Mathematical Engineering - Elettrotecnica

How to Electtrotecnica - v2

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HOW TO ELETTROTECNICA Teoremi e leggi Leggi di Kirchhoff Corrente La somma algebrica (entranti e uscenti hanno segni diversi) delle correnti in un nodo è nulla Tensione La somma algebrica delle tensioni in una maglia è nulla Teorema di Tellegen La somma algebrica delle potenze assorbite da tutti gli elementi di un circuito è nulla in ogni istante Teorema di sostituzione Prese due reti qualsiasi collegate tra loro è possibile sostituire ad una delle due un generatore ad essa equivalente (a seconda della controllabilità) Sostituzioni: Controllabile in tensione e corrente generatore di tensione o generatore di corrente Controllabile in corrente generatore di corrente Controllabile in tensione generatore di tensione Principio di sovrapposizione In un circuito resistivo lineare qualunque tensione o corrente è la somma degli effetti dei singoli generatori indipendenti quando agiscono uno alla volta Sostituzioni (metodo di spegnimento): Generatore di tensione cortocircuito Generatore di corrente circuito aperto Generatori controllati rimangono invariati Teorema di Thevenin Un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è equivalente ad un generatore indipendente di tensione in serie ad un resistore. La tensione del generatore è la tensione che si ha tra i terminali quando sono aperti, la resistenza del resistore di Thevenin è la resistenza equivalente al circuito quando i generatori indipendenti sono spenti (si usa il solito metodo di spegnimento). -> è utile per rendere più semplice una rete non lineare, basta estrarre i componenti non lineari e ridurre i rimanenti Teorema di Norton Un circuito resistivo lineare, accessibile da due terminali, è equivalente ad un generatore indipendente di corrente in parallelo ad un resistore. La corrente del generatore è la corrente che si ha tra i terminali quando sono in cortocircuito (oppure la tensione divisa la resistenza del resistore di Norton) , la resistenza del resistore di Norton è la resistenza equivalente al circuito quando i generatori indipendenti sono spenti (si usa il solito metodo di spegnimento). -> è utile per rendere più semplice una rete non lineare, basta estrarre i componenti non lineari e ridurre i rimanenti Metodo del generatore arbitrario Per ricavare la resistenza equivalente quando ci sono amplificatori operazionali o generatori pilotati si trovano separatamente la corrente di Norton e la tensione di Thevenin e si fa il rapporto: NB Si utilizza la convenzione degli utilizzatori per calcolare corrente e tensione di Thevenin e Norton
 LKC:n ∑k=1ik=0 LKT:n ∑k=1vk=0 n ∑k=1vk⋅ik=0 ⇒⇒⇒→→→v=Rth⋅i+Eth i=Gno⋅v+Ano Rth= 1 Gno R=VTh INo 1Alessandro Marco Cesare Monetap>0assorbita p0erogata pR1 Amplificatore non invertente vout=vin(1+R2R1) 3Alessandro Marco Cesare Monetai(t)v(t)Valori tipici delle grandezze Rin105→1012Ω Rout 5→50Ω A 105→108 Amplificatore operazionale reale, per quello ideale non esiste relazione tra i due potenziali Trasformazione stella - triangolo Relazioni costitutive doppi bipoli Componenti dinamici Energia immagazzinata 
 Y Δ → Ga= G1⋅G3 G1+G2+G3 Gb= G2⋅G3 G1+G2+G3 Gc= G1⋅G2 G1+G2+G3 Y → Δ R1= Ra⋅Rc Ra+Rb+Rc R2= Rb⋅Rc Ra+Rb+Rc R3= Ra⋅Rb Ra+Rb+Rc F(v,i)=0 { f1(v1,v2,i1,i2)=0 f2(v1,v2,i1,i2)=0 Mv+Ni+h=0 Condensatore Se è costante si può sostituire con un circuito aperto i(t)=C⋅dv(t) dt q=Cv v(t)=v(t0)+1 C∫ t t0 i(t)dt Ec=1 2Cv2 vIn serie : In parallelo : Leq= n ∑k=1Lk 1 Leq= n ∑k=1 1 Lk Induttore Se è costante si può sostituire con un cortocircuito v(t)=L⋅di(t) dt ϕ=Li i(t)=i(t0)+1 L∫ t t0 v(t)dt El=1 2Li2 iIn serie : In parallelo : 1 Ceq= n ∑k=1 1 Ck Ceq= n ∑k=1Ck E=1 2∫ tf t0 p(t)dt 4Alessandro Marco Cesare Monetai1v1i2v2 Se il determinante della matrice è uguale a 0 la formulazione non esiste(v1,v2)←(i1,i2):R (i1,i2)←(v1,v2):G (v1,i2)←(i1,v2):H (i1,v2)←(v1,i2):H′ (v1,i1)←(v2,i2):T (v2,i2)←(v1,i1):T′ Formulazioni ibrideGrandezze forzantiLa condizione iniziale t 0 può essere nulla anche se diversa da 0 Metodi Analisi nodale Procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, utile per determinare tutti i potenziali ai nodi di un circuito Metodo delle prove semplici Procedimento risolutivo usato per trovare la formulazione di un circuito generico avente due bipoli eventualmente non lineari collegati tramite una rete lineare Algoritmo per trovare le equazioni di stato di un circuito generico 1.Si sceglie cosa forzare ai capi della rete lineare (due generatori di tensione, due di corrente o uno e uno). 2.Si calcolano separatamente i tre effetti: • Rete accesa con circuito aperto (generatore di corrente) o cortocircuito (generatore di tensione) ai lati • Rete spenta con un generatore su uno dei due lati e l'altro con sostituto • Rete spenta con un generatore sull'altro lato e l'altro con sostituto 3.Si sommano i tre effetti per il principio di sovrapposizione e si trovano le due equazioni cercate. 
