommare algebricamente i risultati ottenuti al punto 1.→→→11Alessandro Marco Cesare Moneta Algoritmo di analisi nodale modificata con generatori pilotati La matrice sarà non simmetrica12Alessandro Marco Cesare Moneta Circuito del primo ordine I. Algoritmo per trovare 1.Scrivere le condizioni di apertura o chiusura degli interruttori a seconda del tempo 2.Condizione iniziale Si calcola il valore della grandezza analizzando il circuito in regime costante, con la topologia del tempo sostituendo: Condensatore circuito aperto Induttore cortocircuito 3.Soluzione asintotica Si calcola il valore della grandezza analizzando il circuito in regime costante con la topologia del tempo sostituendo: Condensatore circuito aperto Induttore cortocircuito 4.Resistenza equivalente A.Si calcola la resistenza del circuito ai morsetti lasciati liberi dal componente spegnendo i generatori indipendenti B.Si calcola la resistenza del circuito amplificatori operazionali o generatori pilotati sfruttando il metodo del generatore di sonda/arbitrario: si spengono i generatori indipendenti e si prende la convenzione del generatore per il generatore di sonda Condensatore generatore indipendente di tensione di valore Induttore generatore indipendente di corrente di valore 5.Stabilità 6.Se il sistema è asintoticamente stabile la soluzione cercata è: 7.Grafico A.Si segna la condizione iniziale per avere il punto di partenza B.Si segna la condizione finale per avere l'asintoto per C.Si guarda i segni della funzione per capire l'andamento NB Solo i grafici della tensione del condensatore e della corrente nell'induttore sono continui 8. Il cambio da a si fa sfruttando le relazioni dei componenti dinamici, quindi derivando o integrando 9.Energia A.Immagazzinata per B.Massima accumulata (per la minima accumulata si fa il contrario) con è massimo con è massimo dx(t) dt +1 τx(t)=u(t) x(t) x(t0) t−0→→x(∞) t=∞ →→→vC(t) →iL(t) Asintoticamente stabileInstabileReq≤0 τ≤0 Req>0 τ>0 x(t)=[x(t0)−x(∞)]⋅e−t−t0τ +x(∞) Circuito RC : Circuito RL : τ=RC τ=L R t→ ∞ v(t)↔ i(t) v(t) i(t)t→ ∞ E=1 2L(iL(∞)2−iL(0)2) E=1 2C(vC(∞)2−vC(0)2) E=1 2LiL(t)2 t=ttale che |iL(t)| E=1 2CvC(t)2 t=ttale che |vC(t)| Forma della soluzione particolareIngresso a rampa u(t)=u0+u(t−t0) xp(t)=xp0+xp(t−t0) Ingresso sinusoidale -> si ha un transitorio più una risposta permanente sinusoidaleu(t)=A⋅cos(ωt+ϕ) xp(t)=A0⋅cos(ωt)+A1⋅sin(ωt) Ingresso costante costante costante u(t)= xp=13Alessandro Marco Cesare MonetaOrdine di un circuito numero di elementi dinamici numero di maglie costituite solo da condensatori e generatori indipendenti di tensione numero di linee che tagliano solo induttori o generatori indipendenti di corrente n=nd−nc−nl ndncnlete−t−e−t−et II. Doppio transitorio Caso 1Caso 2Grafico risultante Metodo per il calcolo Si calcola la condizione iniziale al tempo (prima dell'inizio del primo transitorio) e poi si calcola la condizione iniziale al tempo facendo l'integrale della grandezza del componente dinamico l'inizio del grafico di è una retta (o comunque una funzione dettata dall'integrazione ) t0t1x(t) iL(t1)=iL(t0)+∫ t1 t0 vL(t) L dt vC(t1)=vC(t0)+∫ t1 t0 iC(t) C dt ⇒x(t) Il circuito presenta un primo transitorio tale da non poter calcolare il valore della grandezza per , perché non è asintoticamente stabile. Si ha . x(t) t→ ∞ t≤0∧Req≤0 Metodo per il calcolo Si calcola la formula del transitorio come se non ci fosse la variazione successiva (quindi il valore per è quello con la topologia del primo transitorio). Trovata la formula per la grandezza si calcola il valore che ha nell'istante di inizio del transitorio successivo (quindi ). NB Non per forza il grafico raggiunge l'asintoto nel momento di cambio del transitorio NB In un doppio transitorio bisogna stare attenti ai punti di cambio del transitorio, quindi si calcolano i valori dei grafici in quei punti NB Solo i grafici della tensione del condensatore e della corrente nell'induttore sono continuit→ ∞ x(t) tx(t) Il circuito presenta un primo transitorio tale da poter calcolare il valore della grandezza per , perché è asintoticamente stabile. x(t) t→ ∞ Grafico risultante 14Alessandro Marco Cesare Moneta Circuito del secondo ordine I. Metodo delle equazioni di stato per trovare Algoritmo 1.Trovare le equazioni di stato: A.Sostituire ogni condensatore con un generatore indipendente di tensione di valore e ogni induttore con un generatore indipendente di corrente di valore con la topologia del circuito al tempo utilizzando la stessa convenzione degli utilizzatori di condensatore e induttore. NB Le condizioni iniziali si possono trovare solo se c'è un interruttore (o un cambiamento) altrimenti vengono date B.Studiare il circuito resistivo ottenuto al punto A ricavando la corrente in ciascun condensatore e la tensione ai capi di ciascun induttore (vanno trovati in funzione di e ). C.Sostituire le espressioni ottenute al punto B nelle relazioni e . 2.Calcolare traccia e determinante per ricavare e : Frequenze naturali: 3.Stabilità 4.La soluzione cercata è: d2x(t) dt2 +2αdx(t) dt +ω20x(t)=u(t) x(t) { ·x1=a11⋅x1+a12⋅x2+u1 ·x2=a21⋅x1+a22⋅x2+u2 ··x1−T·x1+Δx1=u(t) vCiLt+0iCvLvCiL·vC= 1 CiC ·iL=1 LvL αω0α=−T 2 ω0= Δ s1,s2=−α± α2−ω20→ s1,s2=−α±j ω20−α2 Asintoticamente stabileInstabileT≥0 T0 Caso sovrasmorzatoCaso con smorzamento criticoCaso sottosmorzatoCaso senza smorzamento x(t)=A1⋅es1t+A2⋅es2t+x(∞) s1,s2=−α± α2−ω20 α=ω0 x(t)=[A1⋅cos(βt)+A2⋅sin(βt)]⋅e−αt+x(∞) β= ω20−α2 s1,s2=−α±jβ=−α±j ω20−α2 x(t)=A⋅e−αt⋅cos(βt+ϕ)+x(∞) A= A21+A22 ϕ=−arctan ( A2A1) α>ω0 α=0 x(t)=(A1⋅t+A2)⋅e−αt+x(∞) s1=s2=−α α0 Im[X] θ=arg(X)=arctan ( Im[X] Re[X])+180 ∘ Re[X]