 Algoritmo base 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Applicare la LKC a tutti i nodi, tranne quello di riferimento. 3.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo (i potenziali di nodo). 4.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con brench equations (generatori indipendenti) 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento. Ogni supernodo ingloba anche i due nodi ai quali è connesso il generatore. 3.Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo quello di riferimento, e quelli connessi al riferimento solo tramite un generatore di tensione (sia normale che controllato). 4.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo ( non di supernodo! ). Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione. 5.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con amplificatori operazionali 1.Scegliere un nodo qualsiasi come nodo di riferimento. 2.Evidenziare eventuali supernodi, relativi ai generatori di tensione non connessi al riferimento. 3.Applicare la LKC a tutti i supernodi e a tutti i nodi rimanenti, escludendo: •Il nodo di riferimento •I nodi connessi al riferimento tramite un generatore di tensione •I nodi in uscita dagli amplificatori operazionali 4.Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo. Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione e dagli amplificatori operazionali. 5.Risolvere il sistema ottenutoAlgoritmo con principio di sovrapposizione 1.Inserire un generatore alla volta con gli altri spenti e ricavare la grandezza desiderata: •Generatore di tensione cortocircuito •Generatore di corrente circuito aperto •Generatori controllati rimangono invariati 2.Sommare algebricamente i risultati ottenuti al punto 1.→→→5Alessandro Marco Cesare Moneta Circuito del primo ordine Circuito RC : Circuito RL : Algoritmo per trovare 1.Si calcola la condizione iniziale analizzando il circuito in regime costante, quindi dopo un intervallo di tempo , si calcola sostituendo il condensatore con un circuito aperto e l'induttore con un cortocircuito. 2.Si calcola la soluzione particolare analizzando il circuito in regime costante. 3.Si ricava la resistenza equivalente del circuito vista dal condensatore o dall'induttore sostituendo sia i componenti dinamici sia i generatori. NB Mettere giù bene le condizioni in cui si trovano gli interruttori a seconda del tempo Passaggio Il cambio da a si fa sfruttando le relazioni dei componenti dinamici, quindi derivando o integrando Sostituzioni condensatore e induttore Per fare calcoli sul circuito con i componenti dinamici può essere utile sostituire: Condensatore = generatore indipendente di tensione di valore Induttore = generatore indipendente di corrente di valore Forma della soluzione particolare ha forma differente a seconda dell'ingresso Calcolo con non a regime Se la grandezza non arriva a regime si calcola come se ci arrivasse, poi si utilizza come condizione iniziale del tratto successivo la grandezza al tempo calcolata come Stabilità Se la resistenza equivalente risulta negativa il circuito si dice instabile Grafici 
 dx(t) dt +1 τx(t)=u(t) τ=RC τ=L R x(t)=[x(t0)−x(∞)]⋅e−t−t0τ +x(∞) x(t) x(t0) t>5τ xp=x(∞) v(t)↔ i(t) v(t) i(t)vC(t) iL(t) xp=x(∞) Ingresso costante costante costante u(t)= xp=Ingresso a rampa u(t)=u0+u(t−t0) xp(t)=xp0+xp(t−t0) Ingresso sinusoidale -> si ha un transitorio più una risposta permanente sinusoidaleu(t)=A⋅cos(ωt+ϕ) xp(t)=A0⋅cos(ωt)+A1⋅sin(ωt) x(t) x(t) tx(t) 6Alessandro Marco Cesare Moneta Circuito del secondo ordine Circuito RLC serie : e cerco Circuito RLC parallelo : e cerco Frequenze naturali: Stabilità Algoritmo per trovare 1.Studiare la topologia del circuito per capire se è RLC parallelo o serie (studio il circuito spegnendo i generatori indipendenti) e calcolare e con le giuste formule. 2.Calcolare la resistenza equivalente sostituendo i componenti dinamici e i generatori indipendenti con i relativi equivalenti dettati dal principio di sostituzione Induttore = generatore di tensione = cortocircuito Condensatore = generatore di corrente = circuito aperto 3.Ricavare le condizioni iniziali ( o ) dal circuito a regime costante al tempo o . NB Si trova e NB Solo la tensione sul condensatore e la corrente nel induttore rimangono costanti nel tempo NB Le condizioni iniziali si possono trovare solo se c'è un interruttore (un cambiamento) NB La conformazione del circuito può variare a seconda del momento che si considera 4.Sostituire ogni condensatore con un circuito aperto e ogni induttore con un cortocircuito e studiare il circuito resistivo ottenuto ricavando il valore della soluzione particolare della variabile desiderata. 5.La soluzione cercata è: 6.Ricavare le costanti e per avere l'equazione completa facendo sostituzioni con i valori trovati al punto 3 e ponendo .
 d2x(t) dt2 +2αdx(t) dt +ω20x(t)=u(t) α= R 2L ω0= 1 LC →iL(t) α= 1 2RC ω0= 1 LC →vC(t) s1,s2=−α± α2−ω20→ s1,s2=−α±j ω20−α2 Circuito stabile x(t)→0set→∞ α>0∧ω0>0 Circuito instabile x(t)→∞set→∞ α0 Induttore P=0 Q=1 2ωLI2m PR=RI2=GV2 ∑ Sk=0⇒ ∑ Pk=0∧∑ Qk=0 E=∫ tf t0 p(t)dt pmaxdisp=|vg|2 8⋅Rg Rcarico Rg=Rcarico 11Alessandro Marco Cesare MonetaDefinizione di bipolo passivo resistivo reattivo induttivo capacitivo P≥0 Q=0 P=0 Q>0 Q